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汕头市金山中学2012~2013学年度第二学期期末考试

时间:2014-03-15


数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分把答案填在答题卡相 应位置上 1.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a5 ? 8, a4 ? 7 ,则 a5 ? . A. 3 B. 7 C. 10 D. 11 2.某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情况,采用 分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本,

则样本中松树苗的数量为 A.15 B.20 C.25 D.30 2? ) 的图像, 是由函数 y ? sin 2 x 的图像沿 x 轴( 3.函数 y ? sin(2 x ? ) 3 2? 2? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 3 3 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 4.下列关系式中正确的是 A. sin110 ? cos100 ? sin1680 B. sin1680 ? sin110 ? cos100 C. sin110 ? sin1680 ? cos100 D. sin1680 ? cos100 ? sin110 5. 为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况,将所得的数据整理后, 画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比 为 1:2:3,第 2 小组的频数为 12,则抽取的学生人数是 A、 45 B、 46 C、 50 D、 48

6 . 已知 log 1 m ? log 1 n ? 0 ,则
2 2

A. n<m < 1

B. m<n< 1

C. 1< m<n

D. 1 <n<m

? 7.?ABC 中,若 lg a ? lg c ? lg sin B ? ? lg 2 且 B ? (0, ) ,则 ?ABC 的形状是 A. 等 2 边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 1 1 8、设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b的等比中项,则 ? 的最小值为 a b 1 A. 8 B. 4 C. 1 D. 4 1 9.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? n
1

A. 2 ? ln n

B. 2 ? (n ? 1) ln n

C. 2 ? n ln n

D. 1 ? n ? ln n

10.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径” ,封闭区 域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率” ,下面四个平面区域(阴 影部分)的周率从左到右依次记为 ?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ,则下列关系中正确的为
?

A. ?1 ? ? 4 ? ? 3

B. ? 3 ? ?1 ? ? 2

?

C. ? 3 ? ? 4 ? ?1

D. ? 4 ? ? 2 ? ? 3

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡 相应位置上 11.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 bcosC+ccosB= 3 acosB,则 cosB 的值为 .
开始

12.从一堆苹果中任取 5 只,称得它们的质量如下 125 124 121 123 127 (单位:克)
输入 p

n ? 1,S ? 0

则该样本标准差 s ?

(克) (用数字作答) .
S? p?




13.执行右边的程序框图,若 p ? 0.8 , 则输出的 n ? .

S?S?

1 2n

输出 n 结束

n ? n ?1

?x ? y ? 1 ? 14.若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取 ?2 x ? y ? 2 ?
得最小值, 则 a 的取值范围是 15. 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列,| q |? 1 ,

令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2,?) ,若数列 ?bn ? 有连续四项在集合 ??53, ?23,19,37,82? 中,

2

则 6q =

.

16、下列命题:
AB ? a , BC ? b , B是 △ ABC 中最大角, ① 已知△ ABC中, 且 a? b ? 0 , 则△ ABC
? ? ? ?

? ?

为 钝 角 三 角 形
sin ? ?



若 sin A ?

4 5sinA ? 8 , 则 ? 6; 5 15 cos A ? 7





? 5 10 且 ?、? 为锐角,则 ? ? ? ? ; , sin ? ? 4 5 10

④ 已知数列 ?a n ?的

前 n 项和 S n ? aqn (a ? 0, q ? 1, q 为非零常数),则数列 ?a n ?为等比数列.
1 的图像与函数 y ? 2sin ? x (?1 ? x ? 3) 的图像所有交点的横坐标之 x ?1 和等于 4 其中正确的命题序号________.(注:把你认为正确的序号都填上)

⑤函数 y ?

三、 解答题:本大题共 5 小题,共 70 分, 请将解答写在答题卡相应位置。 17. (14 分)已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? 1 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间;
A (Ⅱ)在 ?ABC 中,若 f ( ) ? 2 , b ? 1 , c ? 2 ,求 a 的值. 2

18.为了加强对H7N9的防控,某养鸭场要围成相同面积的 长方形鸭笼四间(无盖) ,如图所示,一面可利用原有的墙, 其他各面用铁丝网围成. (Ⅰ)现有可围72m长的铁丝网,则每间鸭笼的长、宽 各设计为多少时,可使每间鸭笼面积最大? (Ⅱ)若使每间鸭笼面积为24 m2,则每间鸭笼的长、宽各设计为多少时,可 使围成四间鸭笼的铁丝网总长最小?(14分)

19.已知 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,求证 a2,a8, a5 成等差数列. (12 分)

20. 下面一组数据是某生产车间 20 名工人某日加工零件的个数.
3

134 116

112 132

117 127

126 128

128 126

124 121

122 120

116 118

113 108

107 110

(1)求这组数据的中位数和平均数; (2)请设计适当的茎叶图表示这组数据,并根据图说明一下这个车间此日 的生产情况. (14 分)

21、若数列 {an } 是首项为 6 ? 12t ,公差为6的等差数列;数列 {bn } 的前 n 项和为

Sn ? 3n ? t ,其中 t 为实常数.
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ) 若数列 {bn } 是等比数列, 试证明: 对于任意的 n(n ? N * ) , 均存在正整数 cn , 使得 bn?1 ? acn , 并求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; ( Ⅲ ) 设 数 列 {d n } 满 足 d n ? an ? bn , 若 {d n } 中 不 存 在 这 样 的 项 d k , 使 得 “ d k ? d k ?1 ”与“ d k ? d k ?1 ”同时成立(其中 k ? 2 , k ? N * ) ,求实数 t 的取值 范围. (16 分)

高一(期末)考试
1. C 11. 2. B 3. C 4.C 5.D 6.D

数学 参考答案
7.C 8.B 9.A 10.D

3 12.2 13. 4 14.( ?4 ,2 ) 15. -9 16. ③⑤ 3 10.答案:D 【解析】前三个区域的周率依次等于正方形、圆、正三角形的周长
和最远距离,所以 ?1 ? 2 2 、 ? 2 ? ? 、 ? 3 ? 3 ,第四个区域的周率可以转化为一
4

个 正 六边形的周长与它的一对 平行边之间的距离之比,所以 ? 4 ? 2 3 ,则

? 4 ? ? 2 ? ? 3 ? ?1
17、解:(Ⅰ) f(x) ?
? 2 sin(2 x ?
由 2k ? ?

3 sin 2x ? cos 2x
) T ?

?
6

2?

?

? ?

┅4 分
得, k ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

?
2

?
6

? x ? k? ?

?
3

( k ? Z ).,

故 f ( x) 的单调递增区间为 ? k ? ?

? ?

?
6

,k ? ?

??
3? ?

(k ?Z )

┅8 分

(Ⅱ) f ( ) ? 2 ,则 2sin( A ?

A 2

?
6

) ? 2 ? sin( A ?

?
6

)?1

? A?

?
6

?

?
2

? 2k? , A ?

2? ? 2k? , k ? Z 3

┅11 分

又 0 ? A ? ? ,? A ?

2? 3

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 7

?a ? 7

┅14 分

18、(1)设每间鸭笼长 x m,宽为 y m,则由条件得 4x+6y=72,即 2x+3y=36, 设每间鸭笼面积为 S,则 S=xy.由于 2x ? 3 y ? 2 2x ? 3 y ? 2 6xy ∴ 2 6xy ? 36, 得 xy ? 54, 即 S ? 54, ┅┅4 分

?2x ? 3y ? 36 ?x ? 9 当且仅当 2x=3y 时,等号成立,由 ? , ┅┅6 分 , 解得 ? y ? 6 2x ? 3y ? ?
故每间鸭笼长为 9 m,宽为 6 m 时,可使面积最大. ┅┅7 分 (2)由条件知 S=xy=24,设铁丝网总长为 l,则 l=4x+6y. 由(1)知 2x ? 3 y ? 2 2x ? 3 y ? 2 6xy =24 ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48 ┅┅11 分

?2x ? 3y ?x ? 6 当且仅当 2x=3y 时,等号成立,由 ? 解得 ? ┅┅13 分 , , ? xy ? 24 ?y ? 4 故每间鸭笼长 6 m,宽 4 m 时,可使铁丝网总长最小. ┅┅14 分
19.解:设等比数列 ?an ? 的公比为 q,因为 S3,S9,S6 成等差数列, 所以公比 q ? 1 ,且 2S 9 ? S 3 ? S 6 , 即 2? (3 分) (6 分) (8 分) (12 分)

a1 (1 ? q 9 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) . ? ? 1? q 1? q 1? q
即 2q 6 ? 1 ? q 3 .

于是 2q 9 ? q 3 ? q 6 , 即 2a8 ? a2 ? a5 ,

以上两边同乘以 a1 q ,得 2a1q 7 ? a1q ? a1q 4 , (10 分) 所以 a2,a8,a5 成等差数列. 20.解: (1)将这组数据从小到大排列如下:
5

107 121

108 122

110 124

112 126

113

116

116

117 128

118 132

120 134 ? 4分

126 127 128 120 ? 121 ? 120 .5 由上可知这组数据的中位数为 2 这组数据的平均数为

120+(-13-12-10-8-7-4-4-3-2+0+1+2+4+6+6+7+8+8+12+14) ÷ 20=120.25 (2)这组数据的茎叶图如下: 茎 10 11 12 13 7 0 0 2 8 2 1 4 3 2 6 4 6 6 7 6 8 7 8 8 叶 ?

8 分 12 分

由该图可以看出 20 名工人的日加工零件个数稳定在 120 件左右. 21、解: (1)因为 而数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ? 3 ? t ,
n

? 14 分 2分

?an ? 是等差数列,所以 an ? (6 ?12t) ? 6(n ?1) ? 6n ?12t

所以当 n ? 2 时, bn ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 ,又 b1 ? S1 ? 3 ? t ,所以

n ?1 ? 3 ? t, bn ? ? ??????4分 n?1 ?2 ? 3 , n ? 2 (2)证明:因为 ?bn ? 是等比数列,所以 3 ? t ? 2 ? 31?1 ? 2 ,即 t ? 1 ,
所以 an ? 6n ?12 ??????5分 对任意的 n(n ? N , n ? 1) ,由于 bn?1 ? 2 ? 3n ? 6 ? 3n?1 ? 6 ? (3n?1 ? 2) ? 12 ,
n?1 令 cn ? 3n?1 ? 2 ? N * ,则 acn ? 6(2 ? 3 ) ? 12 ? bn?1 ,所以命题成立 ??7分

1 ? 3n 1 n 1 ? ? 3 ? 2n ? ???????9分 1? 3 2 2 ?6(3 ? t )(1 ? 2t ), n ? 1 (3)易得 d n ? ? , n ? 4(n ? 2t )3 , n ? 2
数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ? 2n ?
n 由于当 n ? 2 时, d n?1 ? d n ? 4(n ? 1 ? 2t )3n?1 ? 4(n ? 2t )3n ? 8[n ? (2t ? )] ? 3 ,所

3 2

以 ①若 2t ? 意得

3 7 ? 2 ,即 t ? ,则 dn?1 ? dn ,所以当 n ? 2 时, ?d n ? 是递增数列,故由题 4 2

d1 ? d2 ,即 6(3 ? t )(1 ? 2t ) ? 36(2 ? 2t ) ,解得

6

?5 ? 97 ?5 ? 97 7 ?t ? ? ,???????13分 4 4 4 3 7 9 ②若 2 ? 2t ? ? 3 ,即 ? t ? ,则当 n ? 3 时, ?d n ? 是递增数列,, 2 4 4 7 故由题意得 d2 ? d3 ,即 4(2t ? 2)32 ? 4(2t ? 3)33 ,解得 t ? ????14分 4 3 m 3 m 5 ③若 m ? 2t ? ? m ? 1(m ? N , m ? 3) ,即 ? ? t ? ? (m ? N , m ? 3) , 2 4 2 4 2 则当 2 ? n ? m 时, ?d n ? 是递减数列, 当 n ? m ? 1 时, ?d n ? 是递增数列,
则由题意,得 dm ? dm?1 ,即 4(2t ? m)3m ? 4(2t ? m ? 1)3m?1 ,解得 t ? 综上所述, t 的取值范围是

2m ? 3 ?15分 4

?5 ? 97 ?5 ? 97 或 ?t ? 4 4

t?

2m ? 3 (m ? N , m ? 2) ?????16分 4

7


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