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湖北省2016届高三第一次八校联考理科数学

时间:2015-12-19


湖北省 2016 届八校第一次联考数学(理科)试题

湖北省 2016 届八校第一次联考数学(理科)试题

湖北省

鄂南高中 华师一附中 黄石二中 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中

荆州中学 黄冈中学

八校

7.已知 sin ? A.

2016 届高三第一次联考 数学试题(理科)
命题学校:孝感高中 命题人:周 浩 姚继元 王国涛 审题人:袁小幼 谭 志 考试用时 120 分钟 考试时间:2015 年 12 月 7 日下午 15:00—17:00 试卷满分 150 分

1 ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ,则 cos ? 2? ? ? ? 3 3? ?6 ? ?

2 3

5 7 5 7 B. ? C. D. ? 18 9 18 9 8.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的 体积等于
A. 12 3 B. 16 3 C. 20 3 D. 32 3
第 8 题图

9 .已知函数 f ? x? ? sin2 ?? x? ?

注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号 码填写在答题卡上. 2.回答第 I 卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

1 ,?? ? 0? 的周期为 ? ,若将其图象沿 x 轴向右平移 a 个单位 ? a ? 0 ? ,所得图象 2
3? 4
C.

关于原点对称,则实数 a 的最小值为

A. ?

B.

? 2

D.

? 4

10.如图所示,在正六边形 ABCDEF 中,点 P 是△ CDE 内(包括边界)的一个动点, 设 AP ? ? AF ? ? AB

??? ?

??? ?

??? ?

? ?, ? ? R ? ,则 ? ? ? 的取值范围是
B.

第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知集合 A ? {x x2 ? 2x ? 3 ? 0}, B ? {x log2 ( x ? 1) ? 2} ,则 ?..R A? ? B ? A. ?1,3 ? B. ? ?1,3? C. ? 3,5? D.

A.

?3 ? ,4 ? ?2 ? ?

?3, 4?

C.

?3 5? , ? ?2 2? ?

D.

?3 ? ,2 ? ?4 ? ?

第 10 题图

11.若一个四棱锥底面为正方形,顶点在底面的射影为正方形的中心,且该四棱锥的体积为 9,当其外接球表 面积最小时,它的高为 A. 3 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3

? ?1,5 ?

2.命题“若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? y ? 0 ”的否命题为 A.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0 C.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 且 y ? 0
ix

12.关于函数 f ? x ? ?
A. x ? 2 是 B.函数 y ?

B.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 D.若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0

f ? x ? 的极小值点

2 ? ln x ,下列说法错误的是 x

f ? x ? ? x 有且只有 1 个零点
f ? x ? ? kx 恒成立
? x1 ,若 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4

3.欧拉公式 e ? cos x ? i sin x ( i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩 大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中 的天桥”,根据欧拉公式可知, e 表示的复数在复平面中位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 4.函数 f ( x) ? ? A. ?
2i

C.存在正实数 k ,使得

D.对任意两个正实数 x1 , x2 ,且 x2

D.第四象限

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知平面直角坐标系中, b

?2 ? 2, x ? 1,
x

?log 2 ( x ? 1), x ? 1,
B. ?1

则 f ?f ?

? ? 5 ?? ?? ? ? ? 2 ??
C . ?5 D.

? ? 3, 4 ? , a ? b ? ?3 ,则向量 a 在向量 b 的方向上的投影是________.

1 2

1 2

5.等差数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,且

S2016 S2015 ? ? 1 ,则数列 ?an ? 的公差为 2016 2015
C. 2015 D. 2016

14.若函数 f ? x ? ? ?

? x ? 1,0 ? x ? 2 , g ? x ? ? f ? x ? ? ax, x ???2,2? 为偶函数,则实数 a ? _________. ??1, ?2 ? x ? 0

A. 1 6.若 a ? ln 2, b ? 5
A. a ? b ? c
?

B. 2
1 2

,c ?

1 ? a, b, c 的大小关系 sin x d ,则 x 4 ?0 B. b ? a ? c C. c ? b ? a

? ?x ? 2 y ? 0 15.设实数 x,y 满足约束条件 ? 则 z ? 2 x ? y 的最大值为________. , ? ?y ? x ? 2
16.如图所示,已知 ?ABC 中, ?C ? 90? , AC ? 6, BC ? 8 , D 为边 AC 上的一点,

D. b ? c ? a

K 为 BD 上的一点,且 ?ABC ? ?KAD ? ?AKD ,则 DC ? ________.
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第 16 题图

湖北省 2016 届八校第一次联考数学(理科)试题

湖北省 2016 届八校第一次联考数学(理科)试题

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a3 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 2

3 9 ,S3 ? . 2 2

6 a2 n ?1

,且 ?bn ? 为递增数列,若 cn ?

1 1 ,求证: c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? . 4 bn ? bn ?1
图1 图2
第 20 题图
x

18.(本小题满分 12 分)如图, ?ABC 中,三个内角 B 、 A 、C 成等差数列,且 AC ? 10, BC ? 15 . (Ⅰ)求 ?ABC 的面积; (Ⅱ)已知平面直角坐标系 xOy ,点 D ?10,0 ? ,若函数 f ( x) ? M sin(?x ? ?)( M ? 0, ? ? 0, ? ?

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e , x ? R . (Ⅰ)若直线 y ? kx 与 f ( x) 的反函数的图象相切,求实数 k 的值; (Ⅱ)设 a, b ? R , 且 a ? b, A ? f ? 小,并说明理由. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图, BC 是圆 O 的直径,点 F 在弧 BC 上,点 A 为弧 BF 的中点,作 AD ? BC 于 点 D , BF 与 AD 交于点 E , BF 与 AC 交于点 G . (Ⅰ)证明: AE ? BE ; (Ⅱ)若 AG ? 9, GC ? 7 ,求圆 O 的半径.

? ) 2

的图象经过 A 、C 、D 三点,且 A 、 D 为 f ( x ) 的图象与 x 轴相邻的两个交点,求 f ( x ) 的解析式.

f ? a ? ? f ?b? f ? a ? ? f ?b ? ? a?b ? , C? , 试比较 A, B, C 三者的大 ?, B ? 2 a ?b ? 2 ?

第 18 题图

19. (本小题满分 12 分)如图,已知长方形 ABCD 中, AB ? 2 2 , AD ? 沿 AM 折起,使得平面 ADM ⊥平面 ABCM . (Ⅰ)求证: AD ? BM ; (Ⅱ)若点 E 是线段 DB 上的一动点,问点 E 在何位置时, 二面角 E ? AM ? D 的余弦值为

2 , M 为 DC 的中点.将 ?ADM

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4 极坐标与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 ? sin? ? ? cos? ? 10,将曲线 C1 : ?
第 19 题图

第 22 题图

5 . 5

? x ? cos? ( ? 为参数)经过伸缩变换 ? y ? sin ?

? x? ? 3 x 后得到曲线 C 2 . ? ? y? ? 2 y
20. (本小题满分 12 分)小明同学制作了一个简易的网球发射器,可用于帮忙练习定点接发球,如图 1 所示,网球 场前半区、后半区总长为 23.77 米,球网的中间部分高度为 0.914 米,发射器固定安装在后半区离球网底部 8 米处 中轴线上,发射方向与球网底部所在直线垂直. 为计算方便,球场长度和球网中间高度分别按 24 米和 1 米计算,发射器和网球大小均忽略不计.如图 2 所示, 以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系 xOy ,x 轴在地平面上的球场中轴线上,y 轴垂直于地平面,单 位长度为 1 米.已知若不考虑球网的影响,网球发射后的轨迹在方程 y ? 上,其中 k 与发射方向有关.发射器的射程是指网球落地点的横坐标. (Ⅰ)求发射器的最大射程;

(Ⅰ)求曲线 C 2 的参数方程; (Ⅱ)若点 M 在曲线 C 2 上运动,试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式证明选讲 已知函数 f ( x) ? x ?10 ? x ? 20 ,且满足 f ( x) ? 10a ? 10 ( a ? R )的解集不是空集. (Ⅰ)求实数 a 的取值集合 A ;
a b b a (Ⅱ)若 b ? A, a ? b, 求证: a b ? a b .

1 1 kx ? (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示的曲线 2 80

(Ⅱ)请计算 k 在什么范围内, 发射器能将球发过网 (即网球飞行到球网正上空时, 网球离地距离大于 1 米) ? 若发射器将网球发过球网后,在网球着地前,小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面 2.55 米处的 击球点正好击中网球,试问击球点的横坐标 a 最大为多少?并请说明理由.
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