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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和 文

时间:2016-05-28


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前 n 项和 文

1.等比数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个 数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母__q__表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1·q 3.等比中项 若 a,G,b 成等比数列,则称 G 为 a 和 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am·q
n-m n-1

.

(n,m∈N ).
*

*

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N ),则 ak·al=am·an.
?1? ?an? 2 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an}(λ ≠0),? ?,{an},{an·bn},? ?仍是 ?an? ?bn?

等比数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn=

a1?1-qn? a1-anq = . 1-q 1-q

6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比 为__q __. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)满足 an+1=qan(n∈N ,q 为常数)的数列{an}为等比数列.( × ) (2)G 为 a,b 的等比中项?G =ab.( × ) (3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.( × ) (4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.( × )
1
2 *

n

(5)数列{an}的通项公式是 an=a ,则其前 n 项和为 Sn=

n

a?1-an? .( × ) 1-a

(6)数列{an}为等比数列,则 S4,S8-S4,S12-S8 成等比数列.( × )

1.(2015·课标全国Ⅱ改编)已知等比数列{an}满足 a1=3,a1+a3+a5=21,则 a3+a5+a7= ________. 答案 42 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则由 a1=3,a1+a3+a5=21 得 3(1+q +q )=21,解得
2 4

q2=-3(舍去)或 q2=2,于是 a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=2×21=42.
2.等差数列{an}的公差为 3,若 a2,a4,a8 成等比数列,则 a4=________. 答案 12 解析 令首项为 a, 根据已知条件有(a+9) =(a+3)·(a+21). 解得 a=3, 所以 a4=3+3×3 =12. 3.等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于________. 答案 4 解析 数列{lg an}的前 8 项和 S8=lg a1+lg a2+?+lg a8=lg(a1·a2·?·a8)=lg(a1·a8) =lg(a4·a5) =lg(2×5) =4. 4.(2015·安徽)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前 n 项 和等于________. 答案 2 -1 解析 由等比数列性质知 a2a3=a1a4,又 a2a3=8,a1+a4=9,所以联立方程?
?a1=1, ? ? ?a4=8 ?a1=8, ? ? ?a4=1,
3 4 4 4 2

n

? ?a1a4=8, ?a1+a4=9, ?

解得?

或?

又∵数列{an}为递增数列,

∴a1=1,a4=8,从而 a1q =8,∴q=2. 1-2 n ∴数列{an}的前 n 项和为 Sn= =2 -1. 1-2 5.(教材改编)在 9 与 243 中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为 ________. 答案 27,81 解析 设该数列的公比为 q,由题意知, 243=9×q ,q =27,∴q=3. ∴插入的两个数分别为 9×3=27,27×3=81.
3 3

n

2

题型一 等比数列基本量的运算 例 1 (1)设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5= ________. (2)在等比数列{an}中,若 a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3=________. 31 答案 (1) 4 (2)4 或-4
3

a1q·a1q =1, ? ? 解析 (1)显然公比 q≠1,由题意得?a1?1-q3? = 7, ? ? 1-q a1=4, ? ? 解得? 1 q= , ? ? 2
5

a1=9 ? ? 或? 1 q=- ? 3 ?

(舍去),

1 4?1- 5? 2 a1?1-q ? 31 ∴S5= = = . 1-q 1 4 1- 2 (2)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0),
?a1q -a1q=6, ? 则? 4 ?a1q -a1=15, ?
3

两式相除,得

2 = , 1+q 5
2

q

1 2 即 2q -5q+2=0,解得 q=2 或 q= . 2
? ?a1=1, 所以? ?q=2, ?

a1=-16, ? ? 或? 1 q= . ? ? 2

故 a3=4 或 a3=-4.

思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1,n,q,

an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
(1)在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则 =________. (2)(2015·湖南)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,且 3S1,2S2,S3 成等差数列,则

a5 a7

an=________.
3 n-1 答案 (1) (2)3 2 解析 (1)设公比为 q,则由题意知 0<q<1,
3

由?

?a2·a8=a4·a6=6, ? ?a4+a6=5, ?

得 a4=3,a6=2,

a5 a4 3 所以 = = . a7 a6 2
(2)由 3S1,2S2,S3 成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得 a3=3a2,所以公比 q=3,故等比数列通 项 an=a1q
n-1

=3

n-1

.

题型二 等比数列的判定与证明 例 2 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明 由 a1=1 及 Sn+1=4an+2, 有 a1+a2=S2=4a1+2.∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3. 又?
?Sn+1=4an+2, ? ? ?Sn=4an-1+2 ?n≥2?,

① ②

①-②,得 an+1=4an-4an-1 (n≥2), ∴an+1-2an=2(an-2an-1) (n≥2). ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1 (n≥2), 故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列. (2)解 由(1)知 bn=an+1-2an=3·2 ∴
n-1



an+1 an 3
2
n+1

- n= , 2 4

an 1 3 故{ n}是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 2 4 an 1 3 3n-1 ∴ n= +(n-1)· = , 2 2 4 4
故 an=(3n-1)·2 引申探究 例 2 中“Sn+1=4an+2”改为“Sn+1=2Sn+(n+1)”, 其他条件不变探求数列{an}的通项公式. 解 由已知得 n≥2 时,Sn=2Sn-1+n. ∴Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,∴an+1=2an+1, ∴an+1+1=2(an+1),又 a1=1, 当 n=1 时上式也成立,故{an+1}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,∴an+1=2·2 =2 ,∴an=2 -1. 思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法, 其他方法只用于填空题中 的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用
4
n n n-1 n-2

.

递推关系时要注意对 n=1 时的情况进行验证. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a1+2a2+3a3+?+nan=(n-1)Sn+2n(n∈N ). (1)求 a2,a3 的值; (2)求证:数列{Sn+2}是等比数列. (1)解 ∵a1+2a2+3a3+?+nan =(n-1)Sn+2n(n∈N ), ∴当 n=1 时,a1=2×1=2; 当 n=2 时,a1+2a2=(a1+a2)+4,∴a2=4; 当 n=3 时,a1+2a2+3a3=2(a1+a2+a3)+6,∴a3=8. 综上,a2=4,a3=8. (2)证明
* *

a1+2a2+3a3+?+nan
*

=(n-1)Sn+2n(n∈N ),① ∴当 n≥2 时,a1+2a2+3a3+?+(n-1)an-1 =(n-2)Sn-1+2(n-1).② ①-②得 nan=(n-1)Sn-(n-2)Sn-1+2=n(Sn-Sn-1)-Sn+2Sn-1+2=nan-Sn+2Sn-1+2. ∴-Sn+2Sn-1+2=0,即 Sn=2Sn-1+2, ∴Sn+2=2(Sn-1+2). ∵S1+2=4≠0,∴Sn-1+2≠0,∴

Sn+2 =2, Sn-1+2

故{Sn+2}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. 题型三 等比数列的性质及应用 例 3 (1)在等比数列{an}中, 各项均为正值, 且 a6a10+a3a5=41, a4a8=5, 则 a4+a8=________. (2)等比数列{an}的首项 a1=-1,前 n 项和为 Sn,若 答案 (1) 51 1 (2)- 2
2 2

S10 31 = ,则公比 q=________. S5 32

解析 (1)由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10=a8,a3a5=a4, 得 a4+a8=41.因为 a4a8=5, 所以(a4+a8) =a4+2a4a8+a8=41+2×5=51. 又 an>0,所以 a4+a8= 51. (2)由
2 2 2 2 2

S10 31 = ,a1=-1 知公比 q≠±1, S5 32 S10-S5 1 =- . S5 32

则可得

5

1 5 5 由等比数列前 n 项和的性质知 S5,S10-S5,S15-S10 成等比数列,且公比为 q ,故 q =- ,q 32 1 =- . 2 思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中, 一般利用通项公式与前 n 项和公式, 建立方程 组求解,但如果能灵活运用等比数列的性质“若 m+n=p+q,则有 aman=apaq”,可以减少 运算量.(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质,例如等比数列

Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,?成等比数列,公比为 qk(q≠-1).
(1)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3a9=2a5,a2=2,则 a1=________. (2)等比数列{an}共有奇数项,所有奇数项和 S 奇=255,所有偶数项和 S 偶=-126,末项是 192,则首项 a1=________. 答案 (1) 2 (2)3
2 2 2

解析 (1)由等比数列的性质得 a3a9=a6=2a5, ∵q>0,∴a6= 2a5,q= = 2,a1= = 2. 1 * (2)设等比数列{an}共有 2k+1(k∈N )项,则 a2k+1=192,则 S 奇=a1+a3+?+a2k-1+a2k+1=
2

a6 a5

a2 q

q

1 126 a1-a2k+1q (a2+a4+?+a2k)+a2k+1= S 偶+a2k+1=- +192=255, 解得 q=-2, 而 S 奇= = 2 q q 1-q

a1-192×?-2?2
1-?-2?
2

=255,解得 a1=3.

12.分类讨论思想在等比数列中的应用

3 * 典例 (14 分)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ), 且-2S2, S3,4S4 成等差数 2 列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 13 * (2)证明:Sn+ ≤ (n∈N ). Sn 6 思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比,写出通项公式; (2)求出前 n 项和,根据函数的单调性证明. 规范解答 (1)解 设等比数列{an}的公比为 q,
6

因为-2S2,S3,4S4 成等差数列, 所以 S3+2S2=4S4-S3,即 S4-S3=S2-S4,

a4 1 可得 2a4=-a3,于是 q= =- .[2 分] a3 2
3 又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 2

an= ×?- ?n-1=(-1)n-1· n.[4 分] 2

3 2

? 1? ? ?

3 2

? 1?n (2)证明 由(1)知,Sn=1-?- ? , ? 2?
Sn+ =1-?- ?n+ Sn ? 2?
1

? 1?

1

? 1?n 1-?- ? ? 2?

1 2+ ? ? 2 ?2 +1?,n为奇数, =? 1 2+ ? ? 2 ?2 -1?,n为偶数.
n n n n

[8分]

1 当 n 为奇数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,

Sn

1 1 13 所以 Sn+ ≤S1+ = .[10 分] Sn S1 6 1 当 n 为偶数时,Sn+ 随 n 的增大而减小,

Sn

1 1 25 所以 Sn+ ≤S2+ = .[12 分] Sn S2 12 1 13 * 故对于 n∈N ,有 Sn+ ≤ .[14 分] Sn 6 温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多,常见的分类讨论有 ①已知 Sn 与 an 的关系,要分 n=1,n≥2 两种情况. ②等比数列中遇到求和问题要分公比 q=1,q≠1 讨论. ③项数的奇、偶数讨论. ④等比数列的单调性的判断注意与 a1,q 的取值的讨论. (2)数列与函数有密切的联系, 证明与数列有关的不等式, 一般是求数列中的最大项或最小项, 可以利用图象或者数列的增减性求解,同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.

[方法与技巧] 1.已知等比数列{an}
7

1 2 (1)数列{c·an}(c≠0),{|an|},{an},{ }也是等比数列.

an

(2)a1an=a2an-1=?=aman-m+1. 2.判断数列为等比数列的方法 (1)定义法:

an+1 an * =q(q 是不等于 0 的常数,n∈N )?数列{an}是等比数列;也可用 =q(q an an-1
*

是不等于 0 的常数,n∈N ,n≥2)?数列{an}是等比数列.二者的本质是相同的,其区别只 是 n 的初始值不同. (2)等比中项法:an+1=anan+2(anan+2≠0,n∈N )?数列{an}是等比数列. [失误与防范] 1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况. 2.由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. 3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q= 1 这一特殊情形而导致解题失误. 4.等比数列性质中:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列,不能忽略条件 q≠-1.
2 *

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.(2014·重庆改编)对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是________. ①a1,a3,a9 成等比数列; ②a2,a3,a6 成等比数列; ③a2,a4,a8 成等比数列; ④a3,a6,a9 成等比数列. 答案 ④ 解析 设等比数列的公比为 q,因为 = =q ,即 a6=a3a9,所以 a3,a6,a9 成等比数列. 1 2.(2015·课标全国Ⅱ改编)已知等比数列{an}满足 a1= ,a3a5=4(a4-1), 则 a2=________. 4 答案 1 2
2 2

a6 a9 a3 a6

3

2

解析 由{an}为等比数列,得 a3a5=a4,又 a3a5=4(a4-1),所以 a4=4(a4-1),解得 a4=2, 1 3 1 3 设等比数列{an}的公比为 q,则由 a4=a1q ,得 2= q ,解得 q=2,所以 a2=a1q= . 4 2 3.在正项等比数列{an}中,已知 a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则 n=________.
8

答案 14 解析 设数列{an}的公比为 q, 由 a1a2a3=4=a1q 与 a4a5a6=12=a1q , 可得 q =3,an-1anan+1=a1q 因此 q
3n-6 9 3 3n-3 3 3 3 12

=324,

=81=3 =q ,

4

36

所以 n=14. 4.在等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知 a1=-8,a2=-2,b1=1,b2=2,那么满足 an =bn 的 n 的所有取值构成的集合是________. 答案 {3,5} 解析 由已知得,an=6n-14,bn=2
n-1

,令 an=bn,可得 6n-14=2

n-1

,解得 n=3 或 5,所

以满足 an=bn 的 n 的所有取值构成的集合是{3,5}. 5.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,若存在 m∈N ,满足 的公比为________. 答案 2 解析 设公比为 q,若 q=1,则 与题中条件矛盾,故 q≠1.
*

S2m a2m 5m+1 =9, = ,则数列{an} Sm am m-1

S2m =2, Sm

a1?1-q2m? 1-q S2m m m ∵ = =q +1=9,∴q =8. Sm a1?1-qm? 1-q


a2m a1q2m-1 m 5m+1 = m-1 =q =8= , am a1q m-1
3

∴m=3,∴q =8,∴q=2. 6.(2015·浙江)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零.若 a2,a3,a7 成等比数列,且 2a1+a2 =1,则 a1=________,d=________. 答案 2 -1 3
2 2

解析 因为 a2,a3,a7 成等比数列,所以 a3=a2a7,即(a1+2d) =(a1+d)(a1+6d),∴a1=- 2 2 d,∵2a1+a2=1,∴2a1+a1+d=1 即 3a1+d=1,∴a1= ,d=-1. 3 3 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,则对任意的 n∈N ,都有 an+2+an+1 -2an=0,则 S5= ________________________________________________________________________. 答案 11
*

9

解析 由题意知 a3+a2-2a1=0,设公比为 q, 则 a1(q +q-2)=0. 由 q +q-2=0 解得 q=-2 或 q=1(舍去), 则 S5=
2 2

a1?1-q5? 1-?-2?5 = =11. 1-q 3 an+1 , 若 b10·b11=2, 则 a21=________. an

8. 已知数列{an}的首项为 1, 数列{bn}为等比数列且 bn= 答案 1 024 解析 ∵b1= =a2,b2= , ∴a3=b2a2=b1b2, ∵b3= , ∴a4=b1b2b3,?,an=b1b2b3·?·bn-1, ∴a21=b1b2b3·?·b20=(b10b11) =2 =1 024.
10 10

a2 a1

a3 a2

a4 a3

9.数列{bn}满足:bn+1=2bn+2,bn=an+1-an,且 a1=2,a2=4. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 解 (1)由 bn+1=2bn+2,得 bn+1+2=2(bn+2), ∴

bn+1+2 =2,又 b1+2=a2-a1+2=4, bn+2

∴数列{bn+2}是首项为 4,公比为 2 的等比数列. ∴bn+2=4·2
n-1

=2

n+1

,∴bn=2
n

n+1

-2.

(2)由(1)知,an-an-1=bn-1=2 -2 (n≥2), ∴an-1-an-2=2
2

n-1

-2 (n>2),

?,a2-a1=2 -2, ∴an-2=(2 +2 +?+2 )-2(n-1), ∴an=(2+2 +2 +?+2 )-2n+2 2?2 -1? n+1 = -2n+2=2 -2n. 2-1 4?1-2 ? n?2+2n? n+2 2 ∴Sn= - =2 -(n +n+4). 1-2 2 2 n 10.已知数列{an}和{bn}满足 a1=λ ,an+1= an+n-4,bn=(-1) (an-3n+21),其中 λ 为 3 实数,n 为正整数. (1)证明:对任意实数 λ ,数列{an}不是等比数列;
n n
2 3 2 3

n

n

10

(2)证明:当 λ ≠-18 时,数列{bn}是等比数列. 证明 (1)假设存在一个实数 λ ,使{an}是等比数列,

?2 ?2 2 则有 a2=a1a3,即? λ -3? =λ ?3 ?

?4λ -4? ?9 ? ? ?

4 2 4 2 ? λ -4λ +9= λ -4λ ?9=0,矛盾. 9 9 所以{an}不是等比数列. (2)bn+1=(-1) =(-1)
n+1 n+1

[an+1-3(n+1)+21]

?2an-2n+14? ?3 ? ? ?

2 2 n =- (-1) ·(an-3n+21)=- bn. 3 3 又 λ ≠-18,所以 b1=-(λ +18)≠0. 由上式知 bn≠0,所以

bn+1 2 * =- (n∈N ). bn 3

2 故当 λ ≠-18 时,数列{bn}是以-(λ +18)为首项,- 为公比的等比数列. 3 B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) ?a1+a2? 11.设 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则 的取值范围是
2

b1b2

________________________________________________________________________. 答案 (-∞,0]∪[4,+∞) 解析 在等差数列中,a1+a2=x+y,在等比数列中,xy=b1·b2. ∴ ?a1+a2?
2

b1b2

?x+y? x +2xy+y x y = = = + +2.

2

2

2

xy

xy

y x

x y ?a1+a2? 当 xy>0 时, + ≥2,故 ≥4; y x y x b1b2 x y ?a1+a2? 当 xy<0 时, + ≤-2,故 ≤0. b1b2
12.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e ,则 ln a1+ln a2+?+ln a20= ________. 答案 50 解析 因为 a10a11+a9a12=2a10a11=2e ,所以 a10a11=e .所以 ln a1+ln a2+?+ln a20= ln(a1a2?a20)=ln[(a1a20)·(a2a19)·?·(a10a11)]=ln(a10a11) =10ln a10a11=10ln e =50. 13.数列{an}满足 a1=2 且对任意的 m,n∈N ,都有
* 10 5 5 5 5 2

2

an+m =an,则 a3=________;{an}的前 n am
11

项和 Sn=________. 答案 8 解析 ∵ 2
n+1

-2

an+m =an, am

∴an+m=an·am, ∴a3=a1+2=a1·a2=a1·a1·a1=2 =8; 令 m=1, 则有 an+1=an·a1=2an, ∴数列{an}是首项为 a1=2,公比为 q=2 的等比数列, 2?1-2 ? n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 14.已知正项等比数列{an}满足 a2 015=2a2 013+a2 014,若存在两项 am,an,使得 aman=4a1,则
n
3

n+4m 的最小值为________. nm
答案 3 2
2

解析 设{an}的公比为 q(q>0),由正项等比数列{an}满足 a2 015=2a2 013+a2 014,可得 a2 013·q =2a2 013+a2 013·q, ∴q -q-2=0,∵q>0,∴q=2. ∵ aman=4a1,∴q ∴
m+n-2
2

=16,∴m+n=6.

n+4m 1 ?1 4? 1? n 4m? 3 = (m+n)? + ?= ?5+ + ?≥ , nm 6 ?m n? 6? m n ? 2 n 4m ,即 m=2,n=4 时取等号. m n

当且仅当 = 故

n+4m 3 的最小值为 . nm 2

?1? 记 T 为{a }的前 2n 项的和, 15. 已知数列{an}中, a1=1, an·an+1=? ?n, bn=a2n+a2n-1, n∈N*. 2n n 2 ? ?
(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出 bn; (2)求 T2n.

?1?n 解 (1)∵an·an+1=? ? , ?2? ?1?n+1 ∴an+1·an+2=? ? , ?2?


an+2 1 1 = ,即 an+2= an. an 2 2

∵bn=a2n+a2n-1,
12

1 1 a2n+ a2n-1 2 bn+1 a2n+2+a2n+1 2 1 ∴ = = = , bn a2n+a2n-1 a2n+a2n-1 2 1 ∵a1=1,a1·a2= , 2 1 3 ∴a2= ? b1=a1+a2= . 2 2 3 1 ∴{bn}是首项为 ,公比为 的等比数列. 2 2 3 ?1?n-1 3 ∴bn= ×? ? = n. 2 ?2? 2 1 (2)由(1)可知,an+2= an, 2 1 1 ∴a1,a3,a5,?是以 a1=1 为首项,以 为公比的等比数列;a2,a4,a6,?是以 a2= 为首项, 2 2 1 以 为公比的等比数列, 2 ∴T2n=(a1+a3+?+a2n-1)+(a2+a4+?+a2n)

?1?n? ?1?n 1? 1-? ? ? 1-? ? ? 3 ?2? 2? ?2? ? = + =3- n. 1 1 2 1- 1- 2 2

13


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