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2013高考数学三轮押题冲刺


一元二次不等式
【考点导读】 1. 会解一元二次不等式,了解一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系和转化。 2. 能运用一元二次不等式解决综合性较强 的问题. 【基础练习】 1.解不等式: (1) ?3 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 解 (2)

1 2 3 x ?x? ?0 2 2
2

(3) ? x ? 1

?? x ? 3? ? 2 x ? x ? 2 (4) ? 4 ? ?

1 2 3 x ? x ? ? ?2 2 2 2 ?x?2 3

解: (1)原不等式化为 3 x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ,解集为 ? (2)原不等式化为 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解集为 R (3)原不等式化为 x 2 ? x ? 1 ? 0 ,解集为 ?

3 ?1 2 ?2 x ? x ? 2 ? 4 ? 2 1 2 3 ? ?x ? 2x ? 1 ? 0 (4)由 2 ? x ? x ? ? 4, 得 ? ,得? 2 2 2 ?x ? 2x ? 5 ? 0 ? ? 1 x2 ? x ? 3 ? 2 ?2 ? 2
得?

? x ? 2 ? 1或x ? ? 2 ? 1 ? ?? 6 ? 1 ? x ? 6 ? 1 ?

,

? x ? (? 6 ? 1, ? 2 ? 1) ? ( 2 ? 1, 6 ? 1)
点拨:解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程 ? 的判断、以及对应方程两根 大小的比较. 2. 函数 y ?

log 1 ( x 2 ? 1) 的定义域为 ? ? 2, ?1 ? 1, 2 ? ? ?
2
2

? ?

3..二次函数 y=ax +bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:

x y
2

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则不等式 ax +bx+c>0 的解集是 (??,?2) ? (3,??) 4.若不等式 x 2 ? bx ? c ? 0 的解集是 {x x ? 3或x ? ?1} ,则 b=__-2____ c=__-3____.

5.关于 x 的不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 的解集是空集,那么 a 的取值区间是[0,4]
2

【范例导析】 【例 1】已知关于 x 的不等式(m- 2)x -mx-1≥0 的解集为[x 1,x 2]且 1≤|x1-x 2|≤ 3,求实 数 m 的取值范围 . 分析: a 应满足三个条件: 2 ①m-2<0,保证抛物线 y=(m-2)x -mx-1 开口向下, ②其判别式Δ ≥0,? ③1≤|x1-x2|=
b 2 ? 4ac ≤3 |a|
2 2

解: 令 y=(m-2)x -mx-1
? ? ? ?m ? 2 ?m ? 2 ?m ? 2 ? 0 ? 3 ? ? 2 ? ?m ? 2 3 ? 2或m ? ?2 ? 2 3 ? ≤m<2 ? ? ?m ? 4(m ? 2) ? 0 则由 ?? ? 0 2 ? ?1 ?| x ? x |? 3 ? 3 1 2 ? m 2 ? 4(m ? 2) ?m ? ? ?3 2 ? ?1 ? |m?2| ?

点拨:通过二次函数的图像特点,寻找 m 的满足的充要条件,是数学中“等价转化”思想的 体现. 例 2. 设 f(x)=ax +bx+c , 若 f(1 )=
2

7 , 问 是 否 存 在 a 、 b 、 c∈R , 使 得 不 等 式 : 2

x2+

1 3 2 ≤f(x)≤2x +2x+ 对一切实数 x 都成立,证明你的结论 . 2 2

分析:抓住特殊状态寻找解题突破口. 解:由 f(1)=
7 7 3 3 2 1 2 2 得 a+b+c= ,令 x + =2x +2x+ x ? x=-1,由 f(x)≤2x +2x+ 推得 2 2 2 2 2

f(-1)≤

3 . 2
2

由 f(x)≥x +

1 3 3 3 推 得 f(-1)≥ ,∴f(-1)= ,∴a-b+c= ,故 2 2 2 2
5 5 2 且 b=1,∴f(x)=ax +x+( -a). 2 2
5 2 1 -a)≥x + 对一切 x∈R 成立, 2 2
2

2(a+c)=5,a+c= 依题意:ax +x+(
2

∴a≠1 且 Δ =1- 4(a-1)(2-a)≤0,得(2a- 3) ≤0, ∴f(x)=
3 2 x +x+1 2

3 2 3 x +x+1≤2x2+2x+ 对 x∈R 都成立. 2 2 3 3 2 1 2 ∴存在实数 a= ,b=1,c=1,使得不等式:x + ≤f(x)≤2x +2x+ 对一切 x∈R 都成立. 2 2 2
易验证:

点拨:一元二次不等式恒成立的问题可以结合二次函数图像找出参数满足的条件. 【例 3】解关于x的不等式

a ( x ? 1) ? 1(a ? 1) x?2

分析:本题可以转化为含参的一元二次不等式,要注意分类讨论. 解:原不等式等价于

(a ? 1) x ? (a ? 2) ? 0 ∵ a ? 1 ∴等价于: x?2

?a ? 1?? x ? a ? 2 ? ? ?

a ?1 ? ? ?0 x?2
x?

(*)

a?2 a ? 1 >0∵ a ? 2 ? 1 ? 1 <1∴x< a ? 2 或 x>2 当 a>1时, (*)式等价于 x?2 a ?1 a ?1 a ?1 a?2 x? a ? 1 <0由2- a ? 2 = a 知: a<1时, (*)式等价于 x?2 a ?1 a ?1 a?2 a?2 当0<a<1时, >2,∴2<x< ; a ?1 a ?1 a?2 a?2 当 a<0时, <2,∴ <x<2; a ?1 a ?1 a?2 当 a=0时,当 =2,∴x∈φ a ?1 a?2 综上所述可知:当 a<0时,原不等式的解集 为( ,2) ;当 a=0时,原不等式的解 a ?1 a?2 集为φ ; 当0<a<1时, 原不等式的解集为 (2, ) 当 a>1时, ; 原不等式的解集为 (- a ?1 a?2 ∞, )∪(2,+∞) 。 a ?1
思维点拨:含参数不等式,应选择恰当的讨论标准对所含字 母分类讨论,要做到不重不漏. 反馈练习: 1.已知不等式① x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ② x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ③ 2 x 2 ? 9 x ? m ? 0 ,若要使同时满足① ②的 x 也满足③,则 m 的范围是 m ? 9 2 .若 m ? n, p ? q ,且 ? p ? m ?? p ? n ? ? 0 , ? q ? m ?? q ? n ? ? 0 ,则 m、n、p、q 的大小关 系为 m ? p ? q ? n 3.若关于 x 的不等式 ax ? ax ? a ? 1 ? 0, 的解集为 R,则 a 的取值范围是 ? ??, 0?
2

4.不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 解集为 ?
2

1 1 ? x ? ,则 ab 值分别为-12,-2 2 3

5.不等式 2 ? x ? px ? 10 ? 6 有唯一解,则实 数 p = ?4

6.若函数 f(x) =

2x

2

? 2 ax ? a

0 ? 1 的定义域为 R,则 a 的取值范围为 ? ?1,?

7.设 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 均为非零实数,不等式 a1 x 2 ? b1 x ? c1 ? 0 和 a2 x 2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解 集分别为集合 M 和 N,那么

a1 b1 c1 ? ? 是 M=N 的既非充要又非必要(填充分非必要、必 要 a2 b2 c2

非充分、充要条件、既非充要又非必要) 8.不等式 ax +bx+c>0 的解集为{x|α <x<β }其中 β >α >0, 则不等式 cx +bx+a <0 的解 集是 ? x | x ?
2 2

? ?

1

?

或x ?

1? ? ??
2

9. 若 存 在 a ? ?1,3? , 使 得 不 等 式 ax ? ? a ? 2 ? x ? 2 ? 0 成 立 , 则 实 数 x 的 取 值 范 围 是

x ? ?1或x ?

2 3
2 2

10.已知 M 是关于 x 的不等式 2x +(3a-7)x+3+a-2a <0 解集,且 M 中的一个元素是 0,求 实数 a 的取值范围,并用 a 表示出该不等式的解集. 解:原不等式即(2x-a-1)(x+2a-3)<0, 由 x ? 0 适合不等式故得 (a ? 1)(2a ? 3) ? 0 ,所以 a ? ?1 ,或 a ? 若 a ? ?1 ,则 ? 2a ? 3 ?

a ?1 5 a ?1 , ? (?a ? 1) ? 5 ,∴ 3 ? 2a ? 2 2 2 a ?1 此时不等式的解集是 {x | ? x ? 3 ? 2a} ; 2 3 a ?1 5 5 a ?1 若 a ? ,由 ? 2a ? 3 ? , ? (?a ? 1) ? ? ,∴ 3 ? 2a ? 2 2 2 4 2 a ?1 此时不等式的解集是 {x | 3 ? 2a ? x ? }。 2
11.解不等式: ax ? ?a ? 2 ?x ? 1 ? 0
2

3 . 2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2 ? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次项
2

系数进行分类讨论。 解:∵ ? ? ?a ? 2 ? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
2

2 解得方程 ax ? ?a ? 2 ?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ? 2a 2a ? ?

当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

当 a ? 0 时, 解集为 ? x |

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?x? ? 2a 2a ? ?

12.已知方程 4x +(m-2)x+(m-5)=0,①是否存在实数 m 使方程有一正根和一负根,若存在求 出 m 的值 ,若不存在请说明理由;②是否存在实数 m 使方程两根都大于 1,若存在求出 m 的 值,若不存在说明理由。 解 :设方程 4 x 2 +(m-2)x+(m-5)=0 的两根为 x1 、 x 2 ①若方程 4 x 2 +(m-2)x+(m-5)=0 有一正根和一负根,则需满足:

2

?(m ? 2) 2 ? 16(m ? 5) ? 0 ?? ? 0 ? ? ?m ? 5 ? ?0 ? x1 x 2 ? 0 ? ? 4
∴此时 m 的取值范围是(- ? ,5).

? m<5.

②错解:若方程 4 x 2 +(m-2) x+(m-5)=0 的两根都大于 1,则需满足:

?? ? 0 ? ? x1 ? x2 ? 2 ?x ? x ? 1 ? 1 2

?

? ?m 2 ? 20m ? 84 ? 0 ? ? 2m ? 3 ?0 ? ? 4 ?m ? 5 ? 4 ?1 ?

?

m∈(

3 ,6) 2

∴此时 m 的取值范围是(

3 ,6),即原方程不可能两根都大于 1. 2

正解:若方程 4 x 2 +(m-2)x+(m-5)=0 的两根都大于 1,则需满足:

?? ? 0 ? ?( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0 ?( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 0 2 ? 1

?

? ?m 2 ? 20m ? 84 ? 0 ? ? 2m ? 3 ?0 ? ? 4 ?m ? 6 ? 4 ?0 ?

? m∈φ .

∴此时 m 的取 值范围是φ ,即 原方程不可能两根都大于 1. 说明:解这类题要充分利用判别式和韦达定理.


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