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求轨迹方程的常用方法及练习


求轨迹方程的常用方法
一、求轨迹方程的注意事项: 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中,发现动点 P 的运动规律, 即 P 点满足的等量关系,因此要学会动中求静,变中求不变。
?x ? f (t ) 2. 轨迹方程既可用普通方 程F ( x, y) ? 0表示, 又可用参数方程 (t为参数) ? ? y ? g (t )

来表示

,若要判断轨迹方程表示何种曲线,则往往需将参数方程化为普通 程。



3. 求出轨迹方程后,应注意检验其是否符合题意,既要检验是否增解(即以 该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上) ,又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点 未能用所求的 方程表示) 。出现增解则要舍去,出现丢解, 则需补充。检验方法: 研究运动中的特殊情形或极端情形。一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有 不合题意的部分或漏掉的部分。 二、常用方法及例题 1.用定义法求曲线轨迹(也叫待定系数法) 如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物 线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得 到轨迹方程。 【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。
(1) 圆:到定点的距离等于定长 (2) 椭圆:到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离) (3) 双曲线:到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离) (4) 抛物线:到定点与定直线距离相等 例 1 :已知 ?ABC 的顶点 A , B 的坐标分别为( -4 , 0 ) , ( 4 , 0 ) , C 为动点,且满足

5 sin C , 求点 C 的轨迹。 4 5 5 【解析】由 sin B ? sin A ? sin C , 可知 b ? a ? c ? 10 ,即 | AC | ? | BC |? 10 ,满足椭 4 4 sin B ? sin A ?
圆的定义。令椭 圆方程为

x2 a
'2

?

y2 b
'2

? 1 ,则 a ' ? 5, c ' ? 4 ? b ' ? 3 ,

则轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 ( x ? ?5) ,图形为椭圆(不含左,右顶点) 。 25 9
-1-

【变式 1】: 1:已知圆 的圆心为 M1,圆 一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心 P 的轨迹方程。 解:设动圆的半径为 R,由两圆外切的条件可得: 。 ,

的圆心为 M2,



∴动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12。

故所求轨迹方程为 2:一动圆与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 外切,而与圆 C: x 2 ? y 2 ? 6x ? 8 ? 0 内切,那么动圆的圆心

M 的轨迹是: A:抛物线 B:圆 C:椭圆 D:双曲线一支
【解答】令动圆半径为 R,则有 ? 2.用直译法求曲线轨迹方程

?| MO |? R ? 1 ,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义。故选 D。 ?| MC |? R ? 1

如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断, 但点 P 满足的等量关系易于建立,则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系,再 用点 P 的坐标( x,y)表示该等量关系式,即可得到轨迹方程。
例 2: 一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求 AB 中点 M 的轨迹方程? 解 设 M 点 的 坐 标 为 ( x, y ) OM= 由 平 几 的 中 线 定 理 : 在 直 角 三 角 形 AOB 中 ,

1 1 AB ? ? 2a ? a, 2 2

? x 2 ? y 2 ? a, x 2 ? y 2 ? a 2
M 点的轨迹是以 O 为圆心,a 为半径的圆周.

【点评】此题中找到了 OM=
一般直译法有下列几种情况:

1 AB 这一等量关系是此题成功的关键所在。 2

1)代入题设中的已知等量关系:若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,则采用直 接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2 )列出符合题设条件的等式:有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再根据题设条 件列出等式,得出其轨迹方程。

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3)运用有关公式:有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的 恒等变换即得其轨迹方程。 4)借助平几中的有关定理和性质:有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中 的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数 量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要 方法. 【变式 2】 : 动点 P (x,y) 到两定点 A (-3, 0) 和B (3, 0) 的距离的比等于 2 (即 求动点 P 的轨迹方程?
2 2 【解答】∵|PA|= ( x ? 3) ? y , | PB |?

| PA | , ? 2) | PB |

( x ? 3) 2 ? y 2

( x ? 3) 2 ? y 2 | PA | ? 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 4( x ? 3) 2 ? 4 y 2 ? 2得 代入 2 2 | PB | ( x ? 3) ? y
化简得(x-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心,4 为半径的圆.
。X。X。K [来源:学。科。网 Z。X。X。K]

例 3.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。(可用直译法和参数法)

分析 1:利用△PAB 为直角三角形的几何特性: | MP |?

1 | AB | 2

解法 1:设 M(x,y) ,连结 MP,则 A(2x,0) ,B(0,2y) , ∵l1⊥l2,∴△PAB 为直角三角形

由直角三角形的性质 ,| MP |?

1 | AB | 2

1 ? ( x ? 2) 2 ? ( y ? 4) 2 ? · (2 x) 2 ? (2 y ) 2 2
化简,得 x+2y-5=0,此即 M 的轨迹方程。 分析 2:设 M(x,y) ,由已知 l1⊥l2,联想到两直线垂直的充要条件:k1k2=-1,即可列出轨 迹方程,关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上,由 M 为 AB 的中点,易找出它 们的坐标之间的联系。 解法 2: 设 M(x,y) ,∵M 为 AB 中点,∴A(2x,0) ,B(0,2y) 。 又 l1,l2 过点 P(2,4) ,且 l1⊥l2 ∴PA⊥PB,从而 kPA·kPB=-1,

-3-

4?0 4 ? 2y ,k PB ? 2 ? 2x 2?0 4 4 ? 2y ? · ? ?1,化简,得 x ? 2 y ? 5 ? 0 2 ? 2x 2 而k PA ?
注意到 l1⊥x 轴时,l2⊥y 轴,此时 A(2,0) ,B(0,4) 中点 M(1,2) ,经检验,它也满足方程 x+2y-5=0 综上可知,点 M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。 分析 3:从运动的角度观察发现,点 M 的运动是由直线 l1 引发的,可设出 l1 的斜率 k 作 为参数,建立动点 M 坐标(x,y)满足的参数方程。

3.用参数法求曲线轨迹方程 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点 P 运动如果采用直

? x ? f (t ) 译法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点 P 运动的函数关系 ? ,进而 ? y ? g ?t ?
通过消参化为轨迹的普通方程 F(x,y)=0。
此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最后消参,化为普通方程。注意参 数的取值范围。 例 3.过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。(可用直译法和参数法)

解法 3:设 M(x,y) ,设直线 l1 的方程为 y-4=k(x-2) , (k≠0)

1 由l1 ? l 2, 则直线 l 2的方程为 y ? 4 ? ? ( x ? 2) k 4 ? l1与x轴交点 A的坐标为 (2 ? , 0), k 2 l 2 与y轴交点 B的坐标为 (0, 4 ? ), k
∵M 为 AB 的中点,

4 ? 2? ? k ? 1? 2 ?x ? ? 2 k ?? (k为参数) 消去 k,得 x+2y-5=0。 2 ? 4? ? k ? 2? 1 y ? ? 2 k ?
另外,当 k=0 时,AB 中点为 M(1,2) ,满足上述轨迹方程; 当 k 不存在时,AB 中点为 M(1,2) ,也满足上述轨迹方程。 综上所述,M 的轨迹方程为 x+2y-5=0。

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【点评】解法 1,2 为直译法,运用了 | MP |?

1 | AB | kPA·kPB=-1 这些等量关系。 2

解法 3 用了参数法,消参时应注意取值范围。 用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度, 距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等。也可以没有具 体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响。 4.用代入法等其它方法求轨迹方程(也叫相关点法) 如果动点 P 的运动是由另外某一点 P'的运动引发的,而该点的运动规律已知, (该点坐标满足某已知曲线方程) ,则可以设出 P(x,y) ,用(x,y)表示出相关 点 P'的坐标,然后把 P'的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点 P 的轨迹方程。
例 4. 点B是椭圆

x2 y2 ? ? 1上的动点,A (2a, 0)为定点, 求线段AB的中点M的 a2 b2

轨迹方程。 分析:题中涉及了三个点 A、B、M,其中 A 为定点,而 B、M 为动点,且点 B 的运动是有规律 的,显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的,可见 M、B 为相关点,故采用相关点法求动点 M 的 轨迹方程。 【解析】设动点 M 的坐标为(x,y) ,而设 B 点坐标为(x0,y0) 则由 M 为线段 AB 中点,可得

? x 0 ? 2a ?x ? ? x 0 ? 2 x ? 2a ? 2 ?? ? ? y0 ? 2 y ? y0 ? 0 ? y ? 2 ?
即点 B 坐标可表为(2x-2a,2y)

x2 y2 又 ? 点B( x0,y 0 )在椭圆 2 ? 2 ? 1上 a b

x y ? 02 ? 02 ? 1 a b

2

2

(2 x ? 2a) 2 (2 y) 2 从而有 ? 2 ? 1, a2 b

4( x ? a) 2 4 y 2 整理, 得动点M的轨迹方程为 ? 2 ?1 a2 b

【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系 5.几何法 若所求的轨迹满足某些几何性质(如线段的垂直平分线,角平分线的性质等) , 可以用几何法,列出几何式,再代入点的坐标较简单。
例 5.若圆 C 与两圆 ?x ? 4? ? y 2 ? 1, ?x ? 1? ? ? y ? 4? ? 1 外切,则圆 C 的圆心轨迹 l 的方程
2 2 2



-5-

变式:已知两点 M (1, ), N ( ?4,? ) 给出下列曲线方程:① 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;② x 2 ? y 2 ? 3 ;

5 4

5 4

③ (

x2 x2 ? y 2 ? 1 ;④ ? y 2 ? 1 ,在曲线上存在点 P 满足 | MP |?| NP | 的所有曲线方程是 2 2
) A ①③ B ②④ C ①②③ D ②③④

【点评】垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
【解答】 : 要使得曲线上存在点 P 满足 | MP |?| NP | ,即要使得曲线与 MN 的中垂线 y ? ?2 x ? 3 有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选 D

6 :交轨法:在求动点轨迹时,有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题,这 类问题通常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标,再消去参数求得所求的轨 迹方程(若能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程) ,该法经 常与参数法并用。
例 6.两条直线 x ? m y ? 1 ? 0 与 m x ? y ? 1 ? 0 的交点的轨迹方程是 【解答】:直接消去参数 m 即得(交轨法): x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 .

7.常见错误: 【例题】 ?ABC 中,B,C 坐标分别为(-3,0) , (3,0) ,且三角形周长为 16,求点 A 的轨
迹方程。 【常见错误】由题意可知,|AB|+|AC|=10,满足椭圆的定义。令椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,则 a2 b2

x2 y2 ? ?1 由定义可知 a ? 5, c ? 3 ,则 b ? 4 ,得轨迹方程为 25 16
【错因剖析】ABC 为三角形,故 A,B,C 不能三点共线。 【正确解答】ABC 为三角形,故 A,B,C 不能三点共线。轨迹方程里应除去点 (5,0).(?5,0) ,

即轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1( x ? ?5) 25 16

【总结】1:在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略,因此, 在求出曲线方程的方程之后,应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中,将其剔除; 另一方面,又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外,要将其“捉拿归案” 。 2 :求轨迹时方法选择尤为重要,首先应注意定义法,几何法,直译 法等方 法的选择。

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3 :求出轨迹后,一般画出所求轨迹,这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的部分。 针对性练习:
1: 已 知 圆 的 方 程 为 (x-1)2+y2=1, 过 原 点 O 作 圆 的 弦 0A , 则 弦 的 中 点 M 的 轨 迹 方 程 是 . 【 解 答 】 : 令 M 点 的 坐 标 为 ( x, y ) , 则 A 的 坐 标 为 (2 x,2 y ) , 代 入 圆 的 方 程 里 面 得: ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

1 ( x ? 0) 4

2:点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 x ? 50 ?的距离小 1,则点 M 的轨迹方程为 ____________。 【解答】 :依题意,点 M 到点 F(4,0)的距离与它到直线 x 的距离相等。则点 M ? ? 4 的轨迹是以 F(4,0)为焦点、 x 为准线的抛物线。故所求轨迹方程为 y ?1 6 x。 ? ? 4
2

3:求与两定点距离 O(0,0),A(3,0)的比为 1:2 的点的轨迹方程为_________

, y 是所求轨迹上一点,依题意得 【解答】 :设 Px

?

?

PO PA

?

1 2

由两点间距离公式得:

x2 ? y2

?x?3 ?2 ? y2

?

1 2

y? 2 x ?? 30 化简得: x?
2 2

4.抛物线 y ? 4 x 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)与抛物线交于 A、B 两点,动点 C 在
2

抛物线上,求△ABC 重心 P 的轨迹方程。

, y 是重心,则由分点坐标公式得: x ? 【解答】 :因点 Px

?

?

x1 ? 2 y ,y ? 1 3 3

即 x1

? 3x ? 2,y1 ? 3 y

x , y 由点 C 1 1 在抛物线 y ? 4 x 上,得: y1 ? 4 x1
2
2

?

?

将 x1 ? 3x ? 2,y1 ? 3 y 代入并化简,得: y ?
2

4? 2? ? x ? ? ( x ? 1) 3? 3?

-7-

5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( N 两点,MN 中点的横坐标为
【解答】:设双曲线方程为

,0),直线 y=x-1 与其相交于 M、

,求此双曲线方程。

x2 y2 ? ? 1 。将 y=x-1 代入方程整理得 a2 b2


由韦达定理得 x1 ? x 2 ? 解得 a 2 ? 2, b 2 ? 5 。

x1 ? x 2 2a 2 a2 2 , ? ? ? 。又有 2 2 2 2 2 3 a ?b a ?b

,联立方程组,

∴此双曲线的方程为



6.过原点作直线 l 和抛物线 y ? x 2 ? 4 x ? 6 交于 A、B 两点,求线段 AB 的中点 M 的 轨迹方程。
【解答】:由题意分析知直线 l 的斜率一定存在,设直线 l 的方程 y=kx。把它代

入抛物线方程 ,得 。因为直线和抛物线相交,所 以△>0,解得 x ? (??,?4 ? 2 6 ) ? (?4 ? 2 6,??) 。 设 A( ),B( ),M(x,y),由韦达定理得 。

由 又

消去 k 得



,所以 x ? (??,? 6 ) ? ( 6,??) 。

∴点 M 的轨迹方程为 y ? 2x 2 ? 4x, x ? (??,? 6 ) ? ( 6,??) 。

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