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2.4用向量讨论垂直与平行 教案(北师大版选修2-1)

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§ 4 用向量讨论垂直与平行 ●三维目标 1.知识与技能 掌握用向量法证明立体几何中的线、面垂直与平行问题. 2.过程与方法 通过对定理的证明,认识到向量方法是解决立体几何问题的基本方法. 3.情感、态度与价值观 通过对定理的证明,形成多元多维的角度看待立体几何问题的观点. ●重点难点 重点:用向量方法证明立体几何中的垂直与平行问题. 难点:空间直角坐标系的正确建立,用向量语言证明立体几何中的垂直与平行问题.用 向量讨论垂直与平行要围绕两个问题展开教学, 一是用什么刻化空间中的垂直与平行; 二是 怎样刻化.在教学中,引导学生先自主探究,再小组讨论,在这个过程中,让学生去领会用 向量讨论垂直与平行的方法. (教师用书独具) ●教学建议 1.树立以学生发展为本的思想.通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创 新能力健康发展的宽松的教学环境, 提供学生自主探索和动手操作的机会, 鼓励他们创新思 考,亲身参与知识的形成过程. 2.在具体问题的分析、引导过程中,依据建构主义教学原理,通过类比、对比和归纳, 把新的知识化归到学生原有的认知结构中去. 3.利用多媒体辅助教学,增强动感与直观性,提高教学效果和教学质量. ●教学流程 回顾 探究 设置情境引入课题― ― → 方向向量与法向量在刻化直线与平面中的作用― ― → 如何用方 应用 向向量与法向量描述空间中的垂直与平行关系― ― → 通过例题领会垂直与平行的向量证法 体验 总结 ― ― → 通 过 练 习 体 验 向 量 法 的 应 用 ― ― → 归 纳 总 结 升 华 认 识 课标解读 2. 能用向量方法证明有关线、 面位置关系的一 些定理.(重点) 3. 能用向量方法解决立体几何中的平行、 垂直 问题,体会向量方法在研究几何问题中的作 用,并培养学生的运算能力.(难点) 1. 能用向量语言表述线线、 线面、 面面的平行、 垂直关系.(重点) 用向量讨论垂直关系 【问题导思】 1.已知直线 l 的方向向量为 m ,平面 α 的法向量为 n. (1)若 l⊥α,则 m 与 n 有怎样的关系? 【提示】 m ∥n. (2)若 m ∥n,则 l 与 α 有怎样的关系? 【提示】 l⊥α. 2.问题 1 中的结论对你研究立体几何中的垂直问题有什么启发? 【提示】 可用直线的方向向量与平面的法向量讨论立体几何中的垂直问题. 立体几何中垂直关系的向量表示 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 π1 ,π2 的法向量分别为 n1 ,n2 . (1)线线垂直:l⊥m?a⊥b?a· b=0. (2)线面垂直:l⊥π1 ?a∥n1 ?a=k n1 (k ∈R). (3)面面垂直:π1 ⊥π2 ?n1 ⊥n2 ?n1 · n2 =0. 用向量讨论平行关系 【问题导思】 1.已知直线 l 的方向向量为 m,平面 α 的法向量为 n,若 m ⊥n,则 l 与 α 有怎样的关 系?反之,成立吗? 【提示】 l∥α 或 l α. 成立. 2.已知直线 l 的方向向量为 m ,v1 ,v2 是平面 α 的一个基底,若存在 x,y∈R,使得 m =xv1 +yv2 ,则 l 与 α 有怎样的关系?反之,成立吗? 【提示】 l∥α 或 l α. 成立. 立体几何中平行关系的向量表示 设直线 l,m 的方向向量分别为 a,b,平面 π1 ,π2 的法向量分别为 n1 ,n2 . (1)线线平行:l∥m?a∥b?a=λb(λ∈R). (2)线面平行:l∥π1 ?a⊥n1 ?a· n1 =0. (3) R)

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