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2.2.2椭圆的简单几何性质1

时间:2015-12-28


复习:
1.椭圆的定义: 到两定点F1、F2的距离之和为常数(大于|F1F2 |) 的动点的轨迹叫做椭圆。 | PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |) 2.椭圆的标准方程是:
x2 y2 当焦点在X轴上时 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0) y2 x2 当焦点在Y轴上时 a 2 ? b 2 ? 1(a ? b ? 0

)

3.椭圆中a,b,c的关系是: a2=b2+c2

二、椭圆
x 1、范围: 2 ? 1, a
2

简单的几何性质
y2 ? 1得: 2 b

-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y B A
1 2

F1

b o c

a A F2
2

B1

椭圆的对称性

Y P1(-x,y)

P(x,y)

O P2(-x,-y)

P1(x,-y)

X

2、对称性: 从图形上看,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。

从方程上看:
(1)把x换成-x方程不变,图象关于y轴对称;

(2)把y换成-y方程不变,图象关于x轴对称;
(3)把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,图 y 象关于原点成中心对称。 B A
1
2

F1

b o c

a A F2
2

B1

3、椭圆的顶点 x ? y ? 1( a ? b ? 0) 2 2 a b 令 x=0,得 y=?,说明椭圆与 y轴的交点? 令 y=0,得 x=?说明椭圆与 x轴的交点? *顶点:椭圆与它的 y (0,b) B 对称轴的四个交点, 叫做椭圆的顶点。 2 a A(a,0) b A o c F2 *长轴、短轴:线段 (-a,0) F1 2 1 A1A2、B1B2分别叫做 (0,-b) B 1 椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长。

2

2

根据前面所学有关知识画出下列图形
x y ? ?1 ( 1) 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2

x2 y2 ? ?1 ( 2) 25 4
y
4 3 B 2 2 1

A1

A2 x

A1

A2 x

-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

123 4 5

B1

-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4

4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量)

离心率:椭圆的焦距与长轴长的比: e ? c a 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围: 0<e<1 [2]离心率对椭圆形状的影响: 1)e 越接近 1,c 就越接近 a,从而 b就越小,椭 圆就越扁
2)e 越接近 0,c 就越接近 0,从而 b就越大,椭 圆就越圆 思考:当e=0时,曲线是什么?当e=1时曲 线又是 什么? c a 2 ? b2 b2 ? 1? 2 [3] e与a,b的关系: e ? ? 2 a a a

标准方程
范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、 b、 c 的关系

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

|x|≤ a,|y|≤ b 关于x轴、y轴成轴对称;关于原 点成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b.
c e ? a

a>b

a2=b2+c2

标准方程 范围

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b a

|x|≤ a,|y|≤ b
关于x 轴、y 轴成轴对称; 关于原点成中心对称

|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 同前 同前

对称性
顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系

(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b

c e ? a

a2=b2+c2

同前

例1已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是:
焦距是

10 。短轴长是:
离心率等于:
3 5

8 。 。

6



焦点坐标是: (?3, 0) 。顶点坐标是:(?5, 0) (0, ?4) 。 外切矩形的面积等于:

80

。 y o x

分析:椭圆方程转化为标准方程为:

2 2 x y 16 x 2 ? 25 y 2 ? 400 ? ? ?1 25 16

a=5 b=4 c=3

练习:x2+9y2=81 ?

练习: 1. 根据下列条件,求椭圆的标准方程。 ① 长轴长和短轴长分别为8和6,焦点在x轴上 ② 长轴和短轴分别在y轴,x轴上,经过P(-2,0), Q(0,-3)两点. ③一焦点坐标为(-3,0)一顶点坐标为(0,5) ④两顶点坐标为(0,±6),且经过点(5,4) ⑤焦距是12,离心率是0.6,焦点在x轴上。

2. 已知椭圆的一个焦点为F(6,0)点B,C是 短轴的两端点,△FBC是等边三角形,求这个 椭圆的标准方程。

1 x2 y2 已知椭圆 ? ? 1的离心率 e ? ,求k 的值 2 k ?8 9
解:当椭圆的焦点在
2

练习:

x 轴上时,

2 2 c ? k ?1. b ? 9 ,得 a ? k ?8 , 1 由 e ? ,得: k ? 4 2

当椭圆的焦点在
2 , a ?9 b
2

y 轴上时,

? k ?8

,得 c ? 1 ? k .
2

1 5 1? k 1 e ? ? ,即 k ? ? . 由 ,得 9 4 2 4

5 ∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ? . 4

x2 y 2 例3:(1)椭圆 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点

F1 (?c,0),
.

A(?a, 0), B(0, b) 是两个顶点,如果F到直线AB的距
离为 b ,则椭圆的离心率e= 7

x2 y 2 (2)设M为椭圆 2 ? 2 ? 1上一点, F1、F2 为椭圆的焦点, a b

如果?MF1F2 ? 75? , ?MF2 F1 ? 15? ,求椭圆的离心率。

小结:
本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质:范 围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何 意义。了解了研究椭圆的几个基本量a,b,c,e 及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系, 这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助, 给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了 基础。在解析几何的学习中,我们更多的是从方 程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件,需 要我们认识并熟练掌握数与形的联系。在本节课 中,我们运用了几何性质,待定系数法来求解椭 圆方程,在解题过程中,准确体现了函数与方程 以及分类讨论的数学思想。


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