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等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点 2


一、等差等比数列基础知识点
(一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则 an } 称等差数列; { 2°.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n ?

n(a1 ? a n ) n(n

? 1) ? na1 ? d. 2 2

② 等 比 数 列 : 1 ° . 定 义 若 数 列 {an }满足

an?1 , ? q ( 常 数 ) 则 {an } 称 等 比 数 列 ; 2 ° . 通 项 公 式 : an

an ? a1q n?1 ? ak q n?k ; 3°.前 n 项和公式: S n ?
2.简单性质:

a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na1. 1? q 1? q

①首尾项性质:设数列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an , 1°.若 {an } 是等差数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?; 2°.若 {an } 是等比数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ?

a?b ; 2

2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {an } 是等差数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; 2°. 若 {an } 是等比数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; ④顺次 n 项和性质:

1°.若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 则

?a , ? a , ?a
k ?1 k k ? n ?1 2n k k ? 2 n ?1 3n

n

2n

3n

k

组成公差为 n2d 的等差数列;

2°. 若 {an } 是公差为 q 的等比数列, 则 偶数时这个结论不成立) ⑤若 {an } 是等比数列,

? ak ,
k ?1

n

k ? n ?1

?

ak ,

k ? 2 n ?1

?a

k

组成公差为 qn 的等比数列.(注意:当 q=-1,n 为

则顺次 n 项的乘积: a1a2 ?an , an?1an?2 ?a2n , a2n?1a2n?2 ?a3n 组成公比这 q n 的等比数列.
1

2

⑥若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n ? na中且S 奇 ? S 偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶
2

数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ?

nd . 2

(二)学习要点: 1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差 d≠0 的等差数列的通项公式是项 n 的一 次函数 an=an+b;②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;③公比 q≠1 的等 比数列的前 n 项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明确,绝对不能用课外的需要证 明的性质解题. 3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可设三数为“a,a+m,a+2m(或 a-m,a,a+m ) ② 三 数 成 等 比 数 列 , 可 设 三 数 为 “ a,aq,aq2( 或 ”

a , a,aq) ” ③ 四 数 成 等 差 数 列 , 可 设 四 数 为 q

“ a, a ? m, a ? 2m, a ? 3m(或a ? 3m, a ? m, a ? m, a ? 3m); ” ④ 四 数 成 等 比 数 列 , 可 设 四 数 为 “ a, aq, aq , aq (或
2 3

a a ,? , aq,?aq3 ), ”等等;类似的经验还很多,应在学习中总结经验. 3 q q

[例 1]解答下述问题:

1 1 1 , , 成等差数列,求证: a b c b?c c?a a?b , , (1) 成等差数列; a b c b b b (2) a ? ,? , c ? 成等比数列. 2 2 2
(Ⅰ)已知 [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,

1 1 2 a?c 2 ① ? ? ? ? ? 2ac ? b(a ? c), a c b ac b ② b ? c a ? b bc ? c 2 ? a 2 ? ab b(a ? c) ? a 2 ? c 2 (1) ? ? ? ? a c ac ac 2 2( a ? c ) 2( a ? c ) ? ? . b( a ? c ) b b?c c?a a?b ? , , 成等差数列 ; a b c b b b b2 b (2)(a ? )(c ? ) ? ac ? (a ? c) ? ? (? ) 2 , 2 2 2 4 2 b b b ? a ? ,? , c ? 成等比数列 . 2 2 2 ?
[评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:根据“中项”性质、根据“定义”判断,. ① (Ⅱ)等比数列的项数 n 为奇数,且所有奇数项的乘积为 1024,所有偶数项的乘积为

128 2 ,求项数 n.


2

[解析]设公比为 q,?
n ?1 2

a1a3 a5 ? an 1024 ? ?4 2 a2 a4 ? an?1 128 2

? a1 ? q

?4 2

(1)
35 35

而a1a 2 a3 ? a n ? 1024? 128 2 ? 2 2 ? a1 ? q1? 2?3 ? ?(n ? 1) ? 2 2 ? (a1 ? q ?
n ?1 n 2 35 5 35

) ? 2 2 , 将(1)代入得(2 2 ) n ? 2 2 ,

5n 35 ? , 得n ? 7. 2 2

( Ⅲ ) 等 差 数 列 {an} 中 , 公 差 d ≠ 0 , 在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列 :

ak1 , ak2 ,?, akn 恰为等比数列其中k1 ? 1, k 2 ? 5, k3 ? 17, ,
求数列 {k n } 的前n项和. [解析]? a1 , a5 , a17 成等比数列? a5 ? a1 ? a17 , ,
2

? (a1 ? 4d ) 2 ? a1 ? (a1 ? 16d ) ? d (a1 ? 2d ) ? 0 ? d ? 0,? a1 ? 2d , ? 数列{a kn }的公比q ? a5 a1 ? 4d ? ? 3, a1 a1
① ②

? a kn ? a1 ? 3 n ?1 ? 2d ? 3 n ?1 而a kn ? a1 ? (k n ? 1)d ? 2d ? (k n ? 1)d 由 ①,② 得k n ? 2 ? 3 n ?1 ? 1, {k n }的前n项和S n ? 2 ?

3n ? 1 ? n ? 3 n ? n ? 1. 3 ?1

[评析]例 2 是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例 3]解答下述问题: (Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列;再将此等差数列的第二项减去 4,又成等比数列, 求原来的三数. [解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单, 设等差数列的三项分别为 a-d, a, a+d,则有

?(a ? d )(a ? d ? 32) ? a 2 ?d 2 ? 32d ? 32a ? 0 ? ? ?? ? 2 ?(a ? 4) ? (a ? d )(a ? d ) ?8a ? 16 ? d 2 ? ? 8 26 ? 3d 2 ? 32d ? 64 ? 0,? d ? 8或d ? , 得a ? 10或 , 3 9 2 26 338 ? 原三数为2,10,50或 , , . 9 9 9
(Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方,求此四数. [解析]设此四数为 a ? 15, a ? 5, a ? 5, a ? 15(a ? 15) ,

3

? (a ? 152 ) ? (a ? 5) 2 ? (a ? 5) 2 ? (a ? 15) 2 ? (2m) 2 (m ? N ? ) ? 4a 2 ? 500 ? 4m 2 ? (m ? a)(m ? a) ? 125, ?125 ? 1 ? 125 ? 5 ? 25, ? m ? a与m ? a均为正整数, 且m ? a ? m ? a, ?m ? a ? 1 ?m ? a ? 2 ?? ?? ?m ? a ? 125 ?m ? a ? 25
解得 a ? 62或a ? 12(不合),?所求四数为 47,57,67,77 [评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主 要方法.

二、等差等比数列练习题
一、 选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 (A)为常数数列 2.、在等差数列 (A) a n (B)为非零的常数数列 (C)存在且唯一 (D)不存在 ( (D) an ) ( )

?an ?中, a1 ? 4 ,且 a1 , a5 , a13 成等比数列,则 ?an ?的通项公式为
(B) an

? 3n ? 1

? n?3

(C) a n

? 3n ? 1或 an ? 4

? n ? 3 或 an ? 4
( )

3、已知 a, b, c 成等比数列,且 x,

y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项,则

a c ? 的值为 x y

(A)

1 2

(B) ?

2

(C) 2

(D) 不确定

4、互不相等的三个正数 a, b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, (A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 5、已知数列

y 是 b,c 的等比中项,那么 x 2 , b 2 , y 2 三个数(



(B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 ( (D) an )

?an ?的前 n 项和为 S n , S2n?1 ? 4n 2 ? 2n ,则此数列的通项公式为
? 2n ? 2
2

(A) an 6、已知 ( z ? x)

(B) an

? 8n ? 2

(C) a n

? 2 n?1

? n2 ? n
( )

? 4( x ? y)( y ? z) ,则
(B) x, y , z 成等比数列 (C)

(A) x, y , z 成等差数列

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z
( )

7、数列

?an ?的前 n 项和 Sn ? a n ? 1 ,则关于数列 ?an ?的下列说法中,正确的个数有
②一定是等差数列,但不可能是等比数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (D)1

①一定是等比数列,但不可能是等差数列 ④可能既不是等差数列,又不是等比数列 (A)4 (B)3

③可能是等比数列,也可能是等差数列

(C)2

4

8、数列 1

1 1 1 1 ,3 ,5 ,7 ,? ,前 n 项和为 2 4 8 16 1 1 1 2 2 (A) n ? n ? 1 (B) n ? n ?1 ? 2 2 2

( (C) n
2



?n?

1 ?1 2n

(D) n

2

?n?

1 2
n ?1

?

1 2
( )

9、若两个等差数列

?an ?、 ?bn ?的前 n 项和分别为 An
(B)

、 Bn ,且满足

An 4n ? 2 ? Bn 5n ? 5
7 8

,则

a5 ? a13 b5 ? b13

的值为

(A)

7 9

8 7

(C)

19 20

(D)

10、已知数列

?an ?的前 n 项和为 Sn ? n 2 ? 5n ? 2 ,则数列 ?an ?的前 10 项和为
(B)58 (C)62 (D)60
n





(A)56 11、已知数列

?an ?的通项公式 an ? n ? 5 为, 从 ?an ?中依次取出第 3,9,27,…3 , …项,按原来的顺序排成一个新的数列,则此数列

n

的前 n 项和为



(A)

n(3 n ? 13) 2

(B) 3

?5

(C)

3 n ? 10n ? 3 2

(D)

3 n ?1 ? 10n ? 3 2
( )

12、下列命题中是真命题的是 A.数列

?an ?是等差数列的充要条件是 an ? pn ? q ( p ? 0 ) ?an ?的前 n 项和为 S n ? an2 ? bn ? a ,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列

B.已知一个数列

C.数列

?an ?是等比数列的充要条件 an ? abn?1 ?an ?的前 n 项和 Sn ? abn ? c (a ? 0, b ? 0, b ? 1) ,则此数列是等比数列的充要条件是 a ? c ? 0 ?an ?,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q =
a1 ? a5 ? a17 a2 ? a6 ? a18
=

D.如果一个数列 二、填空题

13、各项都是正数的等比数列

14、已知等差数列

?an ?,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则
4

15、已知数列

?an ?满足 S n ? 1 ? 1 an ,则 an = ?an ?是公差 d 不为零的等差数列,数列 ?ab ?是公比为 q 的等比数列, b1 ? 1, b2 ? 10, b3 ? 46
n

16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17、已知数列 ,求公比 q 及 bn 。

18、已知等差数列

?an ?的公差与等比数列 ?bn ?的公比相等,且都等于 d

(d ? 0, d ? 1) , a1 ? b1

, a3

? 3b3 , a5 ? 5b5 ,求 a n , bn 。

19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。

5

20、已知

?an ?为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? 20 ,求 ?an ? 的通项式。
3

21、数列

?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? ?an ? 的通项公式;
?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn

(Ⅰ)求

(Ⅱ)等差数列

22、已知数列

?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ?1(n ? N * ). ?an ? 的通项公式;
?bn ? 满足 4b ?1.4b ?1...4b ?1 ? (an ?1)b (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;
1 2 n n

(I)求数列

(II)若数列

数列综合题
一、选择题 题号 答案 二、填空题 13. 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 A 7 C 8 A 9 D 10 D 11 D 12 D

1? 5 2

14.

26 29

15.

4 1 n (? ) 3 3

16. ? 6 3

三、解答题 17.a b1 =a1,a b2 =a10=a1+9d,a b3 =a46=a1+45d 由{abn}为等比数例,得(a1+9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1·n-1=3d·n-1,a1+(bn-1)d=3d·n-1 4 4 4

∴bn=3·n-1-2 4 18.∴ a3=3b3 , ? a1+2d=3a1d2 , ? a1(1-3d2)=-2d ? a5=5b5, ? a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d
4

① ② bn=a1dn-1=- 5 · (

1 ② 1 ? 5d 5 5 ,得 =2,∴ d2=1 或 d2= ,由题意,d= ,a1=- 5 。∴an=a1+(n-1)d= (n-6) 2 ① 5 5 5 1 ? 3d
19.设这四个数为

5 n-1 ) 5

a , a, aq,2aq ? a q

?a ? ·a ? aq ? 216 则 ?q ?a ? aq ? (3aq ? a) ? 36 ?
③代入②,得 3aq=36,q=2


由①,得 a3=216,a=6 ③


∴这四个数为 3,6,12,18
6

a3 2 20.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q q q 所以 2 20 1 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3

1 1 - 18 - 当 q1= , a1=18.所以 an=18× )n 1= n-1 = 2× 3 n. ( 3 3 3 3 当 q=3 时, a1= 2 2 - , 所以 an= × 3n-1=2× n 3. 3 9 9

21.解:(I)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得

an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2?
又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 故 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 3 得等比数列 ∴ an ? 3n?1 (Ⅱ)设 ?bn ? 的公差为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9 由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3 ? 解得 d1 ? 2, d2 ? 10 ∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?
2

n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

22(I) ? an?1 ? 2an ? n ?,) * : ( 1 N

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
? an ? 1 ? 2n.
7



an ? 22 ?1(n ? N * ).

(II)证法一:? 4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ? 1)bn .

? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0, ③ ④

① ②

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④-③,得 即

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列。

8


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