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2.1 数列的概念与简单表示法


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数列

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2.1 数列的概念与简单表示法

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目标 实例 了 解 , 数列的概念及分类 ――→
理解

数列与函 掌握 ――→ 数列的表示方法 数的关系 重点难点 重点:掌握数列的表示方法.

难点:用数列的通项公式、递推公式给出数列.

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新知初探思维启动
1.数列及其有关概念、表示
首项 一定顺序

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想一想 1.数列中的项与集合的元素有什么区别和联系? 提示:相同点:确定性:一个数是或不是某一数列中的项是 确定的,集合中的元素也具有确定性; 不同点:(1)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元 素不能重复出现(即互异性);

(2)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些
数的排列次序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性); (3)数列中的每一项都是数,而集合中的元素除了是数外还可 以是点、物体等.
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数列

2.数列的分类
分类 标准 按项 的个 数 名称 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项 的变 化趋 势 递减数列 常数列 摆动数列 含义 例子 1,2,3,4,…,100 1,4,9,…,n2,… 3,4,5,…,n+2

有限 的数列 项数______ 无限 的数列 项数_______ 第2项 起,每一项都 从________ 大于 _____它的前一项的数列

第2项 起,每一项都 从_______ 1 1 1 1, , ,…, 小于 它的前一项的数列 2 3 2013 ______ _____________ 6,6,6,6,… 各项相等 的数列 第2项 起,有些项 从________ 大于 它的前一项,有些项 1,-2,3,-4,… ______ 小于 它的前一项的数列 _______

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做一做 2.如何判断数列的单调性?

提示:(1)作差比较法
①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;

②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;
③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.

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(2)作商比较法 ①若 an>0,则 a n +1 当 >1 时,数列{an}是递增数列; an a n +1 当 <1 时,数列{an}是递减数列. an ②若 an<0,则 a n +1 当 <1 时,数列{an}是递增数列; an a n +1 当 >1 时,数列{an}是递减数列. an an+1 ③若 an≠0,当 =1 时,数列{an}是常数列. an

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3.数列的通项公式 序号n 之间的关系可以用一个式 如果数列{an}的第n项与_________ 通项公式 . 子来表示,那么这个公式叫做这个数列的___________

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做一做
1.数列 1, 3, 5, 7,3,…的通项公式 an=________.
解析:如下表: 序号 n 项 an 项的 变形 1 1 2×1- 1 2 3 2×2- 1 3 5 2×3- 1 4 7 2×4- 1 5 3 2×5- 1 … … …

观察可以发现数列的每一项的被开方数都等于序号 n 的 2 倍减 1. 所以 an= 2n- 1.
答案: 2n-1

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4.数列的递推公式 如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项) 开始的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)(n≥2,n∈N*)间 的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数 列的递推公式.

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做一做

1 2.已知数列{an},a1=1,以后各项由 an=an-1+ n?n-1? (n≥2)给出,则 a3=________.
1 3 解析:a1=1;a2=a1+ = ; 2× 1 2 1 3 1 5 a3=a2+ = + = . 3× 2 2 6 3 5 答案: 3

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5.数列与函数的关系 对任意数列{an},其每一项与序号都有对应关系,见下表:

序号


1
a1

2
a2

3
a3

4
a4




n
an




因此数列也可以看成是定义域为正整数集N*(或它的有限子集 an=f(n) ,当自变量n从小到大依次 {1,2,3,…,n})的函数__________
取值时,该函数对应的一列函数值就是该数列.反过来,对 于函数y=f(x),如果f(i)(i=1,2,3,…)有意义,那么就可以得 到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….
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想一想

3.数列是函数吗?

提示:数列是一个特殊的函数,它的特殊性主要体现在其定

义域是正整数集.

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数列

典题例证技法归纳
题型探究
题型一 例1 数列的有关概念
已知下列数列: (1)2 010,2 012,2 014,2 016,2 018; n- 1 1 2 (2)0, , ,…, ,…; 2 3 n 1 1 1 (3)1, , ,…, n-1,…; 2 4 2

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?- 1? · n 2 3 (4)1,- , ,…, ,…; 3 5 2n- 1 nπ (5)1,0,- 1,…, sin ,…; 2 (6)9,9,9,9,9,9. 其中,有穷数列是 ________,无穷数列是 ________,递增 数 列 是 ________ , 递 减 数 列 是 ________ , 常 数 列 是 ________,摆动数列是 ________.(将合理的序号填在横线 上)

n- 1

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数列

【解析】

(1)是有穷递增数列; n- 1 1 (2)是无穷递增数列(因为 = 1- ); n n (3)是无穷递减数列; (4)是摆动数列,也是无穷数列; (5)是摆动数列,是无穷数列; (6)是常数列,是有穷数列.

【答案】

(1)(6)

(2)(3)(4)(5) (1)(2)

(3)

(6)

(4)(5)

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数列

【名师点评】

判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列,

只需考察数列是有限项还是无限项.若数列含有限项,则是 有穷数列,否则为无穷数列.而判断数列的单调性,则需要 从第 2项起,观察每一项与它的前一项的大小关系,若满足 an<an+1,则是递增数列;若满足 an>an+ 1,则是递减数列;

若满足an=an+1,则是常数列;若 an与an+1的大小不确定时
,则是摆动数列.

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跟踪训练
1. 下列数列哪些是有穷数列?哪些是无穷数列?哪些是递 增数列?哪些是递减数列?哪些是摆动数列?哪些是常数 列? (1)1,0.84,0.842,0.843,…; (2)2,4,6,8,10,…; (3)7,7,7,7,…; 1 1 1 1 (4) , , , ,…; 3 9 27 81 (5)0,0,0,0,0,0; (6)0,- 1,2,- 3,4,- 5,… .

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数列

解:(1)是无穷数列,递减数列; (2)是无穷数列,递增数列; (3)是无穷数列,常数列; (4)是无穷数列,递减数列; (5)是有穷数列,常数列; (6)是无穷数列,摆动数列. 故有穷数列有 (5),无穷数列有 (1)(2)(3)(4)(6),递增数列有 (2),递减数列有(1)(4),摆动数列有 (6),常数列有(3)(5).

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2 . (2013· 宿州高二检测 )已知数列 {an}的通项公式是 an= n- 1 ,那么这个数列是 ( n+ 1 A.递增数列 C.常数列 ) B.递减数列 D.摆动数列

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数列

n-1 n+ 1- 2 2 解析:选 A.∵an= = = 1- , n+1 n+1 n+1 由函数单调性可知{an}是递增数列.

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数列

题型二

已知数列的前几项归纳其通项公式

例2 根据数列的前 4 项,写出下列数列的一个通项公式.
(1)0.9,0.99,0.999,0.999 9, …; 1 4 9 16 (2)1 ,2 , 3 , 4 ,…; 2 5 10 17 1 3 7 15 (3) , , , ,…; 2 4 8 16 (4)3,5,9,17,… .
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数列

【解】 (1)0.9=1-0.1= 1- 10 1, - 0.99= 1- 10 2, - 0.999=1-10 3, - 0.999 9=1-10 4, - 故 an= 1- 10 n(n∈ N*). 1 1 (2)1 =1+ 2 , 2 1 +1 4 22 2 =2 + 2 , 5 2 +1 9 32 3 =3 + 2 , 10 3 +1 16 42 4 =4 + 2 , 17 4 +1


n2 故 an= n+ 2 (n∈ N*). n +1

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1 1 2 -1 1 (3) = 1 = 1- 1, 2 2 2 2 3 2 -1 1 = 2 = 1- 2, 4 2 2 3 7 2 -1 1 = 3 = 1- 3, 8 2 2 4 15 2 - 1 1 = 4 = 1- 4, 16 2 2 2n- 1 1 故 an= n = 1- n(n∈ N*). 2 2 (4)3= 1+ 2,5= 1+ 22,9= 1+ 23,17= 1+ 24, 故 an= 1+ 2n(n∈ N*).

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数列

【名师点评】

由前几项归纳通项的一些方法:

此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳

、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.具
体方法为:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特 征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤ 化异为同.对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或 寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,

可用(-1)k或(-1)k+1处理.

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数列

跟踪训练 3.写出下列数列的一个通项公式,使其前几项分别是下列 各数. 1 9 25 (1) ,2, , 8, ,…; 2 2 2 (2)1,- 3,5,- 7,9,…; (3)a,b,a,b,a, b,…; (4)9,99,999,9 999,…. 解: (1)数列的项,有的是分数,有的是整数,可将各项都
1 4 9 16 25 统一成分数再观察: , , , , ,…,所以,它的一 2 2 2 2 2 n2 个通项公式为 an= , n∈ N*. 2
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数列

(2)数列各项的绝对值为 1,3,5,7,9, …,是连续的正奇数, + 考虑(-1)n 1 具有转换符号的作用, 所以数列的一个通项公 + 式为 an=(-1)n 1(2n- 1), n∈ N*. (3)这是个摆动数列,可寻找其摆动平衡位置与摆动振幅, a+b a-b + 平衡位置: ,振幅: ,可用 (- 1)n 1 去调节,则原 2 2 a+b n+ 1a-b 数列的一个通项公式为 an= + (- 1) , n∈ N*. 2 2 (4)各项加 1 后,变为 10,100,1 000,10 000,…,此数列的通 项公式为 10n,可得原数列的一个通项公式为 an= 10n-1, n∈ N*.

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数列

题型三

数列通项公式的应用

例3 已知数列{an}的通项公式为 an=3n2-28n. (1)写出数列的第 4 项和第 6 项; (2)问-49 和 68 是该数列的项吗?若是,是第几项?若不 是,请说明理由.
【解】 (1)根据 an=3n2-28n, a4=3× 42-28× 4=-64,a6=3× 62-28× 6=-60.

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数列

(2)令 3n2- 28n=- 49,即 3n2- 28n+49= 0, 7 ∴ n= 7 或 n= (舍). 3 ∴-49 是该数列的第 7 项,即 a7=-49. 令 3n2- 28n= 68,即 3n2-28n-68= 0, 34 ∴ n=- 2 或 n= . 3 34 * ∵-2? N , ? N ,∴68 不是该数列的项. 3
*

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数列

【名师点评】

要判断一个数是否为数列中的项,可由通

项等于这个数解出 n,根据 n 是否为正整数确定这个数是 否是数列中的项.也就是说,判断某一个数是否是数列中 的某一项,其实质就是看对应的方程是否有正整数解.

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数列

跟踪训练

4.已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-
2n(n∈N*), (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}的增减性.
解:(1)∵f(x)=2x- 2 x, f(log2an)=- 2n, 1 ∴ 2log2an-2- log2an=-2n,即 an- =-2n, an


2 ∴ a2 n+ 2nan-1= 0,解得 an=- n± n + 1.

∵ an>0,∴ an= n2+1- n, n∈ N*.
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数列

an+1 ? n+ 1?2+ 1- ?n+ 1? (2) = an n2+ 1- n = <1. ? n+ 1? + 1+ ?n+ 1?
2

n2+ 1+ n

∵ an>0,∴ an+ 1<an,∴数列 {an}是递减数列.

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数列

题型四
例4

数列递推公式的应用

1 1 在数列 {an}中,已知 a1= ,an+1-an= . 2 2 ?2n? - 1 (1)试写出该数列的前 4 项; (2)归纳出它的通项公式. 1 【解】 (1)由 a1= , 2 1 an+ 1- an= ,得 2 ?2n? - 1 1 1 1 5 a2= a1+ 2 = + = , 2 -1 2 3 6 1 5 1 27 9 a3= a2+ = + = = , 2 ?2×2? - 1 6 15 30 10 1 9 1 65 13 a4= a3+ = + = = , 2 ?2×3? - 1 10 35 70 14
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数列

1 4×1- 3 (2)∵ a1= = , 2 4×1- 2 5 4×2- 3 a2= = , 6 4×2- 2 9 4×3- 3 a3= = , 10 4×3- 2 13 4×4- 3 a4= = . 14 4×4- 2 4n- 3 ∴其通项公式可猜想为 an= . 4n- 2

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数列

【名师点评】

根据初始值及递推公式写出数列的前几项,

然后归纳、猜想其通项公式,其中归纳、猜想通项公式是难 点,可用根据数列的前几项写出一个通项公式的方法来处理 .不同的是,在写出前几项时,一般不对前几项化简(但有时 化简后有利于观察其通项公式,关键是尝试,没有定法).

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数列

跟踪训练
5. 已知数列 {an}满足下列条件,写出它的前 5 项,并归纳 出数列的一个通项公式. (1)a1=0, an+ 1= an+ (2n-1); 2an (2)a1=1, an+ 1= . 2 +a n

解:(1)∵a1=0,an+1=an+(2n-1), ∴a2=a1+(2×1-1)=0+1=1; a3=a2+(2×2-1)=1+3=4; a4=a3+(2×3-1)=4+5=9; a5=a4+(2×4-1)=9+7=16. 故该数列的一个通项公式是an=(n-1)2.
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数列

2an , 2 +a n 2a1 2 2a2 1 ∴ a2= = , a3= = , 2+a1 3 2+a2 2 2a3 2 2a4 1 a4= = , a5= = . 2+a3 5 2 +a 4 3 2 1 2 1 ∴它的前 5 项依次是 1, , , , . 3 2 5 3 2 2 2 2 2 它的前 5 项又可写成 , , , , , 1+1 2+1 3+1 4+1 5+1 (2)∵ a1=1,an+ 1= 2 故它的一个通项公式为 an= . n+ 1

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数列

方法感悟
1.单调性是数列的一个重要性质.判断数列的单调性,通常 是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N*)的大小,若an+
1>an 恒成立,则 {an} 为递增数列;若 an + 1<an 恒成立,则 {an} 为

递减数列.用作差法判断数列增减性的步骤为:①作差;②

变形;③定号;④结论.

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数列

2.通项公式与递推公式的异同 不同点 通项 可根据某项的序号,直接用代 公式 入法求出该项 都可确定一个数 列,都可求出数 可根据第1项或前几项的值,通 列的任何一项 递推 过一次或多次赋值逐项求出数 公式 列的项,直至求出所需的项 相同点

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数列

3.由递推公式写出通项公式的步骤 (1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项); (2)根据写出的前几项,观察归纳其特点,并把每一项统一 形式; (3)写出一个通项公式.

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数列

精彩推荐典例展示
名师解题
例5

数列单调性的判定问题

已知数列{an}中 an=n2-kn(n∈N*), 且{an}单调递 增,求实数 k 的取值范围.
k 【常见错误】 此题易出现利用函数 y=x2- kx 在 [ , + ∞) 2 k 上单调递增,所以 an= n -kn 在[ ,+ ∞)上也单调递增, 2
2

k 有 ≤1,即 k≤2,这样 k 的范围为 k≤2,出现了解答错误. 2
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数列

【解】 ∵ an+ 1= (n+ 1)2-k(n+ 1), an= n2-kn, ∴ an+ 1- an=(n+1)2- k(n+ 1)- n2+kn=2n+1-k, 由于数列 {an}单调递增, 故应有 an+ 1-an>0 即 2n+1-k>0, n∈ N*恒成立, 分离变量得 k<2n+1, 故只需 k<3 即可, ∴k 的取值范围为 k<3.
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数列

【失误防范】

函数的单调性与数列的单调性既有联系又有

区别,即数列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之若 数列单调,其所对应的函数不一定单调,关键原因在于数列

是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})
的特殊函数.故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an+
1与an的大小来判断,若an+1>an,则数列为递增数列,若an+ 1<an,则数列为递减数列.

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数列

跟踪训练 6.已知数列{an}的通项公式为an=n2-7n+50,求数列中的

最小项.
7 2 151 解:法一:an= n - 7n+ 50= (n- ) + ,其对称轴为 n 2 4
2

7 = , 所以当 n=3 或 4 时, an 取得最小值为 a3= a4= 32-7× 3 2 + 50=38.

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数列

? ?an≤an- 1 法二:设数列 {an}中第 n 项最小,则? , ? ?an≤an+ 1
2 2 ? ?n - 7n+ 50≤? n- 1? - 7? n- 1?+ 50 即? 2 2 ? ?n - 7n+ 50≤? n+ 1? - 7? n+ 1?+ 50

? ?n≤4, 解得? ? ?n≥3,

所以当 n=3 或 4 时, an 取得最小值,且最小项为 a3=a4 = 38.

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