文科高中数学公式大全(超全完美)

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高中文科数学公式总结
一、函数、导数
1．元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . ? ? A ? A ? ? 集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2 有 2 ? 2 个. 2. 真值表
n n

个；真子集有 2 ? 1 个；非空子集有 2 ? 1 个；非空的真子集
n n

ｐ 真 真 假 假

ｑ 真 假 真 假

非ｐ 假 假 真 真

ｐ或ｑ 真 真 真 假

ｐ且ｑ 真 假 假 假

常见结论的否定形式; 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ，成立 对任何 x ，不成立

反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x ，不成立 存在某 x ，成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（ n ? 1 ）个 至少有（ n ? 1 ）个 ?p 且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.） 原命题 若ｐ则ｑ 互 互 否 否 否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非ｑ则非ｐ 互逆 互 互 否 逆命题 若ｑ则ｐ

3. 充要条件（记 p 表示条件， q 表示结论） （1）充分条件：若 p ? q ，则 p 是 q 充分条件. （2）必要条件：若 q ? p ，则 p 是 q 必要条件. （3）充要条件：若 p ? q ，且 q ? p ，则 p 是 q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 4. 全称量词 ? 表示任意， ? 表示存在； ? 的否定是 ? ， ? 的否定是 ? 。 例： ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2

的否定是

2 ?x ? R , x ? x? 1 ? 0

5. 函数的单调性 (1)设 x1、x2 ? [a, b], x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是增函数； f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在[a, b] 上是减函数. (2)设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导，若 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x) 为增函数；若 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x) 为减
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函数. 6. 复合函数 y ? f [ g ( x)] 单调性判断步骤： （1）先求定义域 （2）把原函数拆分成两个简单函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) （3）判断法则是同增异减（4）所求区间与定义域做交集 7. 函数的奇偶性 (1)前提是定义域关于原点对称。 (2)对于定义域内任意的 x ，都有 f (? x) ? f ( x) ，则 f ( x) 是偶函数； 对于定义域内任意的 x ，都有 f (? x) ? ? f ( x) ，则 f ( x) 是奇函数。 (3)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 8．若奇函数在 x =0 处有意义，则一定存在 若奇函数在 x =0 处无意义，则利用

f ? 0? ? 0 ；

f ? ? x? ? ? f ? x? 求解；

9．多项式函数 P( x) ? an xn ? an?1xn?1 ??? a0 的奇偶性

多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 10. 常见函数的图像：
y
y
y
y

y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1
2
x

y=x+
o1

a>1
o

1 x
x

a>0

1 a>1

-1

y=kx+b

-2

y=ax2+bx+c

11. 函数的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称.

(2)对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f (a ? x) ? f (a ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是 x ? a (3)对于函数 y ? f ( x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x) 的对称轴是 x ?

12. 由

f ( x) 向左平移一个单位得到函数 f ( x ? 1) f ( x) 向上平移一个单位得到函数 f ( x) ? 1

a?b ; 2

由 f ( x) 向右平移一个单位得到函数 f ( x ? 1) 由 由 向下平移一个单位得到函数 f ( x) ? 1 若将函数 y ? f ( x) 的图象向右移 a 、再向上移 b 个单位，得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象；若将曲

f ( x)

线 f ( x, y) ? 0 的图象向右移 a 、向上移 b 个单位，得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 13. 函数的周期性 （1） f ( x) ? f ( x ? a) ，则 f ( x ) 的周期 T ?? a ? ； （2） f ( x ? a) ? ? f ( x) ，则 f ( x ) 的周期 T ? 2 ? a ?

1 ，则 f ( x ) 的周期 T ? 2 ? a ? f ( x) （4） f ( x ? a) ? f ( x ? b) ,则 f ( x ) 的周期 T ?? a ? b ? ；
（3） f ( x ? a) ? 14. 分数指数 (1) a n ?
m n

a m （ a ? 0, m, n ? N ? ，且 n ? 1 ）.

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m n

(2) a

?

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

（ a ? 0, m, n ? N ? ，且 n ? 1 ）.

15．根式的性质 （1） ( n a )n ? a . （2）当 n 为奇数时， n an ? a ； 当 n 为偶数时， n a n ?| a |? ? 16．指数的运算性质 (1) ar ? a s ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) (3) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) (2) ar ? a s ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) (4) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

17. 指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 18．对数的四则运算法则:若 a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (3) loga M n ? n loga M (n ? R) ; （5） (2) log a

loga a ?1 loga b?logb a ?1
log a N

M ? log a M ? log a N ; N n n (4) log am N ? log a N (n, m ? R ) m

（6）

loga 1?0

19. 对数的换底公式 : log a N ? 倒数关系式：

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

20. 对数恒等式： a 21. 零点存在定理：

? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ).

如果函数 f ( x) 在区间（a, b）满足 f (a) ? f (b) ? 0 ，则 f ( x) 在区间（a, b）上存在零点。 22. 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ，相应的切线 方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) . 23. 几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 （C 为常数） (3) (sin x)? ? cos x (4) (cosx)? ? ? sin x (6) (log a x) ? ? (2) ( xn )' ? nxn?1 (n ? Q)

1 x x x (7) (e )? ? e
(5) (ln x )? ? 24. 导数的运算法则 （1） (u ? v) ? u ? v
' ' '

1 x ln a x x (8) (a )? ? a ln a .
' ' '

（2） (uv) ? u v ? uv

（3） ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) v2

25. 复合函数的求导法则 设 函 数 u ? ? ( x) 在 点 x 处 有 导 数 ux ' ? ? ' ( x) ， 函 数 y ? f (u ) 在 点 x 处 的 对 应 点 U 处 有 导 数
' ' ' ' ' ' 则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数， 且 yx ? yu ? ux ， 或写作 f x (? ( x)) ? f (u)? ( x) . yu ' ? f ' (u) ，

26. 求切线方程的步骤： ① 求原函数的导函数 f ?( x)
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② 把横坐标 x0 带入导函数 f ?( x) ，得到 f ?( x0 ) ，则斜率 k ? f ?( x0 ) ③ 点斜式写方程 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) 27. 求函数的单调区间 ① 求原函数的导函数 f ?( x) ② 令 f ?( x) ? 0 ，则得到原函数的单调增区间。 ② 令 f ?( x) ? 0 ，则得到原函数的单调减区间。 28. 求极值常按如下步骤： ① 求原函数的导函数 f ?( x) ； ② 令方程 f ?( x) =0 的根，这些根也称为可能极值点 ③ 检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点。 ( 可以通过列表法 ) 如果在 x0 附近的左侧

f ?( x) ? 0 ，右侧 f ?( x) ? 0 ，则 f ( x0 ) 是极大值；如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ，右侧 f ?( x) ? 0 ，
则 f ( x0 ) 是极小值. ④ 将极值点带入到原函数中，得到极值。 29. 求最值常按如下步骤： ① 求原函数的极值。 ② 将两个端点带入原函数，求出端点值。 ③ 将极值与端点值相比较，最大的为最大值，最小的为最小值。

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量
30. 同角三角函数的基本关系式

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ， tan ? =
31. 正弦、余弦的诱导公式 奇变偶不变，符号看象限。 32. 和角与差角公式

sin ? . cos ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ?

33. 二倍角公式

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ? 1 ? cos 2? 2 cos2 ? ? 1 ? cos 2? , cos2 ? ? ; 2 公式变形： 1 ? cos 2? 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? , sin 2 ? ? ; 2
函数 y ? sin(? x ? ? ) ，周期 T ?

34. 三角函数的周期

2?

?

；

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? ? 函数 y ? tan(? x ? ? ) ，周期 T ? . ? 35. 函数 y ? sin(? x ? ? ) 的周期、最值、单调区间、图象变换（熟记）
36. 辅助角公式（化一公式）

函数 y ? cos(? x ? ? ) ，周期 T ?

2?

；

y ? a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) 其中 tan ? ?
36. 正弦定理

b a

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
37. 余弦定理

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ; b2 ? c2 ? a2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
38. 三角形面积公式

S?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2

39. 三角形内角和定理 在△ABC 中，有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B) 40. a 与 b 的数量积(或内积)

sin( A ? B) ? sin C

a ? b ?| a | ? | b | cos?
41. 平面向量的坐标运算 （1）设 A ( x1 , y1 ) ，B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . （2）设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ，则 a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) . （3）设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ，则 a ? b = ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) . （4）设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ，则 a ? b = x1 x2 ? y1 y 2 . (5)设 a = ( x, y ) ，则 a ? 42. 两向量的夹角公式 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ，且 b ? 0 ，则

??? ? ??? ? ??? ?

x2 ? y2

cos? ?

a ?b ab

?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2

43. 向量的平行与垂直

a // b ? b ? ? a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .

a ? b(a ? 0) ? a ? b ? 0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .
44. 向量的射影公式 若， a 与 b 的夹角为 ? ，则 b 在 a 的射影为 | b | cos?

三、数列
45. 数列 {an } 的通项公式与前 n 项的和的关系（递推公式）

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n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2
46. 等差数列 {an } 的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ；
47. 等差数列 {an } 的前 n 项和公式

sn ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? ( a1 ? d ) n . 2 2 2 2 an ?1 ? an ?1 2

48. 等差数列 {an } 的中项公式

an ?

49. 等差数列 {an } 中，若 m ? n ? p ? q ，则 am ? an ? ap ? aq 50. 等差数列 {an } 中， s n ， s2 n ? sn ， s3n ? s2n 成等差数列 51. 等差数列 {an } 中，若 n 为奇数，则 sn ? nan?1
2

52. 等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ； q

53. 等比数列前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? 1 ? q . ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1 当 q ? 1 时， an ? na1
54. 等比数列 {an } 的中项公式

an2 ? an?1 ? an?1
55. 等比数列 {an } 中，若 m ? n ? p ? q ，则 am ? an ? a p ? aq 56. 等比数列 {an } 中， s n ， s2 n ? sn ， s3n ? s2n 成等比数列

四、均值不等式
57. 均值不等式：如果 a, b ? R ，那么 a ? b ? 2 ab 。 “一正二定三相等”
?

x? y ? xy ，当 x ? y 时等号成立。 2 （1）若积 xy 是定值 p ，则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ； 1 2 （2）若和 x ? y 是定值 s ，则当 x ? y 时积 xy 有最大值 s . 4 五、解析几何
58. 已知 x , y 都是正数，则有 59. 斜率的计算公式 （1） k ? tan ? 60. 直线的五种方程 （2） k ?

y2 ? y1 x2 ? x1

（3）直线一般式中 k ? ?

A B

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（1）点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ，且斜率为 k )． （2）斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距， a、b ? 0 ) （4）截距式 a b （5）一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
（3）两点式 61. 两条直线的平行 若 l1 : y ? k1 x ? b1 ， l2 : y ? k2 x ? b2 （1） k1 ? k2 , b1 ? b2 ; （2） k1 , k2 均不存在 62. 两条直线的垂直 若 l1 : y ? k1 x ? b1 ， l2 : y ? k2 x ? b2 （1） k1k2 ? ?1. （2） k1 ? 0, k2 不存在 63. 平面两点间的距离公式

d A, B ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ，B ( x2 , y2 ) ).
64. 点到直线的距离

d?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l ： Ax ? By ? C ? 0 ).

65. 圆的三种方程 （1）圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 .
2 2 （2）圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F ＞0).
2 2

圆心坐标 (?

D E , ? ) 半径= 2 2

D2 ? E 2 ? 4F 2

66. 直线与圆的位置关系
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 . 弦长= 2 r 2 ? d 2 Aa ? Bb ? C 其中 d ? . 2 2 A ?B
67. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

c x2 y 2 a2 2 2 2 e ? ? 1 ? ? 1( a ? b ? 0) x ? ? a ? c ? b ， ，离心率 . 准线方程： a a 2 b2 c 2 2 c x y a2 2 2 2 双曲线： 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)， c ? a ? b ，离心率 e ? ? 1 ，准线方程： x ? ? a c a b
椭圆： 渐近线方程是 y ? ?
2

b x. a

抛物线： y ? 2 px ，焦点 (

p p ,0) ,准线 x ? ? 。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离. 2 2
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68. 双曲线的方程与渐近线方程的关系

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(1）若双曲线方程为

x2 y2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y?? x. 渐近线方程： ? 2 2 2 a a b a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线，可设为 2 ? 2 ? ? （ ? ? 0 ，焦点在 x 轴上， ? ? 0 ， a b a b
焦点在 y 轴上）.

69. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 | PF |? x 0 ? 70. 过抛物线焦点的弦长 AB ? x1 ?

p .（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。 ） 2

p p ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2

六、立体几何
71. 证明直线与直线平行的方法 （1）三角形中位线 （2）平行四边形（一组对边平行且相等） 72. 证明直线与平面平行的方法 （1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行） （2）先证面面平行 73. 证明平面与平面平行的方法 平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交 直线分别与另一平面平行） ．．．． 74. 证明直线与直线垂直的方法 转化为证明直线与平面垂直 75. 证明直线与平面垂直的方法 （1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交 直线垂直） ．．．． （2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面） 76. 证明平面与平面垂直的方法 平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直） 77. 柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积= 2?rl ，表面积= 2?rl ? 2?r 圆椎侧面积= ?rl ，表面积= ?rl ? ?r
2 2

1 V柱体 ? Sh （ S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高）. 3 1 V锥体 ? Sh （ S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高）. 3 4 3 2 球的半径是 R ，则其体积 V ? ? R ,其表面积 S ? 4? R 3 1 V台体 ? ( S上 ? S下 ? S上 S下 )h 3
78. 异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算（构造二面角的平面角） 79. 点到平面距离的计算（定义法、等体积法） 80. 直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。 正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计
81. 平均数、方差、标准差的计算 平均数: x ?

x1 ? x 2 ? ? x n n

方差: s ?
2

1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ( x n ? x) 2 ] n

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标准差: s ?

1 [(x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ?( xn ? x) 2 ] n

82. 回归直线方程
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n n ? 2 . y ? a ? bx ，其中 ? xi ? x ? xi 2 ? nx 2 ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

83. 独立性检验 K 2 ?

n(ac ? bd) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

84. 古典概型的计算（必须要用列举法 、列表法 、树状图 的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗 ．．． ．．． ．．． 漏） 85. 几何概型的计算，转化为体积，面积，长度之比。

八、复数
86. 复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .（ a, b, c, d ? R ） 87. 复数 z ? a ? bi 的模 | z | = | a ? bi | = a 2 ? b2 . 88. 复数 z ? a ? bi 的共轭复数 z ? a ? bi
89. 复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ? 90. 复数的周期 T ? 4

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) c2 ? d 2 c2 ? d 2

i1 ? i

i 2 ? ?1

i 3 ? ?i

i4 ? 1

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