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等差求和


3.3 等差数列的前n项和

新野一高
数学组 李民

一、高 斯 的 故 事

高斯10岁上小学时,有一次数学老 师给同学们出 了一道 题:计算从1到100的自然数之和。那个老师认为, 这些孩子算这道题目需要很长时间,所以他一写完题目, 就坐到一边看书去了。谁知,他刚坐下,马上就有一个 学生举手说:“老师,

我做完了。”老师大吃一惊,原 来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边,只见他在 笔记本上写着5050,老师看了,不由得暗 自称赞。后来, 高斯成了德国乃至世界著名的数学家。
同学们:现在如果要你算,你能否用简便的方法来算 出它的值呢?

问题解答:
计 算: 1 + 2 + 3 + …+99+100=?
100 +99+98+… +2 +1

倒序相 加法

1+2+3+…+99+100 =

100×(1 + 100) 2

=5050

拓展:计算从1到n的自然数的和,则结果是多少?
1 + 2 + 3 + …+(n-2)+(n-1)+n=?
n+(n-1)+(n-2)+…+3 + 2 + 1 1+2+3+ …+(n-1)+n= n×( 1 + n )
2

二、等差数列的前n项和公式的推导
则 设等差数列{ an }的前n项和为Sn,公差为d.

Sn= a1+a2 + a3 + … + an-1 + an
Sn= an+an-1 + an-2 + … + a2 + a1
根据等差数列的性质:


m ? n ? p ? q,



am ? an ? ap ? aq

2Sn ? n(a1 ? an )
an ? a1 ? (n ?1)d

n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

练习1:根据下列各题中的条件,求相应的等
差数列{ an }的前n 项和Sn:

(1) a1 =5,

an=95,

n=10

(2) a1=100, d=-2, n=50 (3) a1=14.5,d=0.7,
2

an=32

解:(1)S10= 10 ×(5+95) =500
(2)S50=50×100+ 50 ×(50-1) ×(-2) =2550 2
(3) an= a1+(n-1)d ∴32=14.5+(n-1)×0.7

∴n=26

∴S26= 26 ×(14.5+32) =604.5 2

三、公式的基本应用
例1.某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)是

7500 8000 8500

9000

9500 10000 10500

这位长跑运动员7天共跑了多少米?

解:这位长跑运动员每天的训练量成等差 数列,记为: {an}
其中a1 =7500, d=500 n=7 a7 =10500。则 S7 =7×(7500+10500)/2=63000 7×7500 + 7 ×(7-1) ×500 =63000 2 答:这位长跑运动员7天共跑了63000米

例2.等差数列-10,-6,-2,2, …的前多少项 的和为54?
解:设题中的等差数列是{an},前n项和为Sn

则a1=-10,d=-6-(-10)=4,设Sn=54.

由等差数列前n项和公式,得
-10n+ n×(n + 1) ×4=54 2 解得 n1=9,n2=-3(舍去). 因此,等差数列-10,-6, -2,2…的前9项 和是54.

进一步的思考:
如何从函数的角度如何理解等差数列的前n项和

Sn= ? 呢?
等差数列-10,-6,-2,2, …的前多 少项的和为54?
an= a1+(n -1 )d= -10+(n - 1)4=4n-14

an = 4n-14
n(n ? 1) S n ? na1 ? d =n×(-10)+ n ×(n-1) ×4 2 2

Sn = 2n2-12n

Sn的深入认识
an an = 4n-14

Sn = 2n2-12n

Sn
O

6 n

0

n

三 公 式 的 基 本 应 用

练习2:
(1)求正整数列中的前n个数的和;

(2)求正整数列中前n个偶数的和;
解: (1) 设正整数列中前n个数成等差数 列

记为{an},
∴Sn= n ×(n+1) 2

∵a1=1,

an=n,

(2)正整数列中前n个偶数成等差数列记为: {an} ∵a1=2 , an=2n
∴ Sn= n ×( 2n+2 ) = n(n+1) 2

练习3
如图,一个堆放铅笔的V形架的最下面一层 放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多 放1支,最上面一层放120支. 这个V形架上在 第101层到第120层之间共放了多少支铅笔? 解:由题意知,这个V型架自下而上各 层的铅笔数成等差数列,记为{an}. 则a1 =1,a100 =100, a120 =120,

S100 =5050, S120 =7260
∴S120 - S100 =2210

答:在第101层到第120层之间共放了 2210支铅笔。

四、小结
1:等差数列前n项和Sn公式的推导(倒序相 加法); 2:等差数列前n项和Sn公式及应用;
n(a1 ? an ) Sn ? 2
n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

3:从函数的观点理解等差数列前n项和Sn.

P122:

1.(1)(3) 2.(1)(3) 4.
思考:
已知等差数列16,14,12,10, … (1)前 多少项的和为0? (2)第几项开始是负的? (3)前多少项的和最大?


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