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江西省南昌市2013届高三第二次模拟测试(word解析版)数学理


江西省南昌市 2013 届二模考试数学试卷分析及详解
一.整体解读
(1)体现课标要求,对双基、能力等方面的考查具有全面性、层次性、平稳性、导向性特点。 (2)试卷和谐合理,立意创新。起点低,入手易。文、理科卷的选择题的前 5 题都是教材中 的常见题类型,绝大部分考生都能入手,对考生进入状态有良好作用。后 5 题更增强了对学 生分析能力、创新能力的考查。 (3

)突出重点考查。例如理科涉及函数的小题有 8 个,解答题有 2 个,分值 66 分,体现了 对重点知识重点考察,反复考察的特点,另外反映了“考查基础知识的同时,注重考查能力” 的原则。 (4)试卷突出了方程、不等式、向量等工具知识的作用与能力要求,较全面地体现了配方、 消元、分离、聚合、补形、转化等数学方法和方程思想、函数思想、数形结合思想、分类思 想等数学思想。 (5) 兼顾变化内容,关注新增知识模块的考查。对应于新教材的选修选考内容的选做题(即 理科第 15 题)抓住了选考内容的基础核心,难度小而又代表性强,达到了命题目标,又对中 学的新课程教学起到了导向作用。理科的第 5、6、8、13、14、15 题和文科的第 5、8、13、 14、15 题都涉及新增知识模块,没有太大的难度,这对于稳定和深化新课程改革,有积极的 作用。 总的来说,本次模拟考试基本符合高考命题的特点和思路。试卷难度适中,内容丰富, 有常见简单题型,但部分试题对考生的逻辑思维能力、转化与化归能力要求较高。题目扣住 概念,却不走老路,体现了“考试说明”中指出的“立意鲜明,背景新颖,设问灵活,层次 清晰”的要求。 【客观题分析】选择题填空题最显著的特征是重点考查函数,理科第 2、3、4、9、10、11、 12、15 题,文科第 2、3、4、7、9、10、12、15 题都涉及函数,可见函数在高中数学教学中 的重要性。文理科前 5 题都是常见题型,难度不大。理科第 6 题考查的是统计,涉及的知识 点较多,考查考生基础知识掌握的全面性;第 7 题是排列组合问题,考查学生分类讨论思想。 第 8 题用柯西不等式可轻松搞定;第 9 题构造函数 f ( x) ? x ? 2013x ,利用函数的奇偶性便
3

可顺利解题;文理科选择题最后一题,看似复杂,其实不然,难度不大,抓住圆锥曲线的概

念便可轻松得到相应函数的解析式。填空最后一题考查的是绝对值不等式,该题巧妙地将绝 对值运算、单个绝对值不等式、两个绝对值不等式、换元思想结合在一起,技巧性稍强,是 个好题。 【解答题分析】文理科第 16 题考查的是概率与统计,难度较低。第 17 题是解三角形、三角 函数与方程思想的综合应用,第二问数据和计算量稍大,考生需要有强大的心理素质。第 18 题考查的是数列,仍然是等差等比纠缠型,看懂表格,设未知数公差 d 和公比 q,属常规题。 第 19 题中涉及的平面几何和立体几何的知识点、定理定律较多,考查全面。理科第二问若能 几何法和向量法综合运用是最好不过的,否则计算量较大。最后两个解答题第一问都非常容 易,轻松上手,望考生在考试的后半段不骄不躁,尽量得分。

二.考点分布
1、理科 积分 复数 函数 绝对 值不 等式 10 逻辑 推理 10 导数 解三 角形 12 三角 函数 5 概率 统计 27 圆锥 曲线 18 数列 立体 几何 17 程序 图框 5

5

5

5

14

17

三.试题详解

2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷
数学(理)

第I卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。 1.已知复数 z ? A.第一象限 【解析】 z ? :

1? i (其中 i 是虚数单位) ,则复数 z 在坐标平面内对应的点在 ( 2?i
B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限



1 ? i 1 ? 3i ? ,在第一象限,故选 A。 2-i 5
?1 ?1

3 3 2.已知 a ? 0.7 , b ? 0.6 , c ? log2.1 1.5 ,则 a, b, c 的大小关系是(



A. c ? a ? b B. c ? b ? a C. a ? b ? c D. b ? a ? c 【解析】 :容易得出 a<b,又知 a>1>c,故选 A。 3.将函数 y ? sin( x ?

?
6 )

)( x ? R ) 图像上所有的点向左平行移动 x ? ? ) 2 3

? 个单位长度,再把图像上各 6


点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图像的解析式为( A. y ? sin( 2 x ? C. y ? sin

?
3

B. y ? sin( D. y ? cos

x 2

x ?? ? 【解析】 :向左平移π /6,得到 y ? sin ? x ? ? , 2 3? ?

扩大为原来的 2 倍,得 y ? sin ?

?? ?1 x ? ? 故选 B。 3? ?2


4. m ? 0”是“函数 ( x) ? m ? log2 x( x ? 1)存在零点”的( “ f A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

【解析】 :函数 f ?x ? 存在零点,则 m ? 0 ,是充分不必要条件,故选 A。 5.若空间几何体的三视图如图所示,则该几何体体积为( A. ) D.8

4 3

B.

4 3 3

C.

8 3

2

2

2 主视图 左视图 俯视图

【解析】 2 ? 2 ? 2 ? : 6.下列四个判断:

1 8 ? ,故选 C。 3 3

①某校高三 (1) 班的人和高三 (2) 班的人数分别是 m和n , 某次测试数学平均分分别是 a, b ,

则 这 两 个 班 的 数 学 平 均 分 为

a?b ; ② 从 总 体 中 抽 取 的 样 本 2

③已知 ? 服 (1,2.5), (2,3.1), (3,3.6), (4,3.9), (5,4.4), 则回归直线 y ? bx ? a必过点( ,3.6); 3 从正态分布 N (1,22 ),且p(?1 ? ? ? 1) ? 0.3, 则p(? ? 3) ? 0.2 其中正确的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 【解析】 :①错;②必过(3,3.5) ;?对,故选 B

D.3 个

7.将 5 名学生分到 A,B,C 三个宿舍,每个宿舍至少 1 人至多 2 人,其中学生甲不到 A 宿舍的 不同分法有( ) A.18 种 B.36 种 C.48 种 D.60 种 【 解 析 】 当 甲 一 人 住 一 个 寝 室 时 有 : C2 ? C4 ? 12 种 , 当 甲 和 另 一 人 住 一 起 时 有 : :
1 2

2 2 C1 ? C1 ? C3 ? A2 ? 48 ,所以有 12+48=60 种,故选 D。 2 4

8.已知点 M (a, b)(a ? 0, b ? 0)是圆C:x ? y ? 1 内任意一点,点 P ( x, y ) 是圆上任意一点,
2 2

则实数 ax ? by ? 1 ( A.一定是负数 C.一定是正数

) B.一定等于 0 D.可能为正数也可能为负数

【解析】 :令 x ? sin?,y ? cos? , ax ? by -1 ? acos? ? bsin? ? 1 ? a 2 ? b 2 sin ?? ? ? ? ? 1 ,又因为 a 2 ? b 2 小于 1,所以必定是负数,故选 A。 9.等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn ,公差为 d,已知 ?a8 ? 1? ? 2013 a8 ? 1) ? 1, (
3

?a2006 ?1?3 ? 2013a2006 ?1? ? ?1 ,则下列结论正确的是( ?
A. d ? 0, S2013 ? 2013 C. d ? 0, S2013 ? ?2013



B. d ? 0, S2013 ? 2013 D. d ? 0, S2013 ? ?2013 d < 0 ;

【 解 析 】: 通 过 求 导 易 知 a 8 ? 1 > 0 , a 2006 ? 1 < 0. 所 以

可求出 a 8 ? a 2006 ? ?2 , 得出 S2013 ? ?2013, ?a8 ?1?3 ? ?a 2006 ?1?3 ? 2003a8 ? a2006 ? 2? ? 0 , ? 故选 C。

? ?? ?DAB ? ? ,? ? ? 0, ? 10.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB//CD,且 AB=2CD,设 ? 2 ? ,以 A,B 为焦点
且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C,D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e 2 ,设 ( e1 = f ?? ?, e1e2 ? g ?? ?, 则 f ?? ?, g ?? ? 的大致图像是 )

【解析】 :用特殊值法,当 ? ? 0 时, e1 ? 2 , e1e 2 ? 1 ,易知 D 选项正确,故选 D。 第 II 卷 二填空题:本大题共四小题,每小题 5 分,共 20 分。 1. 曲线

y = cos x (0 ? x ?

3? )与坐标轴所围成的图形面积是 ________________. 2

【解析】 S ? 3 :

?

?
2 0

cosx ? 3
2 2

已知集合 A= {y|y= x +2x,-2≤x≤2}, B={x| x +2 x -3≤0},在集合中任意取一个元素 a,则

a ? B 的概率是 ____
【解析】 A ? ?y | -1 ? y ? 8?, B ? ?x | ?3 ? x ? 1? , P ? : 2.

2 . 9

执行如图所示的程序框图,若输入 a 的值为 2,则输出的 p 值是 ______________. 是 开始 输入

p ?1 S ?1

S?a

p ? p ?1
输出 p

S?S?
结束

1 P

【解析】 :

P1 ? 1 ? 1 ? 2,S1 ? 1 ?

1 3 3 1 11 11 1 25 ? ,P2 ? 2 ? 1 ? 3,S2 ? ? ? , p3 ? 3 ? 1 ? 4,S4 ? ? ? 2 2 2 3 6 6 4 12

,因此答案是 4. 3. 观察下面两个推理过程及结论: (1)若锐角 A,B,C 满足 A+B+C= ? ,以角 A,B,C 分别为内角构造一个三角形,依据正弦定
2 2 2 理和余弦定理可得到等式: sin A= sin B+ sin C ? 2 sin B sin C cos A ,

(2)若锐角 A, C 满足 A+B+C= ? , ( B, 则

? B ? C ? , ? 分别为内角构造一个三角形,依据正弦定理和余弦定理可以得到的 2 2 2 2 B C A C 2 A 2 B ? 2 cos cos sin . 等式: cos = cos ? cos2 2 2 2 2 2 2 则: 若锐角 A,B,C 满足 A+B+C= ? , 类比上面推理方法, 可以得到的一个等式是______________.
【解析】 :根据提示,容易得出 sin 2 A ? sin 2B ? sin 2C ? 2sin 2B sin 2C cos 2 A 。
2 2 2

? A ? B ? C ? A ? )( ? )( ? ) ? , + + = 以角 ? , 2 2 2 2 2 2 2 2

三.选做题:请考生在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按做的第一题评阅计 分,本题共 5 分。

(1)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系下 xoy 中,直线 l 的参数方程是

x ? 2 cos? ?x ? t ? 3 ?参数t ? R? .圆 C 的参数方程为 ? ?参数? ? R? ? ? ?y ? 3? t ? y ? 2 sin ? ? 2
则圆 C 的圆心到直线 l 的距离为_______________ 【解析】 :直线 L: x ? y ? 6 ;圆 C: x 2 ? ?y ? 2? ? 4 . d ?
2

| 0? 2-6| ?2 2 2

(2) (不等式选做题) f ( x) ?| 2 x ? 1 |, 若不等式 f (x) ≥ 设 恒成立,则 x 的取值集合是________________. 【解析】 :

| a ? 1 | ? | 2a ? 1 | 对任意实数 a ? 0 |a|

| a ? 1 | - | 2a - 1 | 1 1 ?| 1 ? | - | 2 - | 的最大值为 3, | 2x -1 |? 3 , x ? ?1,x ? 3 从而 解出 |a| a a

四.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

南昌市为增强市民的交通安全意识,面向全市征召“小红帽”志愿者在部分交通路口协助 交警维持交通,把符合条件的 1000 名志愿者按年龄分组:第 1 组 ?20,25? 、第 2 组 ?25,30? 、 第 3 组 ?30,35? 、第 4 组 ?35,40? 、第 5 组 ?40,45? ,得到的频率分布直方图如图所示:

0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率 组距

20 25 30 35 40 45 年龄

⑴若从第 3、4、5 组中用分层抽样的方法抽取 12 名志愿者在五一节这天到广场协助交警维持 交通,应从第 3、4、5 组各抽取多少名志愿者? ⑵在⑴的条件下, 南昌市决定在这 12 名志愿者中随机抽取 3 名志愿者到学校宣讲 交通安全知识,若 ? 表示抽出的 3 名志愿者中第 3 组的人数,求 ? 的分布列和数 学期望. 【解析】 (1)由题意可知,第 3 组的人数为 0.06 ? 5 ?1000 ? 300 ,第 4 组的人数为 : 0.04 ? 5 ?1000 ? 200 ,第 5 组的人数为 0.02 ? 5 ?1000 ? 100 。???????3 分 所以利用分层抽样在 600 名志愿者中抽取 12 名志愿者,每组抽取的人数为: 第3组

12 12 12 ? 300 ? 6 ,第 4 组 ? 200 ? 4 ,第 5 组 ? 100 ? 2 ?????6 分 600 600 600 (2) ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,
0 3 C6 C6 1 C1C 2 9 C 2 C1 9 , P(? ? 2) ? 6 3 6 ? , ? , P(? ? 1) ? 6 3 6 ? 3 C12 11 C12 22 C12 22 3 C6 1 ? ,??????????????????????????10 分 3 C12 11

P(? ? 0) ? P(? ? 3) ?

所以, ? 的分布列为:

?

0

1

2

3

p

1 11

9 22

9 22

1 11

所以 ? 的数学期望 E? ? 1.5 ????????????????????????12 分 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,?1), n ? (cos x, ) , f ( x) ? (m ? n) ? m.

3 2

? ?? x ? ?0, ? (1)当 ? 2 ? 时,求函数 f (x) 的值域:
(2)锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若,求边 a, c 【解析】(1) m ? n ? (sin x ? cos x, ) ,所以 :

?? ?

1 2

f ( x) ? (sin x ? cos x) sin x ?
即 f ( x) ?

1 1 1 1 ? sin 2 x ? sin x cos x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ,?3 分 2 2 2 2

2 ? sin(2 x ? ) ,????????????????????????4 分 2 4 ? ? ? 3? ? 2 ] , sin(2 x ? ) ? [? ,1] , 当 x ? [0, ] 时, 2 x ? ? [? , 2 4 4 4 4 2 ? 1 2 所以当 x ? [0, ] 时,函数 y ? f ( x) 的值域是 [? , ] ;???????????6 分 2 2 2 ? 3 ? ? ? B 2 2 (2)由 f ( ) ? ,得 sin( B ? ) ? ,又 B ? ? (? , ) , 4 5 4 4 4 2 5 ? 4 所以 cos( B ? ) ? ,???????????????????????????8 分 4 5 ? ? ? ? ? ? 2 因此” cos B ? cos[( B ? ) ? ] ? cos( B ? ) cos ? sin( B ? )sin ? , ??9 分 4 4 4 4 4 4 10 32 2 2 4 2 2 2 2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 98 ? , ??11 分 c ? c ? 2? c ? 25 5 10 所以: c ? 5 2, a ? 8 。??????????????????????????12 分
18、(本小题满分 12 分) 右表是一个由正数组成的数表,数表中各行依 次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比 都相等,已知 a1,1 ? 1, a2,3 ? 6, a3, 2 ? 8. ⑴求数列 an , 2 的通项公式; ⑵设 bn ?

? ?
a1,n an, 2

? ?? 1? a1,n , n ? 1,2,3,?, 求
n

? a a a a ? a a a a ? a a a a ? ?????
a1,1 a1, 2 a1, 3
2 ,1 2, 2

a1, 4

2,3

2, 4

3,1

3, 2

3, 3

3, 4

4 ,1

4, 2

4,3

4, 4

数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn 。

【解析】(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是 d ,等比数列的公比是 q (q ? 0) , : 则 a2,3 ? qa1,3 ? q(1 ? 2d ) ? q(1 ? 2d ) ? 6 , ?????????????????2 分
2 2 , a3 , 2? q a 1 ,? q 1 ? d ? 2 ( 1? d) ? 8 ?????????????????4 分 ( ) q 2

解得: d ? 1, q ? 2 ,所以: a1,2 ? 2 ? an,2 ? 2 ? 2n?1 ? 2n ;???????????6 分

n ? ( ?1) n n , 2n 1 2 3 n Sn ? ( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (?1 ? 2 ? 3 ? ? ? (?1) n n) ,???????????8 分 2 2 2 2 1 2 3 n 1 1 2 3 n 记 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ,则 Tn ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? n ?1 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 1 1 1 1 1 n n?2 两式相减得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? 1 ? n ?1 ,所以 Tn ? 2 ? n ,??10 分 2 2 2 2 2 2 2 2 n n?2 n ?1 n?2 ? 2 ? n 。??12 分 所以 n 为偶数时, S n ? ? 2 ? n , n 为奇数时, S n ? ? 2 2 2 2
(2) bn ?

19、 (本小题满分 12 分)如图已知:菱形 ABEF 所在平面与直角梯形 ABCD 所在平面互相垂直, AB=2AD=2CD=4, ?ABE ? 60? , ?BAD ? ?CDA ? 90? , 点 H,G 分别是线段 EF,BC 的中点.

B. 求证:平面 AHC ? 平面 BCE; C. 点 M 在直线 EF 上,且 EF//平面 AFD,求平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值。 【解析】(1)证明:在菱形 ABEF 中,因为 ?ABE ? 60? ,所以△ AEF 是等边三角形, : 又 H 是线段 EF 的中点,所以 AH ? EF ? AH ? AB , 因为平面 ABEF ? 平面 ABCD ,所以 AH ? 平面 ABCD ,所以 AH ? BC ;??2 分 ? ? 在 直 角 梯 形 A B C D , A B? 2 A D 2 C D 4, ?BAD ? ?CDA ? 90? , 得 到 : 中

AC ? BC ? 2 2 ,从而 AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,所以 AC ? CB ,????????4 分 所以 CB ? 平面 AHC ,又 BC ? 平面 BCE ,所以平面 AHC ? 平面 BCE ;???6 分 (2)由(1) AH ? 平面 ABCD ,如图,分别 以 AD, AB, AH 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴
建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,0), B(0, 4,0), C (2, 2,0), D(2,0,0) ,

E(0, 2, 3), F (0, ?2, 3), H (0,0, 3), G(1,3,0) ???7 分 ???? ??? ???? ? ? 设点 M 的坐标是 (0, m, 3) ,则 GM , AF , AD 共面, 所以存在实数 ? , ? 使得: ???? ? ??? ? ??? ? GM ? ? AD ? ? AF ? (?1, m ? 3, 3) ? (2?,0,0) ? (0, ?2?, 3?) ,
得到: 2? ? ?1, m ? 3 ? ?2?, 3 ? 3? ? m ? 1.即点 M 的坐标是: (0,1, 3) , ???8 分 由(1)知道:平面 AHC 的法向量是 BC ? (2, ?2,0) ,

??? ?

设平面 ACM 的法向量是 n ? ( x, y, z) ,

?

? ???? ?n ? AC ? 0 ? ? ? ?( x, y, z ) ? (2, 2, 0) ? 0 ?x ? ? y 则: ? ? ???? ,?????????9 分 ?? ?? ? ?n ? AM ? 0 ?( x, y, z ) ? (0,1, 3) ? 0 ? y ? ? 3z ? ? ? ? 令 z ? 3 ,则 y ? ?3, x ? 3 ,即 n ? (3, ?3, 3) , ? ??? ? 12 42 所以 cos ? n, BC ?? ,??????????????????11 分 ? 7 2 2 ? 21 42 即平面 ACH 与平面 ACM 所成角的余弦值是 。?????????????12 分 7
3 x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率等于 ,点 P 2, 3 在椭圆上。 2 2 a b

20.(本小题 13 分) 已知椭圆 C:

?

?

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵设椭圆 C 的左右顶点分别为 A,B,过点 Q(2,0) 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,是否 存在定直线 l : x ? t ,使得 l 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上?若存在,求出一个满足条件的 t 值;若不存在,说明理由。
' '

3 c2 3 ? 2 ? ? a 2 ? 4b 2 ,???????????????2 分 2 a 4 4 3 2 又点 P(2, 3) 在椭圆上, 2 ? 2 ? 1 ? b ? 4 , ??????????????4 分 4b b x2 y 2 ? ? 1 ;???????????????????????5 分 所以椭圆方程是: 16 4 y x?4 ? (2)当 l 垂直 x 轴时, M (2, 3), N (2, ? 3) ,则 AN 的方程是: , 6 ? 3 y x?4 ? ,交点 G 的坐标是: (8, ?2 3) ,猜测:存在常数 t ? 8 , BM 的方程是: ?2 3 即直线 l ' 的方程是: x ? 8 使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, ????????6 分 证明:设 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ,点 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) , G(8, yG )
【解析】(1)由 e ? : 将 l 的方程代入椭圆 C 的方程得到: x ? 4k ( x ? 2) ? 16 ,
2 2 2

即: (1 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ?16 ? 0 ,??????????????????7 分

16k 2 16k 2 ? 16 , x1 x2 ? ,?????????????????8 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ???? ???? 因为: AG ? (12, yG ) , AN ? ( x2 ? 4, y2 ) A, N , G 共线 12 y2 所以: 12 y2 ? ( x2 ? 4) yG , yG ? ,??????????????????9 分 x2 ? 4 ??? ? ???? ? 又 BG ? (4, yG ) , BM ? ( x1 ? 4, y1 ) 12 y2 要证明 B, M , G 共线,即要证明 4 y1 ? ( x1 ? 4) ,????????????10 分 x2 ? 4 即证明: k ( x1 ? 2)( x2 ? 4) ? 3k ( x2 ? 2)( x1 ? 4) ,
从而: x1 ? x2 ? 即: x1 x2 ? 2x2 ? 4x1 ? 8 ? 3x1 x2 ? 6x1 ?12x2 ? 24 ,

即: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 因为: x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 16 ?

16k 2 ? 16 80k 2 ? ? 16 ? 0 成立,???????12 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以点 G 在直线 BM 上。 综上:存在定直线 l ' : x ? 8 ,使得 l ' 与 AN 的交点 G 总在直线 BM 上, t 的值是 8 。??13 分 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 g ( x) ? 2a ln(x ? 1) ? x 2 ? 2 x (1)当 a ? 0 时,讨论函数 g (x) 的单调性: (2)若函数 f (x) 的图像上存在不同两点 A,B,设线段 AB 的中点为 P( x0 , y0 ) ,使得 f (x) 在 点 Q( x0 , f ( x0 )) 处的切线 l 与直线 AB 平行或重合,则说函数 f (x) 是“中值平衡函数” ,切线 l 叫做函数 f (x) 的“中值平衡切线” 。试判断函数 g (x) 是否是“中值平衡函数”?若是,判断 函数 g (x) 的“中值平衡切线”的条数;若不是,说明理由。

2a 2( x 2 ? 1 ? a) ? 2x ? 2 ? ??????????????1 分 x ?1 x ?1 当 1 ? a ? 0 即 a ? 1 时, g '( x ) ? 0 ,函数 g ( x) 在定义域 (?1, ??) 上是增函数;??2 分 ? g '( x) ? 0 当 0 ? 1 ? a ? 1 即 0 ? a ? 1 时,由 ? 得到 ?1 ? x ? ? 1 ? a 或 x ? 1 ? a ,??4 分 ?x ?1 ? 0
【解析】(1) g '( x) ? : 所以:当 a ? 0 时 ,函数 g ( x) 的递增区间是 (? 1,? 1?a )和 ( 1 ? a , ??) ,递减区间是

(? 1? a , 1? a );????????????????????????????5 分 ? g '( x) ? 0 当 1 ? a ? 1 即 a ? 0 时,由 ? 得到: x ? 1 ? a , x ?1 ? 0 ?
所以:当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的递增区间是 ( 1 ? a , ??) ,递减区间是 (?1, 1 ? a ) ;??7 分 (2)若函数 g ( x) 是“中值平衡函数” ,则存在 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) ( ?1 ? x1 ? x2 )使 得

2a ? x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 1? 2 1 ? x1 2a( x1 ? x2 ) 即 a ln , (*)?????????????????????4 分 ? 1 ? x2 1 ? x1 ? 1 ? x2 当 a ? 0 时, *) ( 对任意的 ?1 ? x1 ? x2 都成立, 所以函数 g ( x) 是 “中值平衡函数” 且函数 g ( x) ,
g '( x0 ) ?
的“中值平衡切线”有无数条; ???????????????????8 分 当 a ? 0 时,设

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 即 x1 ? x2

2a ln

1 ? x1 1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 2 , x1 ? x2

2(t ? 1) 1 ? x1 ? t ,则方程 ln t ? 在区间 (0,1) 上有解,??????10 分 t ?1 1 ? x2

2(t ? 1) 1 4 (t ? 1)2 ,则 h '(t ) ? ? ? ? 0 ,???????12 分 t ?1 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 2(t ? 1) 所以当 0 ? t ? 1 时, h(t ) ? h(1) ? 0 ,即方程 ln t ? 在区间 (0,1) 上无解, t ?1 即函数 g ( x) 不是“中值平衡函数”.?????????????????????14 分
记函数 h(t ) ? ln t ?

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http://www.t00y.com/file/20013545 银川一中 2013 届高三年级第二次月考数学(文).doc: http://www.t00y.com/file/19990035


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