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河南省商丘市2016届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文(扫描版)

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河南省商丘市 2016 届高三数学下学期第二次模拟考试试题 文 (扫描 版)

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2

3

4

商丘市 2016 年第二次模拟考试参考答案 高 三 数 学 (文科) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) B C D A B C C A D B A D

>
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13) 12 (14)

4 5

(15)

7 3

(16)

3 ? 4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) (17)解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的公比为 q ,∵ S3 ? a3 , S5 ? a5 , S4 ? a4 成等差数列, ∴ 2( S5 ? a5 )=( S3 ? a3 )+( S4 ? a4 ) ,………………………………… 2分 ∴

4a5 ? a3









q2 ?

a5 1 ? , …………………………………………4 分 a3 4
∴q ? ? ∵

1 , 2
数 列

{an }

















1 q ? ? , ……………………………………5 分 2


an ?

3 1 n ?1 3 (? ) ? (?1) n ?1 n , n ? N* . …………………………………… 6 分 2 2 2
( Ⅱ ) ∵

an ? bn ? (?1) n ?1

3 3n ? (?1) n ?1 n ? n ,…………………………………………7 分 n 2 2


1 2 3 n Tn ? 3( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) , …………………………………………… 8 分 2 2 2 2


1 1 2 n ?1 n Tn ? 3( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ) , ……………………………………10 分 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 n 以上两式相减得: Tn ? 3( 1 ? 2 ? ? ? n ? n ?1 ) ? 3(1 ? n ? n ?1 ) , 2 2 2 2 2 2 2


Tn ? 6(1 ?

n?2 ) .………………………………………………………………12 分 2 n ?1
5

(18) 解: (I)由频率分布直方图可得,损失不少于 6000 元的居民共有 (0.00003 + 0.00003) × 2000 × 50 = 6 户,…………………………………………1 分 损失为 6000~8000 元的居民共有 0.00003×2000×50 = 3 户, …………………2 分 损失不少于 8000 元的居民共有 0.00003×2000×50 = 3 户, ……………………3 分 因此,记损失为 6000~8000 元的 3 个居民为 A, B, C ,损失不少于 8000

元的 3 居民为 D, E, F . 6 户 中 抽 2 户 的 组 合 为

AB, AC, AD, AE, AF , BC, BD, BE, BF , CD, CE, CF , DE, DF , EF.
共 15 种 , 其 中 同 一 分 组 的 有 AB, AC, BC, DE, DF , EF . 共 6 种,………………5 分 所 以

























p?

6 2 ? . ……………………………………6 分 15 5
(II)如表: 经济损失不超过 4000 元 捐款超过 500 元 捐款不超过 500 元 合计 …………………… 8 分 30 5 35 经济损失超过 4000 元 9 6 15 合计 39 11 50

K

2

=

50×(30×6-9×5) 39×11×35×15

2

=

4050 1001

=

4.046

>

3.841.……………………………10 分 所以有 95℅以上的把握 认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失 是否 4000 元 有 关.……………………………………………………………………………………12 分 (19)解: (Ⅰ)证明:连 AC 交 BD 于 O ,四边形 ABCD 为菱形,∴ BD ? AC , …………1 分 ∵ AE ? 平面 ABCD ,BD ? 平面 ABCD , ∴ BD ? AE , …………2 分 又 ∵

AC ? AE ? A





BD ?





E

A,……………………………4 C F 分

由于 AF ? 平面 EACF ,∴ BD ? AF ,
6

又 ∵

AF ? BE



BD ? BE ? B

, ∴

AF ?

平 面

B D .………………6 E 分
(Ⅱ)由(Ⅰ) AF ? 平面 BDE , EO ? 平面BDE , 得 EO ? AF , ……………………………7 分

∴ ?AEO ? ?CAF ,

O

tan ?AEO ? tan ?CAF ?

AO FC ……8 分 ? AE AC ,

∴ FC ? 所 求 多

1 ………………………………………9 分 2.
面 体 的 体 积 为

V?

B?

? V

A ?

1 1 3 分 C = V ?FOB ? SEACEF ? OD ? D .………12 C S ACEF A 3 3 4

F

E

(20) 解: (Ⅰ) 由题意 分

p 1 ? , 则 p ? 1, 故抛物线方程为 y 2 ? 2 x ,…………………………2 2 2

由 NF ? x0 ?

p 5 2 ? ,则 x0 ? 2, y0 ? 4 , 2 2

∵ y0>0 , ∴ y0 ? 2 , 所以 N (2, 2) . …………………………………………4 分 (Ⅱ)由题意知直线的斜率不为 0,则可设直线 l 的方程为 x ? ty ? b , 联立方程组 ?

? y 2 ? 2x ? x ? ty ? b

,得 y 2 ? 2ty ? 2b ? 0 .

设两个交点 A( 则

y12 y2 , y1 ) , B ( 2 , y2 ) ( y1 ? ?2, y2 ? ?2 ), 2 2

? ? 4t 2 ? 8b>0

y1 ? y2 ? 2t



y1 y2 ? ?2b ,………………………………6 分
由 k NA ? k NB ?

y1 ? 2 y2 ? 2 4 ? 2 ? ? ?2 2 y1 y2 ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ?2 ?2 2 2
b ? 2t ? 3 , 此 时 , ? ? 4(t 2 ? 4t ? 6)>0 恒 成
7

整 理 得

立,……………………8 分 故直线 l 的方程可化为 x ? 3 ? t ( y ? 2) , 从而直线 l 过定点 E (3, ?2) , 因为 M (2, ?2) ,所以 M , E 所在直线平行 x 轴, 所 以 △

MAB







S?

1 ME y1 ? y2 ? t 2 ? 4t ? 6 ? (t ? 2) 2 ? 2 …10 分 2
当 t ? ?2 时 有 最 小 值 为

2 , 此 时 直 线 l' 的 方 程 为

x ? 2 y ? 1 ? 0 .…………12 分
解法二: (Ⅱ)当 l 的斜率不存在时, l : x ? 2 (舍) 或 x ? 3 ,△ MAB 的面积

S ? 6 ,……5 分
当斜率存在时,设 l : y ? kx ? b ,

? y2 ? 2x ? k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b2 ? 0 ? ? y ? kx ? b
x1 ? x2 ? 2 ? 2kb b2 , x x ? , 1 2 k2 k2
y1 ? y2 ?
分 由 k NA ? k NB ?



2 2b , y1 y2 ? , …………………………………………………7 k k

y1 ? 2 y2 ? 2 4 ? 2 ? ? ?2 ,整理得 2 y1 y2 ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ?2 ?2 2 2
……8

6k 2 ? (5b ? 2)k ? b2 ? 4 ? 0 ? b ? ?3k ? 2 或 b ? ?2k ? 2 (舍)
分 点 M 到直线的距离 d ?

k 1? k 2



AB ?


2 1 ? k 2 ? 1 ? 2kb 2 1 ? k 2 ? 1 ? 6k 2 ? 4k , ……………9 ? k2 k2

8

1 6k 2 ? 4k ? 1 1 4 S ? AB ? d ? ? ? ? 6 ? 2 . ……………… 2 2 k k2 k
10 分 综上,所以△ MAB 的面积最小值为 2 , 此 时

k??

1 2

,



线

l'









x ? 2 y ? 1 ? 0 . ………………………12 分
(21)解: (I) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 分 ①若 a ? 0, 则 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; …………………3 分 ②若 a ? 0 ,当 x ? (0, a) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, a ) 单调递减, 当 x ? (a, ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (a, ??) 单调递增. ………………5 分 综上 a ? 0 时, f ( x ) 的递增区间为 (0, ??) ;a ? 0 时, f ( x ) 的递减区间为

x?a , ………………………………2 x2

(0, a ) ,
递 增 区 间 为

(a, ??) .………………………………………………………………6 分
(II) ? x ? (1, 2)

1 1 ? ? m 等价于 x ? 1 ? ln x ? m( x ? 1) ln x , ln x x ? 1

即 x ? (1, 2) , 不等式 (mx ? m ? 1) ln x ? x ? 1 ? 0 恒成立, …………………8 分 令 g ( x) ? (mx ? m ? 1) ln x ? x ? 1 , 则 g ?( x) ? m ln x ?

mx ? 1 ? m mx ln x ? (m ? 1) x ? 1 ? m ?1 ? , x x

令 h( x) ? mx ln x ? (m ? 1) x ? 1 ? m ,则 h?( x) ? m ln x ? 2m ? 1 , ①当 m ? 0 时, x ? (1, 2)时, h?( x ) ? 0 , ∴ h( x) 在 (1, 2) 上单调递减,

h( x) ? h(1)? 0,
∴ x ? (1, 2) , g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, 2) 上单调递减,
9

∴ x ? (1, 2) , g ( x) ? g (1) ? 0, 与 x ? (1, 2) , g ( x) ? 0 矛盾,此种情况不 可能. …9 分 ②当 0 ? m ?

1 时,由 h?( x) 在 (1, 2) 上单调递增,且 h?(1) ? 2m ? 1 ? 0 , 2

∴一定存在 x0 , x0 ? (1, 2) ,使得 x ? (1, x0 ) 时, h?( x) ? 0 , ∴ h( x) 在 (1, x0 ) 上单调递减, x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? h(1) ? 0, ∴ x ? (1, x0 ) , g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, x0 ) 上单调递减, ∴ x ? (1, x0 ) , g ( x) ? g (1) ? 0, 与

x ? (1, 2) 时 , g ( x ? )

0 盾 , 此 种 情 况 不 可 矛

能. …………………… ……………10 分 ③当 m ?

1 时 , x ? (1, 2 ) , h?( x) ? 0 , h( x) 在 (1, 2) 上 单 调 递 增 , 2

h( x) ? h(1) ? 0,
∴ x ? (1, 2) , g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (1, 2) 上单调递增, ∴

x ? (1, 2)



g ( x) ? g (1) ? 0,





立, ……… ……………………………………11 分 综 上 可 知

m









?1 ? , ?? ? .………………………………………………12 分 ? ?2 ?
(22) 解: (Ⅰ) 因为 CA 为⊙ O 的切线, 所以 ?B ? ?EAC .……… …………………………1 分 因为 DC 是 ?ACB 的平分线,所以 ?ACD ? ?DCB ………………………2 分 所以 ?B ? ?DCB ? ?EAC ? ?ACD ,即 ?ADF ? ?AFD ………………3 分 因为 ?DAE ? 90? ,所以

?ADF ?

1 (180? ? ?DAE ) ? 45? ………………5 分 2 (Ⅱ)因为 ?B ? ?EAC , ?ACB ? ?ECA , AC AE ? 所以 ?ACE ∽ ?BCA , 所以 , ……………………………………7 BC AB
在 ?ABC 中, 又因为 AB ? AC , 所以 ?B ? ?ACB ? 30? , ………… ……8
10




Rt?ABE 中,

AC AE 3 ? ? tan B ? tan 30? ? ………………………………10 分 BC AB 3
(23)解: (Ⅰ)∵圆 C 的极坐标方程为 ? ? 4sin(? ? ∴

?

6

),

? 3 1 ? 2 ? 4 ? sin(? ? ) ? 4 ? ( sin ? ? cos ? ) .……………………………2 分
6 2 2
又∵ ? 2 ? x2 ? y 2 , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,∴ x2 ? y2 ? 2 3 y ? 2x , ∴圆 C 的普通方程为

x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y ? 0 ………………………………5 分
(Ⅱ)设 z ? 3x ? y , 由圆 C 的方程 x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y ? 0 ,即 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 , ∴圆 C 的圆心是 (?1, 3) ,半径是 2 ,

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 将? , ? y ? 3? 1t ? ? 2


代入 z ? 3x ? y 得 z ? ?t , ……………………7

又∵直线 l 过点 C(?1, 3) ,圆 C 的半径是 2 ,∴ ?2 ? t ? 2 ,……………8 分 ∴ ?2 ? ?t ? 2 , 即 z ? 3x ? y 的取值范围是

[?2, 2] .…………………………………………10 分
(24)解: (Ⅰ)当 a ? 2 , f ( x) ? 2 x ? 1 ,即 x ? 2 ? ?2x ? 1 ,



? x ? 2 ? ?2 x ? 1 ? ?x ? 2 ? 0



?2 ? x ? ?2 x ? 1 ,………………………………………3 分 ? ?x ? 2 ? 0
解 得

11

?x x ? ?1?. …………………………………………………………………5 分
(Ⅱ) f (2 x) ? 7 x ? a 2 ? 3 可化为 f (2x) ? 7 x ? a 2 ? 3 ,令 g (x) ? f (2 x) ? 7x ,

a ? 3x ? a( x ? ) ? ? 2 g ( x) ? f (2 x) ? 7 x ? 2 x ? a ? x ? ? , …………………………6 ?a ? x( x ? a ) ? ? 2
分 因为 x ? (??, ) , g ( x) 单调递减, x ? ( , ??) , g ( x) 单调递增; 所 以 当

a 2

a 2

x?

a 2





g ( x)











a a g ( x) min ? g ( ) ? ,………………… ……………8 分 2 2
若 使 原 命 题 成 立 , 只 需

a ? a 2 ? 3 ,……………………………………………………………………9 分 2
解 得

a ? ?0,2? .……………………………………………………………………………………………
…………10 分

12


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