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2.3等差数列前n项和(第一课时)

时间:2013-05-23


高 斯 的 故 事

高斯上小学时,有一次数学老 师给同学们 出了一道 题:计算从1到100的自然数之和。那个 老师认为,这些孩子算这道题目需要很长时间, 所以他一写完题目,就坐到一边看书去了。谁知, 他刚坐下,马上就有一个学生举手说:“老师, 我做完了。”老师大吃一惊,原来是班上年纪最 小的高斯。老师走到他身边,只见他在笔记本上 写着5050,老师看了,不由得暗自称赞。为了鼓 励他,老师买了一本数学书送给他。
思考:现在如果要你算,你能否用简便的方法来算出 它的值呢?

问题1
1 .计算: 1 ? 2? 3 ? ? ? 99 ? 100

100 +99+98+ …+2 +1
1 ? 2 ? 3 ? ? ? 99 ? 100 ?
2 .计算: 1 ? 2 ?

100 ? (1 ? 100 ) 2
3

? 5050

? ? ? ( n ? 1) ? n

n+(n-1) + (n-2) +…+
1 ? 2 ? 3 ? ? ? ( n ? 1) ? n ? n ? ( n ? 1) 2

2 +1

问题2
? 如图,建筑工地上一堆圆木,从上到下每层 的数目分别为1,2,3,……,10 . 问共有多 少根圆木?请用简便的方法计算.

数列前n 项和的意义
这节课我们研究的问题是:(1)已知等差数列 { an }的首项a1,项数n,第n项an,求前n项 和Sn的计算公式;(2)对此公式进行应用。
数列{ an }: a1, a2 , a3 ,…, an ,…

我们把 a1+a2 + a3 + … + an 叫做数列{ an } 的前n项和,记作Sn

探究发现
思考1 如 何 求 等 差 数 列 ? a n ? 的 前 n 项 和 S n ? :
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2

倒序相加法

思考2:若已知a1及公差d,结果会怎样呢?
S n ? na 1 ? n ( n ? 1) 2 d

n(n+1) n= 2 2 + 4 +…+ 2n= n(n+1) 1+2+…+

公式的结构特征
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2

S n ? na 1 ?

n ( n ? 1) 2

d

1.知三求二

2.二次函数
S n ? An
2

?Bn ?

练习:根据下列条件,求相应的等 差数列前n项和
(1) a 1 ? ? 4 , a 8 ? ? 18 , n ? 8
( 2 ) a 1 ? 14 . 5 , d ? 0 . 7 , a n ? 32

—88

604.5

例1

2000年11月14日,教育部下发了 《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》。某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2 001年起用10年的时间,在全市中小学建成不 同标准的校园网。据测算,2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工 程的顺利实施,计划每年投入的资金比上一年增加 50万元。那么从2001年起未来10年内,该 市在“校校通”工程中的总投入是多少?

例2

已知一个等差数列的前10项和是310,

前20项的和是1220,由这些条件能确定这个
等差数列的前n项和的公式吗?

课堂小结
等差数列前n项和公式
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2

S n ? na 1 ?

n ( n ? 1) 2

d

(关于n的二次函数)

公式的推证用的是倒序相加法
在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元 素,结合通项公式就可求出另两个元素(知“三”求 “二”).


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