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2013版高中全程复习方略配套课件:选修4-5.2证明不等式的基本方法、数学归纳法证明不等式


第二节

证明不等式的基本方法、

数学归纳法证明不等式

三年3考

高考指数:★★

1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反 证法、放缩法等. 2.理解数学归纳法的原理及其使用范围,会用数学归纳法证明 一些简单问题;

3.理解会用数学归

纳法证明贝努利不等式(1+x)n>1+nx(x>
-1,x≠0,n为大于1的自然数).了解当n为大于1的实数时贝努利 不等式也成立.

1.利用综合法、分析法证明不等式是高考的热点,且常与函数、 三角、基本不等式联系在一起综合考查. 2.数学归纳法和放缩法常和数列问题综合考查,是高考对本节 内容考查的重点,也是难点.

1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,有作差比较法和作商比较 法两种. (1)作差比较法的理论依据是a>b? a-b>0 ;a<b? a-b<0 ;

a=b? a-b=0 .
(2)作商比较法的理论依据是b>0,
a >1? b

a>b ;

b<0, a >1? a<b .
b

【即时应用】
(1)思考:作差比较法和作商比较法主要适合的类型是什么? 提示:①作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式 的证明. ②作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等 式的证明.

(2)已知a>b>-1,则

1 1 与 的大小关系是_________. a ?1 b ?1

【解析】≧a>b>-1,?a+1>b+1>0,
1 1 < . a ?1 b ?1 答案: 1 < 1 a ?1 b ?1

?

2.综合法与分析法 (1)综合法 一般地,从 已知条件 出发,利用 定义 、公理、 定理 、性 质等,经过一系列的 推理 、 论证 而得出命题成立,这种 证明方法叫做综合法.综合法又叫 顺推证法 或由因导果法.

(2)分析法

充分 证明命题时,从 要证的结论 出发,逐步寻求使它成立的____
一个明显成立的事实 条件 _____,直至所需条件为 已知条件 或____________________ (定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命 执果索因 题成立,这种证明方法叫做分析法,这是一种__________的思 考和证明方法.

【即时应用】 (1)思考:用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系? 提示:综合法:A?B1?B2???Bn?B(逐步推演不等式成立的 必要条件),即由条件出发推导出所要证明的不等式成立. 分析法:B?B1? 2???Bn?A(步步寻求不等式成立的充分条 ? ?B ? ? ? 件). 总之,综合法与分析法是对立统一的两种方法.

(2)已知等比数列{an}的各项均为正数,且公比q≠1,若
P? a 2 ? a9 ,Q ? a 4a 7 , 则P与Q的大小关系为____________. 2

【解析】由等比数列的性质,a2a9=a4a7,由已知a2>0,a9>0,a2≠a9, ?P= a 2 ? a 9 > a 2 a 9 = a 4 a 7 =Q.
2

答案:P>Q

3.反证法 不成立 (1)假设要证的命题_______,以此为出发点,结合已知条 件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到 命题的条件 和___________(或已证明的定理、性质、明显成立的事实

原命题成立 等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明___________,
我们把它称为反证法.

(2)证明步骤:反设→推理→归谬→肯定原结论.

【即时应用】

(1)思考:若a,b,c∈(0,1),则(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a能否同
时大于 1 ?
4

提示:假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于 1 ,
4

即有(1-a)b>1 ,(1-b)c> 1 ,(1-c)a> 1 ,
4 4 4

三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c> 1 .

64 又 ?1 ? a ? a ? (1 ? a ? a ) 2 ? 1 , ?1 ? b ? b ? (1 ? b ? b ) 2 ? 1 , 2 4 2 4 1? c ? c 2 1 1 ? c? c ? ( ) ? . ? 2 4

1 , 与假设矛盾. 64 1 故(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于 . 4

?(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤

(2)否定“自然数a、b、c中恰有一个为偶数”时正确的反设为 _________________.

【解析】三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、二偶一奇、
二奇一偶”4种,而自然数a、b、c中恰有一个为偶数只包含

“二奇一偶”的情况,故反设为a,b,c中至少有两个偶数或都
是奇数. 答案:a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数

4.放缩法 放大 (1)证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值_____或 缩小 _____,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法 称为放缩法. > (2)理论依据a>b,b>c?a____c.

【即时应用】

(1)lg9·lg11与1的大小关系是_________;
(2)设x>0,y>0, A ? x ? y , B ? x ? y , 则A与B的大小关
1? x ? y 1? x 1? y

系是__________.

【解析】(1)≧lg9>0,lg11>0, ? lg9glg11<( lg9 ? lg11)2 ? ( lg99 )2<( lg100 )2 ? 1.
2 2 2

?lg9·lg11<1. (2)≧x>0,y>0, ? A?
x y x y ? < ? ? B, 1? x ? y 1? x ? y 1? x 1? y

?A<B. 答案:(1)lg9·lg11<1 (2)A<B

5.数学归纳法

当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成
立时,可以用以下两个步骤: n=n0 ①证明当______时命题成立; n=k+1 ②假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立,证明_______时命 题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有 正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.

【即时应用】 (1)思考:数学归纳法中的n0一定是1吗?为什么? 提示:n0不一定是1,一般是指适合命题的第一个正整数,比如 证明凸n边形的内角和f(n)=(n-2)×180°,这里面的n应不小 于3,即n≥3(n∈N+),第一个值n0=3.

(2)某个命题与正整数n有关,如果当n=k时该命题成立.那么可
推导出当n=k+1时也成立.现已知n=12时,该命题不成立.那么 可推得n=______时,该命题不成立. 【解析】≧n=12时,命题不成立.?n=11时命题不成立.同理 n=10、9、8、?、2、1时命题均不成立. 答案:1、2、3、?、11

用比较法证明不等式
【方法点睛】 1.作差比较法 (1)作差比较法的一般步骤是:作差、变形、判断符号、得出结 论.其中,变形整理是关键,变形的目的是为了判断差的符号,常

用的变形方法有:因式分解、配方、通分、拆项、添项等.
(2)若所证不等式的两边是整式或分式多项式时,常用作差比较 法.

2.作商比较法 (1)作商比较法的一般步骤是:作商、变形、判断与1的大小关 系,得出结论. (2)利用作商比较法时,要注意分母的符号. 【提醒】当不等式的两边为对数式时,可用作商比较法证明,

另外,要比较的两个解析式均为正值,且不宜用作差比较法时,
也常用作商比较法.

【例1】求证: (1)当x∈R时,1+2x4≥2x3+x2.

(2)当a,b∈(0,+∞)时,aabb≥ ? ab ?

a ?b 2

.

【解题指南】第(1)小题的不等式为一元型的整式不等式,

因此可考虑利用作差比较法证明;第(2)小题是幂指数型的
不等式,可考虑采用作商比较法证明.

【规范解答】(1)方法一:(1+2x4)-(2x3+x2) =2x3(x-1)-(x+1)(x-1) =(x-1)(2x3-x-1) =(x-1)(2x3-2x+x-1) =(x-1)[2x(x2-1)+(x-1)] =(x-1)2(2x2+2x+1)
1 =(x-1)2[2(x+ 1 )2+ ]≥0, 2 2

?1+2x4≥2x3+x2.

方法二:(1+2x4)-(2x3+x2) =x4-2x3+x2+x4-2x2+1 =(x-1)2·x2+(x2-1)2≥0 ?1+2x4≥2x3+x2.

(2)

a a bb

a ( 当a=b时, )2 =1. b a ?b a?b a 2 a 当a>b>0时, >1, >0,则( ) >1. 2 b b a ?b a a <1, ? b <0,则 a 2 >1. 当b>a>0时,0< ( ) 2 b b

? ab ?

a ?b 2

?a

a ?b 2

b

b ?a 2

a ?b

a a ?b ? )2 , ( b

综上可知,当a、b∈(0,+≦)时,aabb≥

? ab ?

a ?b 2

成立.

【反思·感悟】1.利用作差比较法时,变形的目的在于判断差 的符号,而不必考虑差的值是多少.若遇到结果符号不能确定的 情况,这时要对差式进行分类讨论. 2.在作商比较中 a >1?a>b是不正确的,这与a,b的符号有关,
b a 比如:若b>0,由 >1,可得a>b,但若b<0,则由 a >1得出的反 b b

而是a<b.也就是说,在利用作商比较法时,要对a、b的符号作出 判断.

用综合法或分析法证明不等式 【方法点睛】 1.综合法与分析法的逻辑关系 用综合法证明不等式是“由因导果”,分析法证明不等式是“执 果索因”,它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是 分析法的逆过程,表述简单、条理、清楚,所以在实际应用时,

往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综
合法相互转化,互相渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,

可以拓宽解题思路,开阔知识视野.

2.分析法的应用
当所证明的不等式不能使用比较法,且和重要不等式、基本不 等式没有直接联系,较难发现条件和结论之间的关系时,可用 分析法来寻找证明途径,使用分析法证明的关键是推理的每一 步必须可逆.

【例2】(1)已知a,b,c>0且互不相等,abc=1.试证明:
1 1 1 a ? b ? c< ? ? . a b c

(2)已知a+b+c=1,求证:ab ? bc ? ca ? 1 .
3

【解题指南】(1)由于a,b,c>0,abc=1,故 1 ? 1 ? 2 1 ? 2 c, 故
a b ab

本题可考虑利用基本不等式解决. (2)不等式左边为两两乘积的形式,而已知条件是a、b、c和的 形式,因此将已知式两边平方,可得出a、b、c两两积及a2、b2、

c2和的式子,然后再利用平均不等式将a2+b2+c2转化为a、b、c
的两两积之和,得所证不等式.

【规范解答】方法一:≧a,b,c>0,且互不相等,abc=1.
? a? b? c? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 1 1 1 b c a c a b 1 1 1 ? ? < ? ? ? ? ? , bc ac ab 2 2 2 a b c

即 a ? b ? c< 1 ? 1 ? 1 .
a b c

方法二: 1 ? 1 ? 2 1 ? 2 c; ?
a b ab 1 1 1 ? ?2 ? 2 a; b c bc 1 1 1 ? ?2 ? 2 b. c a ac

?以上三式相加,得 1 ? 1 ? 1 ? a ? b ? c.
a b c

又≧a,b,c互不相等,
? ? ? > a ? b ? c.
1 a 1 b 1 c

方法三:≧a,b,c是互不相等的正数,且abc=1,
1 1 1 bc ? ca ca ? ab ab ? bc ? ? ? ? bc ? ca ? ab ? ? ? > abc 2 ? a 2 bc ? a b c 2 2 2 ab 2 c ? a ? b ? c. 1 1 1 ? a ? b ? c< ? ? . a b c

(2)≧a+b+c=1,?a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 又≧a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca, ?将以上三个不等式相加,得 2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca). ?a2+b2+c2≥ab+bc+ca. ?1=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca
=3(ab+bc+ca),

?ab+bc+ca≤ .

1 3

【反思·感悟】本题条件中abc=1是解题的关键. 可以先利用“1”的代换,构造利用基本不等式的条件,然后 解决问题,也可以先利用基本不等式,然后通过“1”的代换
1 1 1 来建立 ? ? 与 a ? b ? c 之间的大小关系的.因此在综合 a b c

法中,每一个题设条件所反馈出来的“信息”,都是至关重要 的,也都有可能成为解题的突破口.

用反证法证明不等式 【方法点睛】 1.适宜用反证法证明的数学命题

(1)结论本身是以否定形式出现的一类命题;
(2)关于唯一性、存在性的命题;

(3)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题;
(4)结论的反面比原结论更具体、更容易研究的命题.

2.使用反证法证明问题时,准确地作出反设(即否定结论),
是正确运用反证法的前提,常见的“结论词”与“反设词”列

表如下:
结论词
至少有一个
至多有一个 至少有n个 至多有n个

反设词
一个也没有
至少有两个 至多有n-1个 至少有n+1个

结论词
对所有x成立 对任意x不成立 p或q p且q

反设词
存在某个x不成立 存在某个x成立

﹁p且﹁q ﹁p或﹁q

【例3】(1)若a3+b3=2,求证:a+b≤2.

(2)设二次函数f(x)=x2+px+q,求证:
|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 【解题指南】(1)直接证明a+b≤2比较困难,可考虑从反面入 手,运用反证法,导出矛盾,从而证得结论. (2)当要证明几个代数式中至少有一个满足条件时,通常采用 反证法进行.
1 2

【规范解答】(1)方法一:假设a+b>2, 而a2-ab+b2= (a ? 1 b) 2 ? 3 b 2 ? 0.
2 4

但取等号的条件为a=b=0,显然不可能,

?a2-ab+b2>0.
则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>2(a2-ab+b2), 而a3+b3=2,故a2-ab+b2<1. ?1+ab>a2+b2≥2ab.从而ab<1. ?a2+b2<1+ab<2.

?(a+b)2=a2+b2+2ab<2+2ab<4.
?a+b<2.这与假设矛盾,故a+b≤2.

方法二:假设a+b>2,则a>2-b, 故2=a3+b3>(2-b)3+b3,即2>8-12b+6b2, 即(b-1)2<0,这不可能,从而a+b≤2. 方法三:假设a+b>2,

则(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)>8.
由a3+b3=2,得3ab(a+b)>6.故ab(a+b)>2. 又a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=2. ?ab(a+b)>(a+b)(a2-ab+b2). ?a2-ab+b2<ab,即(a-b)2<0.

这不可能,故a+b≤2.

(2)假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于 1 , 则
2

|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2. 另一方面,由绝对值不等式的性质,有 |f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)-2f(2)+f(3)| =|(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)| =2





①、②两式的结果矛盾,
所以假设不成立,原来的结论正确.

【反思·感悟】1.本题(1)三种方法均采用反证法,有的推至 与假设矛盾,有的推至与已知事实矛盾.一般来说,结论的语气 过于肯定或肯定“过头”时,都可以考虑采用反证法. 2.因为本题(1)的已知条件非常少,为了增加可利用的条件,从 反证法的角度来说,“假设”也是已知条件,固而可考虑采用 反证法.

用放缩法或数学归纳法证明不等式 【方法点睛】 放缩法或数学归纳法证明不等式的技巧 (1)与自然数n有关的不等式证明问题,如果用常规方法有困 难,可以考虑利用数学归纳法来证明.在利用数学归纳法证明 不等式时,在第二步骤中,要注意利用归纳假设.同时,这一

步骤往往会涉及到分析法、放缩法等综合方法.

(2)放缩法证明不等式,就是利用不等式的传递性证明不等 关系,即要证a>b,只需先证明a>p,且p>b.其中p的确定是 最重要,也是最困难的,要凭借对题意的深刻分析,对式子巧

妙变形的能力以及一定的解题经验.

【例4】在数列{an},{bn}中,a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等 差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列. (1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公 式,并证明你的结论; (2)证明:
1 1 1 5 ? ??? < . a1 ? b1 a 2 ? b 2 a n ? b n 12

【解题指南】问题(1)属于归纳—猜想问题,应利用数学归

纳法证明;问题(2)可通过缩小分母,即放大不等式的左侧
来证明不等式.

【规范解答】(1)由条件得2bn=an+an+1,an+12=bnbn+1,

由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.
猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明: ①当n=1时,由上可得结论成立. ②假设当n=k(k≥1且k∈N)时,结论成立,即 ak=k(k+1),bk=(k+1)2,

那么当n=k+1时, ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),
a 2 ?1 2 b k ?1 ? k ? ? k ? 2 ? . bk

所以当n=k+1时,结论也成立. 由①②,可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立. (2)当n=1时,
1 1 5 ? < , 结论成立. a1 ? b1 6 12

当n≥2时,由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)>2(n+1)n.



1 1 1 ? ??? a1 ? b1 a 2 ? b 2 a n ? bn

1 1 1 1 1 < ? [ ? ??? ] 6 2 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ? ? ??? ? ) 6 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 1 1 1 1 5 ? ? ( ? )< ? ? , 6 2 2 n ? 1 6 4 12

结论也成立. 综上,原不等式成立.

【反思·感悟】1.用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步, 即n=k+1时为什么成立;n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根 据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时

成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没
有得到证明.

2.用数学归纳法可证明有关的正整数问题,但并不是所有的正
整数问题都可以用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分 析.

②假设当n=k(k≥5,k∈N*)时,结论成立,

即Sk>Pk即2k>k2,那么当n=k+1时,
Sk+1-Pk+1=2k+1-(k+1)2=2·2k-(k+1)2>2k2-(k+1)2 =k2-2k-1=(k-1)2-2 当k≥5时,(k-1)2-2>0恒成立, 则2k+1>(k+1)2,所以当n=k+1时,结论也成立. 由①②知,当n≥5时,都有Sn>Pn.

方法二:当n≥5时,由于 2n= ?1 ? 1?n ? 1 ? n ? =n2+n+2>n2, 所以Sn-Pn=2n-n2>0, 综上:当n=2或4时,Sn=Pn; 当n=3时,Sn<Pn;当n=1或n≥5时,Sn>Pn.
n ? n ? 1? 2 ? n ? n ? 1? 2 ? n ?1


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