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上海市虹口区2014届高三数学一模试卷(文理合卷,含答案)

时间:2014-01-15


虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科 期终教学质量监控测试题
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 已知全集 U ? ?0, 1, 如果 CU A ? ?0, 1? , 则m? 2? ,A ? ?x x ? m ? 0?, .P.F. Productions 后期制作 . . 2014.1

2、不等式 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集 是 ..

3、 如果 ? ? sin x ? cos x 对一切 x ? R 都成立, 则实数 ? 的取值范围是

4、从长度分别为 1、2、3、4 的四条线段中任意取三条,则以这三条线段为边可以构成 三角形的概率是 5、双曲线 . .

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离等于 4 9

6 、 已 知 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 [0,

? ?) 上 单 调 递 增 , 则 满 足

f (m) ? f (1) 的实数 m 的范围是

. .

7、已知 (1 ? ax) 6 的展开式中,含 x 3 项的系数等于 160,则实数 a ?

8、已知 ?a n ?是各项均为正数的等比数列,且 a1 与 a 5 的等比中项为 2,则 a2 ? a4 的最小 值等于 .

9、已知椭圆的中心在原点,一个焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点重合,一个顶点的坐标为

(0, 2) ,则此椭圆方程为
10、给出以下四个命题:



(1)对于任意的 a ? 0 , b ? 0 ,则有 a lg b ? b lg a 成立; (2)直线 y ? x ? tan? ? b 的倾斜角等于 ? ; (3)在空间 如果两条直线与同一条直线垂直,那么这两条直线平行; .. (4)在平面 将单位向量的起点移到同一个点,终点的轨迹是一个半径为 1 的圆. .. 其中真命题的序号是 .

11、已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? 数的值域为 .
1/4

1 1 ? x ,则此函 x 4 2

12 、 已 知 函 数 f ( x) ? 10 x , 对 于 实 数 m 、 n 、 p 有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,

f (m ? n ? p) ? f (m) ? f (n) ? f ( p) ,则 p 的最大值等于
13、 已知函数 f (n) ? n 2 sin



n? , 且 a n ? f (n) ? f (n ? 1) , 则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a4 1 0 2 2

?



14 、 函 数 f ( x) ? 2 sin ?x 与 函 数 g ( x) ? 3 x ? 1 的 图 像 所 有 交 点 的 橫 坐 标 之 和 为 .

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、已知 a ? (0,

2) , b ? (1, 1) ,则下列结论中正确的是(



A. (a ? b) ? b
16、函数 f ( x ) ? ?

B. (a ? b) ? (a ? b)

C. a // b


D. a ? b

?1 x为有理数 ?? x为无理数

,下列结论不正确 的( ...

A. 此函数为偶函数.
C. 此函数既有最大值也有最小值.

B. 此函数是周期函数.小水制作
D. 方程 f [ f ( x)] ? 1 的解为 x ? 1.

17、在 ?An Bn C n 中,记角 An 、 B n 、 C n 所对的边分别为 a n 、 bn 、 c n ,且这三角形的三

边长是公差为 1 的等差数列,若最小边 an ? n ? 1 ,则 lim C n ? (
n ??

) .

A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

18、 如图 1, 一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块, 容器内盛有 a 升 水. 平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点 P , 若将容器倒置如图 2, 水面也恰过点 P . 以 下命题正确的是( ).
P

1 A. 圆锥的高等于圆柱高的 ; 2 2 B. 圆锥的高等于圆柱高的 ; 3

P

C. 将容器一条母线贴地,水面也恰过点 P ; D. 将容器任意摆放,当水面静止时都过点 P .
图1

图2

2/4

三、解答题(满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分) 如图在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? a ,AD ? b ,AC1 ? c , 点 M 为 AB 的中点,点 N 为 BC 的中点. (1)求长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积; (2) 若 a ? 4 ,b ? 2 ,c ? 所成的角. 求异面直线 A1 M 与 B1 N 21 ,

D1

C1

A1

B1 D N C

A

M

B

20、 (本题满分 14 分)已知 A(cos? , 且 AB ?

sin ? ) . B(cos ? , sin ? ) ,其中 ? 、 ? 为锐角,

10 .小水作品 5

(1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)若 tan

?
2

?

1 ,求 cos? 及 cos ? 的值. 2

21、 (本题满分 14 分)数列 ?a n ?是递增的等差数列,且 a1 ? a6 ? ?6 , a3 ? a4 ? 8 . (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)求数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 的最小值; (3)求数列 a n 的前 n 项和 Tn .

? ?

3/4

22、 (本题满分 16 分)已知圆 C 过定点 A(0, 1) ,圆心 C 在抛物线 x ? 2 y 上,M 、 N 为
2

圆 C 与 x 轴的交点. (1)当圆心 C 是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长. (2)当圆心 C 在抛物线上运动时, MN 是否为一定值?请证明你的结论. (3)当圆心 C 在抛物线上运动时,记 AM ? m , AN ? n ,求 此时圆 C 的方程.

m n ? 的最大值,并求出 n m

2 22 2n 23、 (本题满分 18 分) .设函数 f n ( x) ? ?2 ? ? 2 ? ? ? n . x x x
n

(1)求函数 f 2 ( x) 在 [1,

2] 上的值域;
?

(2)证明对于每一个 n ? N ,在 [1,

2] 上存在唯一的 x n ,使得 f n ( x n ) ? 0 ;

(3)求 f1 (a) ? f 2 (a) ? ? ? f n (a) 的值.

4/4

虹口区 2014 年数学学科高考练习题答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 2 ; 2、 (? 1, 1) ; 7、 a ? 2 ; 3、 ( 2 ,

? ?) ;
9、

4、

1 ; 4

5、3;

6、 ? 1 ? m ? 1 ; (4) ; 11、 [?

8、4;

x2 y2 ? ? 1; 8 4

10、 ( 1)

1 1 , ]; 4 4

12、 2 lg 2 ? lg 3 ;

13、 ? 4032 ;

14、17;

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、 A ; 16、 D ; 17、 B ; 18、 C ;

三、解答题(满分 74 分) 19 、 (12 分 ) 解: ( 1 ) 连 AC 、 AC1 . ? ?ABC 是直角三角形,

D1

C1

? AC ? a 2 ? b 2 .…………1 分 ? ABCD ? A1 B1C1 D1 是 长 方 体 , ? C1C ? BC , A1
C1C ? CD ,又 DC ? BC ? C ,
B1 D E A M B N C

? C1C ? 平面 ABCD ,? C1C ? AC .
又在 Rt?ACC1 中, AC1 ? c , AC ?

a 2 ? b 2 ,? CC1 ? c 2 ? a 2 ? b 2 ,……………4

2 2 2 分? V ABCD ? A1B1C1D1 ? ab c ? a ? b ………6 分

(2)取 AD 的中点 E ,连 A1 E 、 EM .

? EN //AB//A1 B1 ,? 四边形 A1 B1 NE 为平行四边形,? A1 E // B1 N ,? ?EA1 M 等于异
面直线 A1 M 与 B1 N 所成的角或其补角.…………8 分 P.F. Productions 后期制作

? AM ? 2 , AE ? 1 , AA1 ? 1,得 A1 M ? 5 , A1 E ? 2 , EM ? 5 ,……10 分
? cos ?EA1 M ?
2 2? 5 ? 10 10 , ?EA1 M ? arccos . 10 10

?异面直线 A1 M 与 B1 N 所成的角等于 arccos
5/4

10 ………………12 分 10

20、 (14 分)解: (1)由 AB ?

10 10 2 2 ,得 (cos? ? cos ? ) ? (sin ? ? sin ? ) ? , 5 5

2 4 ,得 cos( ? ? ? ) ? .…………4 分 5 5 ? 1 1 ? tan2 1? ? 1 2 ? 4 ? 3 .……………6 分 (2)? tan ? ,? cos? ? ? 1 5 2 2 1 ? tan2 1? 2 4 4 3 ? sin ? ? , sin(? ? ? ) ? ? …………10 分 5 5 3 当 时 sin(? ? ? ) ? 5 24 cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? ? cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? . 25 3 当 时 sin(? ? ? ) ? ? 5
得 2 ? 2(cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? ) ?





cos ? ? cos[ ? ? (? ? ? )] ? c ? ? c

? ? ? ) ? s o? ? s o ? ? ? ) ? 0 . i s

i s

n

n (

? ? 为锐角,? cos ? ?

24 ………………………………14 分 25

21、 (14 分) 解: (1) 由 ?

?a1 ? a 6 ? ?6 ? a 3 ? a 4 ? ?6 2 ?? , 得 a 3 、a 4 是方程 x ? 6 x ? 8 ? 0 a ? a ? 8 a ? a ? 8 ? 3 4 ? 3 4

的二个根,? x1 ? ?2 , x 2 ? ?4 ,此等差数列为递增数列,? a 3 ? ?4 , a 4 ? ?2 ,公差

d ? 2 , a1 ? ?8 .? a n ? 2n ? 10 ………………4 分
(2)? S n ?

n(a1 ? a n ) 9 81 ? n 2 ? 9n , S n ? ( n ? ) 2 ? , 2 2 4

? ( S n ) min ? S 4 ? S 5 ? ?20 ……………………8 分
(3)由 a n ? 0 得 2n ? 10 ? 0 ,解得 n ? 5 ,此数列前四项为负的,第五项为 0,从第六项 开始为正的.……………………10 分小水制作 当 1 ? n ? 5 且 n ? N 时,
?

Tn ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ?(a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? ? S n ? ?n 2 ? 9n .…………12 分
当 n ? 6 且 n ? N 时,
?

6/4

Tn ? a1 ? a 2 ? ? ? a5 ? a6 ? ? ? a n ? ?(a1 ? a 2 ? ? ? a5 ) ? (a6 ? ? ? a n ) ? S n ? 2S 5

? n 2 ? 9n ? 40 .……………………14 分
22、 (16 分)解: (1)抛物线 x ? 2 y 的顶点为 (0,
2

1 0) ,准线方程为 y ? ? ,圆的半径 2
2

2 2 等于 1,圆 C 的方程为 x ? y ? 1 .弦长 2 1 ? ( ) ? 2 ?

1 2

3 ? 3 ……………………… 2

4分 (2)设圆心 C (a,

1 1 2 a ) ,则圆 C 的半径 r ? a 2 ? ( a 2 ? 1) 2 , 2 2
2

圆 C 的方程是为: ( x ? a) ? ( y ?
2 2

1 2 2 1 a ) ? a 2 ? ( a 2 ? 1) 2 …………6 分 2 2

令 y ? 0 ,得 x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,得 x1 ? a ? 1 , x2 ? a ? 1 ,

? MN ? x2 ? x1 ? 2 是定值.………………8 分
( 3 ) 由 ( 2 ) 知 , 不 妨 设

M (a ? 1, 0)



N (a ? 1, 0)



2 m ? x12 ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1 ? a 2 ? 2 ? 2a , m ? x 2 ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1 ? a 2 ? 2 ? 2a .

m n m2 ? n2 2a 2 ? 4 4a 2 ? ? ? ? 2 1? 4 .………………11 分 n m mn a ?4 a4 ? 4
当 a ? 0 时,

m n ? ? 2 .………………12 分 n m

m n m2 ? n2 2a 2 ? 4 4a 2 4 ? ? ? 2 1? 4 ? 2 1? ? 2 2. 当 a ? 0 时, ? 4 4 n m mn a ?4 2 a ?4 a ? 2 a
当且仅当 a ? ? 2 时,等号成立…………………………14 分 所 以 当 a?? 2 时 ,

m n 取 得 最 大 值 2 2 , 此 时 圆 C 的 方 程 为 ? n m

( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 .
………………………………16 分

23 、 ( 18 分 ) 解 : ( 1 ) f 2 ( x) ? ?4 ?

2 4 1 1 ? 2 , 由 x ? [1, 2] 令 t ? ? [ , 1] , x x x 2

7/4

y ? 4t 2 ? 2t ? 4 .
对称轴 t ? ?

1 1 2 , y ? 4t ? 2t ? 4 在 [ , 1] 上单调递增, f 2 ( x) 在 [1, 2] 上的值域为 4 2

[? 2. 2] .………………4 分
2m 2m 1 1 ( 2 ) ? 对于 1 ? x1 ? x2 ? 2 , m ? N 有 1 ? x ? x , m ? m ,从而 m ? m , x2 x1 x2 x1
?
m 1 m 2

2m 2 22 2n n ? ? y ? m , m ? N ,在 x ? [1, 2] 上单调递减,? f n ( x ) ? ?2 ? ? 2 ? ? ? n , x x x x

?在 x ? [1, 2] 上单调递减. 小水作品
又 f n (1) ? ?2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 .
n 2 n n

f n (2) ? ?2 n ? n .………………7 分
当 n ? 2 时, f n (2) ? ?2 ? n ? ?(1 ? 1) ? n ? ?Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n ? 0
n n 0 1 2 n

(注用数学归纳法证明 2 ? n 相应给分)
n

又 f1 (2) ? ?2 ? 1 ? ?1 ? 0 ,即对于任意自然数 n 有 f n (2) ? ?2 ? n ? 0
n

?对于每一个 n ? N ? ,存在唯一的 xn ? [1, 2] ,使得 f n ( x n ) ? 0 ………………11 分
(3) f m (a) ? ?2 ?
m

2 22 2m ? 2 ??? m . a a a
m

当 a ? 2 时, f m (a) ? ?2 ? m .

n(n ? 1) ? 2 .………………14 分 2 2 2 [1 ? ( ) m ] 2 m 2 2 2 m m a 当 a ? 2 且 a ? 0 时, f m (a ) ? ?2 ? ? 2 ? ? ? m ? ?2 ? a . 2 a a a 1? a f1 (a) ? f 2 (a) ? ? ? f n (a) ? ?2 n ?1 ?
f1 (a) ? f 2 (a) ? ? ? f n (a) ? ?2 n ?1 ? 2 ? 2n 4 2 n?2 ? ? ……………18 分 a ? 2 (a ? 2) 2 (a ? 2) 2 a n

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