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2.3.2


1 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

2 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

一、离散型随机变量的均值

数学期望
xi

X
P

x1

x2

· · · · · ·

· · ·

xn

p1

p2

pi

· · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
二、离散型随机变量均值的线性性质

E (aX ? X b)E ?a
X E(X)

?b

三、两点分布与二项分布的均值

X服从两点分布

X~B(n,p)

p

np

3 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 要从两名同学中挑选出一名,代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录,第一名同学击中目标靶的环数 X1 的分布列为

X1

P
X2

5 0.03
5 0.01

6 7 0.09 0.20
6 0.05 7 0.20

8 0.31

9 0.27

10 0.10
9 0.33

第二名同学击中目标靶的环数

X 2的分布列为
8 0.41

P

请问应该派哪名同学参赛?

EX1 ? 8 , EX 2 ? 8

发现两个均值相等

因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.

5 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

2、定量分析 怎样定量刻画随机变量的稳定性? (1)样本的稳定性是用哪个量刻画的?方差 (2)能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢?离散型随机变量取值的方差

一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X P

x1

p1

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · · xn · · · pn

则称 DX ? (nx1 ? EX )2 p1 ? ?? ( xi ? EX )2 pi ? ?? ( xn ? EX )2 pn ? ? ( xi ? EX )2 pi 为随机变量X的方差。 称 ?X ?
i ?1

DX 为随机变量X的标准差。

7 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

(二)、公式运用
1、请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.

X1

P
X2

5 0.03
5 0.01

6 7 0.09 0.20
6 0.05

8 0.31

9 0.27
8 0.41
9 i ?5

10 0.10
9 0.33

P
10 i ?5

7 0.20

2 DX 1 ? ? (i ? 8)2 P( X 1 ? i ) ? 1.50, DX 2 ? ? (i ? 8) P( X 2 ? i ) ? 0.82

因此第一名同学的射击成绩稳定性较差,第二名同学的射击 成绩稳定性较好,稳定于8环左右. 如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右,本班 应该派哪一名选手参赛?如果其他班级参赛选手的成绩 在7环左右,又应该派哪一名选手参赛?

8 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

应用举例
例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点 数的均值、方差和标准差. 解:抛掷散子所得点数X 的分布列为
X
.

1
1 6
;

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

P

从而 EX ? 1?
2

1 1 1 1 2 2 2 DX ? (1 ? 3.5) ? ? (2 ? 3.5) ? ? (3 ? 3.5) ? ? (4 ? 3.5) ? 6 6 6 6 1 1 2 2 ? (5 ? 3.5) ? ? (6 ? 3.5) ? ? 2.92 6 6

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3.5 6 6 6 6 6 6

? X ? DX ? 1.71

9 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

小结
求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步 骤:
①理解X 的意义,写出X 可能取的全部值;

②求X取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出 EX;
王新敞
奎屯 新疆

④根据方差、标准差的定义求出 DX 、 ?X

10 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 (2)决策问题 例2.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息:
甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800

获得相应职位的概率P1
乙单位不同职位月工资X2/元 获得相应职位的概率P2

0.4
1000 0.4

0.3
1400 0.3

0.2
1800 0.2

0.1
2200 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得

EX1 ? 1200 ? 0.4 + 1 400 ? 0.3 + 1600 ? 0.2 + 1800 ? 0.1 =1400
DX1 ? (1200-1400) 2 ? 0. 4 ? (1400-1400 ) 2 ? 0.3 ? (1600 -1400 )2 ? 0.2

? (1800-1400) ? 0. 1 ? 40 000
2

11 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

EX 2 ? 1 000 ? 0.4 ? 1 400 ? 0.3 ? 1 800 ? 0.2 ? 2200 ? 0.1 ? 1400
DX 2 ? (1000-1400)2 ? 0. 4 ? (1 400-1400)2 ? 0.3 ? (1800-1400)2 ? 0.2

+ (2200-1400 )2 ? 0.l = 160000 .
因为 EX1 ? EX 2 , DX1 ? DX ,所以两家单位的工资均值相等, 2 但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资 相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些, 就选择甲单位;如果你希望不同职位的工资差距大一些, 就选择乙单位.

12 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

几个常用公式:

D(aX ? b) ? a DX
2

若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

13 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

相关练习:

1 1、 已 知 ? ? 3? ? , 且D? ? 13, 则D? ? 117 8

2、已知 X~B(n, p),EX ? 8, DX ? 1.6, 则n ?10 , p ?0.8
3、有一批数量很大的商品,其中次品占 1%,现从中任意地连续取出200件商品, 设其次品数为X,求EX和DX。 2,1.98

14 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式

D(aX ? b) ? a 2 DX
若X服从两点分布,则 DX ? p(1 ? p)

若X ~ B(n, p),则DX ? np(1 ? p)

15 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 (三)、练习 1 .已知 ? ~ B ? n, p ? , E? ? 8, D? ? 1.6 ,则 n, p 的值分别是( D )

100和0.08 A.

B. 20和0.4

C. 10和0.2

D. 10和0.8

王新敞
奎屯

新疆

2. 有一批数量很大的商品的次品率为1%,从中任意地连续取出 200件商品,设其中次品数为X,求EX,DX EX=2 ; DX=1.98 3. 一盒中装有零件12个,其中有9个正品,3个次品,从中 任取一个,如果每次取出次品就不再放回去,再取一个 零件直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品 数的期望与方差. EX=0.3 ;DX=351/1100
王新敞
奎屯 新疆

16 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

例 4.A、B 两台机床同时加工零件,每生产 一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所 示: A 机床 ξ 0 1 2 3 B 机床 η 0 1 2 3

P 0.7 0.2 0.06 0.04 P 0.8 0.06 0.04 0.10 问哪一台机床加工质量较好

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17 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

解: Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,
Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.
Dξ 1=(0-0.44) ×0.7+(1-0.44) ×0.2+(2-0.44) ×0.06+(3-0.44) ×0.04=0.6064,
2 2 2 2

Dξ 2=(0-0.44) ×0.8+(1-0.44) ×0.06+(2-0.44) ×0.04+(3-0.44) ×0.10=0.9264.
∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好.
2

2

2

2

18 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2、两个特殊分布的方差 (1)若 X 服从两点分布,则

DX ? p(1 ? p)

(2)若 X ~ B(n, p) ,则 DX ? np(1 ? p) (2)证明提示:
n

第一步求

?k C
2 k ?0
n k ?0 n

k n

p (1 ? p)
k

n?k

2 n ( n ? 1) p ? np ?

k k 2np ? kCn p (1 ? p)n ?k ? 2 2

2n2 p2

n p
第二步得

k k n?k 2 2 C p (1 ? p ) ? n p ? n k ?0

DX ? np(1 ? p)

19 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 3、方差的性质 (1)线性变化

平移变化不改变方差,但是伸缩变化改变方差

D(aX ? b) ? a2 DX
(2)方差的几个恒等变形
n

DX ? ? ( xi ? EX )2 pi
i ?1

? E( X ? EX )2
? EX 2 ? ( EX )2
注:要求方差则先求均值

20 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 3、能熟练地直接运用两个特殊分布的方差公式

(1)若 X 服从两点分布,则

DX ? p(1 ? p)

(2)若 X ~ B(n, p) ,则 DX ? np(1 ? p) 4、掌握方差的线性变化性质

D(aX ? b) ? a2 DX
5、对于两个随机变量 X 1 和 X 2在 EX1 与 EX 2相等或 很接近时,比较 DX1 和 DX 2,可以确定哪个随机变量 的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要.

21 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

知识回顾

★求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤?
求分布列→求期望→求方差

★在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式?
⑴E? ? ? xi pi
i ?1 n

D? ? ? ( xi ? E? ) pi ;
2 i ?1

n

⑵E (a? ? b) ? aE? ? b

D(a? ? b) ? a 2 D?
n

⑶若? ~B( n, p), 则E? ? np, D? ? np(1 ? p)

★分布列性质

⑴0 ? pi ? 1 ⑵ ? pi ? 1
i ?1

22 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

探究与尝试

问题2:(07浙江.15)随机变量?的分布列如下:

?

5 1 其中a、b、c成等差数列.若E?= , 则D? ? ____ 9 3

P

-1 a

0 b

1 c

23 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差
1 2 1 2 1 2 16 1 4 解析: D? ? ( ?1 ? ) a ? (0 ? ) b ? (1 ? ) c ? a? b? c 3 3 3 9 9 9 1 1 ? 由E? ? ? ? a ? c ? ? 3 3 ? 1 1 1 5 ? a、b、c成等差数列 ? 2b ? a ? c ? ? a ? , b ? , c ? ? D? ? 6 3 2 9 ? 由分布列性质 ? a ? b ? c ? 1 ? ? ?

24 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

离散型随机变量的方差
ξ P x1 p1 x2 … xk … xn p2 … pk … pn

前面,我们认识了数学期望. 数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布 列为

则称 E? ? x1 p1 ? x2 p2 ? … ? xk pk ? … ? xn pn 为 ξ 的数 学期望,简称期望.数学期望是离散型随机变量的一个特征 数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机 变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的 平均数、均值.但有时两个随机变量只用这一个特征量是无 法区别他们的。还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中 与离散的程度进行刻画.

[普通高中课程数学选修 2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 25 问题探究 :

已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 数?1、?2的分布列如下:
9 10 ?1 8 P 0.2 0.6 0.2 9 10 ?2 8 P 0.4 0.2 0.4

试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 如果其他对手 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛? 下面的分析对吗? 显然两名选 ∵ E?? ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9 手的水平是不同

E?2 ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.4 ? 9 的,这里要进一步 ∴甲、乙两射手的射击水平相同. 去分析他们的成 绩的稳定性. (你赞成吗?为什么?)

2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 26 [普通高中课程数学选修 对于一组数据的稳定性的描述,我们是用方差

或标准差来刻画的.
一组数据的方差: 在一组数:x1,x2 ,…,xn 中,各数据的平均数为 则这组数据的方差为: x



1 2 2 S ? [( x1 ? x ) ? ( x2 ? x ) ? n
2

? ( xn ? x ) ]
2

方差反映了这组 数据的波动情况 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差..

27 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量取值的方差和标准差 : 一般地,若离散型随机变量?的概率分布列为:

?

x1

P

p1
2

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · · xn · · · pn
? ( xn ? E? )2 pn

2 D ? ? ( x ? E ? ) p1 ? 则称 1 n

? ?? ? D ? ? ( xi ? E? ) pi 为随机变量?的方差. 称
i ?1

? ( xi ? E? )2 pi ?

2 ? 为随机变量?的标准差. 即E ? (? ? ?? ) ? ? ? D?

它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程 度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均 程度越小,即越集中于均值。

2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 28 [普通高中课程数学选修 练习 1.(课本第69练习 )已知随机变量 ?的分布列

0 1 2 3 4 ? P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 求D?和σ?. 解:E? ? 0 ? 0.1 ? 1 ? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2

D? ? (0 ? 2) ? 0.1 ? (1 ? 2) ? 0.2 ? (2 ? 2) ? 0.4
2 2 2

?(3 ? 2) ? 0.2 ? (4 ? 2) ? 0.1 ? 1.2
2 2

?? ? D? ? 1.2 ? 1.095
2.若随机变量?满足P(?=c)=1,其中c为常 数,求E?和D?. E?=c×1=c D?=(c-c)2×1=0

[普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 29 根据期望的定义可推出下面两个重要结论 :

结论1: 若? ? a? ? b, 则 E? ? aE? ? b ;

结论2:若ξ~B(n,p),则Eξ= np. 那么,根据方差的定义你能推出类似的什么结论 : (1) 若? ? a? ? b, 则 D? ? ? ;

(2)若ξ~B(n,p),则 Dξ= ?.

可以证明,对于方差有下面两个重要性质:

⑴ D(a? ? b) ? a D? ⑵ 若? ~ B( n, p),则 D? ? npq
2

(其中q ? 1 ? p)

[普通高中课程数学选修 2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 30 练习 :

1.已知随机变量?的分布列为则E?与D?的值为( D )
(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3

(C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.21

? P

1 0.3

2 0.7

25 ???___? 50 ?=____, 5 2.已知?~B(100,0.5),则E?=___,D 99 D(2?-1)=____, E(2?-1)=____, 100 ?(2?-1)=_____ 10
3、有一批数量很大的商品,其中次品占1%,现 从中任意地连续取出200件商品,设其次品数为 X,求EX和DX。

2,1.98

[普通高中课程数学选修 2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 31 刚才问题再思考 :

已知甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环 数?1、?2的分布列如下: 9 10 ?1 8 P 0.2 0.6 0.2 9 10 ?2 8 P 0.4 0.2 0.4

试比较两名射手的射击水平. 如果其他对手的射击成 如果其他对手 绩都在8环左右,应派哪一名选手参赛? 的射击成绩都在9环左右,应派哪一名选手参赛? 解:∵ E?? ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.6 ? 10 ? 0.2 ? 9 E?2 ? 8 ? 0.4 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.4 ? 9 ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同. 又∵ D?? ? 0.4, D? 2 ? 0.8,
∴甲射击水平更稳定.

32 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 例题:甲乙两人每天产量相同,它们的 次品个数分别为???,其分布列为

? P

0 0.3

1 0.3

2 0.2

3 0.2

? P

0 0.1

1 0.5

2 0.4

判断甲乙两人生产水平的高低?

33 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

E?=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3 E?=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3

D?=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2 -1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21
期望值高,平均值大,水平高
方差值小,稳定性高,水平高

结论:甲乙两人次品个数的平均值相等, 但甲的稳定性不如乙,乙的生产水平高。

[普通高中课程数学选修 2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差 34 例 2: 有甲乙两个单位都愿意聘用你 ,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月 1200 1400 1600 1800

工资X1/元

获得相应职位的 概率P1
乙单位不同职位月 工资X2/元

0.4 1000

0.3 1400

0.2

0.1

1800 2200

获得相应职位的 概率P2

0.4

0.3

0.2

0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? , DX2 ? 112000 , EX 2 ? 1400 DX1 ? 40000 解:EX 1 ? 1400
在两个单位工资的数学期望相等的情况下,如果认为自 己能力很强,应选择工资方差大的单位,即乙单位;如果认为 自己能力不强,就应选择工资方差小的单位,即甲单位.

35 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

3.若随机变量?服从二项分布,且E?=6,

D ?=4,则此二项分布 是 。 设二项分布为? ~B(n,p) ,则

E?=np=6

D?=np(1-p)=4

n=18 p=1/3

36 [普通高中课程数学选修2-3] 2.3 离散型随机变量的均值与方差

一、温故而知新
1、离散型随机变量 X 的均值(数学期望)
n

EX ? ? xi pi 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平.
i ?1

2、性质—线性性质

(1) E (aX ? b) ? aEX ? b
(2)
3、两种特殊分布的均值

E (aX ? bY ) ? aEX ? bEY

(1)若随机变量X服从两点分布,则 EX ? (2)若 X ~ B(n, p) ,则 EX ?

np

p


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