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平面向量知识点及练习题 有答案

时间:2013-09-21


3. 平 面 向 量
知识网络结构

向量的运算? 几何方法 加 法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 坐标方法 运算性质

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a?b ? b?a ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) A

B ? BC ? AC ? ? ? ? a ? b ? a ? (?b) ??? ? ??? ? AB ? ? BA OB ? OA ? AB ? ? ? ( ? a) ? (?? )a ? ? ? (? ? ? )a ? ? a ? ? a ? ? ? ? ? ( a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? ? a // b ? a ? ? b ? ? ? ? a ?b ? b? a ? ? ? ? ? ? (? a) ? b ? a ? (? b) ? ? (a ? b) ? ? ? ? ? ? ? ( a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ?2 ? ? ? a ?| a |2 即|a|= x 2 ? y 2 ? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

减 法

1.平行四边形法则 2.三角形法则 1. ? a 是一个向量,

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

,

?

数 乘 向 量

满足: | ? a |?| ? || a |

?

?

2. ? >0 时, ? a与a 同向;

? ? ? ?

? a ? (? x, ? y )

?

? <0 时, ? a与a 异向; ? ? ? =0 时, ? a ? 0 .
? ? a ? b 是一个数 ? ? 1. a ? 0 或 b ? 0 时 , ? ? a ?b ? 0 ? ? 2. . a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ? a, b ?

向 量 的 数 量 积

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

1.向量的概念? (1)向量的基本要素:大小和方向.?(2)向量的表示:几何表示法 AB ;字母表示:a;
-1-

坐标表示法 a=xi+yj=(x,y) (3)向量的长度:即向量的大小,记作|a|.? (4)特殊的向量:零向量 a=O ? |a|=O.?单位向量 aO 为单位向量 ? |aO|=1.? (5)相等的向量:大小相等,方向相同:(x1,y1)=(x2,y2) ? ?

? x1 ? x 2 ? y1 ? y 2

(6) 相反向量:a=-b ? b=-a ? a+b=0 (7)平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,称为平行向量.记作 a∥b. 2.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理? e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实 数λ 1,λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2.? (2)两个向量平行的充要条件: a∥b ? a=λ b(b≠0) ? x1y2-x2y1=O.? (3)两个向量垂直的充要条件: a⊥b ? a·b=O ? x1x2+y1y2=O.? (4)线段的定比分点公式: 设点 P 分有向线段 P1 P2 所成的比为λ ,即 P P =λ PP2 ,则 1

?

1 1 OP1 + OP2 (线段的定比分点的向量公式)? 1? ? 1? ? x1 ? ?x 2 ? ?x ? 1 ? ? , ? (线段定比分点的坐标公式)? ? ? y ? y1 ? ?y 2 . ? 1? ? ? x1 ? x 2 ? , ?x ? 1 ? 2 当λ =1 时,得中点公式: OP = ( OP1 + OP2 )或 ? 2 ? y ? y1 ? y 2 . ? 2 ?
OP =
(5)平移公式: 设点 P(x,y)按向量 a=(h,k)平移后得到点 P′(x′,y′) , 则 O P ? = OP +a 或 ?

? x ? ? x ? h, ? y ? ? y ? k.

曲线 y=f(x)按向量 a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为:y-k=f(x-h) (6)正弦定理:
2

a b c ? ? ? 2 R. sin A sin B sin C
2 2 2 2 2 2 2 2

余弦定理:a =b +c -2bccosA,b =c +a -2cacosB,c =a +b -2abcosC.? (7)三角形面积计算公式: 设△ABC 的三边为 a,b,c,其高分别为 ha,hb,hc,半周长 为 P,外接圆、内切圆的半径为 R,r. ①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc ②S△=Pr ③S△=abc/4R ④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA ⑤S△= P?P ? a ??P ? b ??P ? c ? [海伦公式] ⑥S△=1/2(b+c-a)ra[如下图]=1/2(b+a-c)rc=1/2(a+c-b)rb [注]:到三角形三边的距离相等的点有 4 个,一个是内心,其余 3 个是旁心. 如图:
-2-

图 1 中的 I 为 S△ABC 的内心, S△=Pr 图 2 中的 I 为 S△ABC 的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra 附:三角形的五个“心” ; 重心:三角形三条中线交点. 外心:三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心:三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心:三角形三边上的高相交于一点. 旁心:三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点. ⑻△ABC 的判定:

c 2 ?a 2 ?b 2 ? △ABC 为直角△ ? ∠A + ∠B = ?
2

? 2 ? c 2 > a 2 ?b 2 ? △ABC 为锐角△ ? ∠A + ∠B> 2
c 2 < a 2 ?b 2 ? △ABC 为钝角△ ? ∠A + ∠B<
2 2 2 附:证明: cosC ? a ?b ?c ,得在钝角△ABC 中, cosC ? 0 ?a 2 ?b 2 ?c 2 ? 0, ?a 2 ?b 2 ?c 2

2ab

⑼平行四边形对角线定理:对角线的平方和等于四边的平方和. 二。例题。 例 1 。 已 知 A ( -2 , 4 ) B ( 3 , -1 ) C ( -3 , -4 ) 设 AB ? a, BC ? b, CA ? c 且 , , 。

CM ? 3c, CN ? ?2b ;
(1)求 3a ? b ? 3c ;职 (2)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n 的值; (3)求 M,N 的坐标及向量 MN ;

-3-

例 2。已知 | a |? 5, | b |? 12, b ? k b与a ? k b 互相垂直, 则 k?

例 3。已知 AD,BE 分别是△ABC 的边 BC、AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b 则 BC =?

例 4。已知 | a |? 3 , | b |? 2, | a ? b |? 13 , 求a ? b与a ? b 的夹角。

例 5。已知 | a |? 4, | b |? 8, | a | 与 | b | 夹角是 150 ;
0

计算: (1) (a ? 2b )(2a ? b ) ;

(2) | 4a ? 2b | ;

3. 平 面 向 量 A 组
1.如果 a , b 是两个单位向量,则下列结论中正确的是 ( ) D. a ? b ??? ??? ???? ? ? 2.在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD ,则四边形 ABCD 的形状一定是 ( ) A. a ? b B. a ? b = 1 C. a 2 ? b2 (A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 3.若平行四边形的 3 个顶点分别是(4,2)(5,7)( ? 3,4) , , ,则第 4 个顶点的坐标不可 能是( ) A.(12,5) B.(-2,9) C. (3,7) D. (-4,-1)
-4-

4.已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB ? a , BC ? b , AC ? c , 则 a ? b ? c 等于 ( ) A. 0 B. 3 C. 2 . D. 2 2 5.已知 a ? 3 , b ? 4 ,且向量 a , b 不共线,若向量 a ? k b 与向量 a ? k b 互相垂直, 则实数 k 的值为 6.在平行四边形 ABCD 中, AB ? a , CB ? b ,O 为 AC 与 BD 的交点,点 M 在 BD 上,

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

???? 1 ???? ? ???? ? BM ? OD ,则向量 BM 用 a , b 表示为 3

; AM 用 a , b 表示为

???? ?



7.在长江南岸渡口处,江水以 12.5km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要垂直 地渡过长江,则航向为 . 8. 三 个 力 F1 , F2 , F3 的 大 小 相 等 , 且 它 们 的 合 力 为 0 , 则 力 F2 与 F3 的 夹 角 为 . 9. 已 知 平 面 内 三 点 A 、 B 、 C 三 点 在 一 条 直 线 上 , OA ? (?2, m) , OB ? (n, 1) ,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ???? OC ? (5, ? 1) ,且 OA ? OB ,求实数 m , n 的值.

??? ??? ? ? ??? 3OA ? OB ? 11.已知点 O 、 A 、 B 不在同一条直线上,点 P 为该平面上一点,且 OP ? ,则 2
( ) A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的反向延长线上 C.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不在直线 AB 上

B 组

12.已知 D、E、F 分别是三角形 ABC 的边长的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC ? a , CA ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 1 1 1 b , AB ? c , 则 ① EF ? c ? b , ② BE ? a ? b , ③ CF ? ? a ? b , ④ 2 2 2 2 2 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A D? B E C F 0 中正确的等式的个数为 ( ) ? ?


A.1 B.2 C.3 D.4 13.已知向量 a ? (1, 5) , b ? (?3, 2) ,则向量 a 在 b 方向上的投影为

??? ? ??? ? 14.已知 OA ? a , OB ? b ,点 M 关于点 A 的对称点为 S,点 S 关于点 B 的对称点为 N,则 ???? ? 向量 MN 用 a 、 b 表示为 .
-5-

15.已知向量 a ? (m ? 2, m ? 3) , b ? (2m ? 1, m ? 2) ,若向量 a 与 b 的夹角为直角,则实 数 m 的值为

??? ? ??? ? ??? ? 16.已知 OP ? (2, 1) , OA ? (1, 7) , OB ? (5, 1) ,点 O 为坐标原点,点 C 是直线 OP 上一 ??? ??? ? ? 点,求 CA ? CB 的最小值及取得最小值时 cos ?ACB 的值.

;若向量 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 m 的取值范围为



17.如图,点 A1 、 A2 是线段 AB 的三等分点,求证: OA1 ? OA2 ? OA ? OB 为所写结论的一个特例.并证明你写的结论.
A A1

??? ?

???? ?

??? ??? ? ?

(1)

一般地,如果点 A1 , A2 ,? An?1 是 AB 的 n (n ? 3) 等分点,请写出一个结论,使(1)
A2 B

O

18.已知等边三角形 ABC 的边长为 2,⊙ A 的半径为 1, PQ 为⊙ A 的 任意一条直径, 理由;

P

A Q

??? ??? ??? ??? ? ? ? ? (Ⅰ)判断 BP ? CQ ? AP ? CB 的值是否会随点 P 的变化而变化,请说明
(Ⅱ)求 BP ? CQ 的最大值.

??? ??? ? ?

B

C

-6-

参考答案或提示:A 组 (1)D (2)A

(8) 1200

3 4 ?m ? 3 ?m ? 6 ? (9)略 (10) ? 或? 3 ?n ? 3 ?n ? 2 ?
(3)C (4)D (5) ?

(6)

-a - b 5a - b ; 6 6

(7)北偏西 300

略解或提示: 1.由单位向量的定义即得 a ? b ? 1 ,故选(D) .

2.由于 AC ? AB ? AD ,∴ AC ? AB ? AD ,即 BC ? AD ,∴线段 BC 与线段 AD 平行且 相等,∴ ABCD 为平行四边形,选(A) . 3.估算:画草图知符合条件的点有三个,这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三 点.由 于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限,则排除(B)(D) 、 ,而符合条 件的点第一象限只有一个点,且位于点(5,7)的右侧,则该点的横坐标要大于 5,∴排除 (A) ,选(C) . 4.由于 a ? b ? c ? 2c ∴ a ? b ? c ? 2 c ? 2 2 ,∴选(D) . 5.向量 a ? k b 与向量 a ? k b 互相垂直,则( a ? k b) ? ( a ? k b) ? 0 ,∴ a 2 ? k 2 b 2 ,
2 2 而 a ? a ? 9 , b ? b ? 16 ,∴ k ? ? 2 2

??? ?

??? ???? ?

???? ??? ?

????

??? ?

????

???? 1 ??? ? 1 ???? OD ,而 OD ? BD , 3 2 ???? 1 ??? 1 ???? ??? ? ? ? 1 ??? ??? ? ? -a - b ∴ BM ? BD ? ( AD ? AB) ? ( BC ? AB) ? ; 6 6 6 6 ???? ??? ???? 5a - b ? ? ? ∴ AM ? AB ? BM ? . 6 ??? ? ??? ? ???? 7.如图,渡船速度 OB ,水流速度 OA ,船实际垂直过江的速度 OD , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 依 题 意 , OA ? 12.5 , OB ? 25 , 由 于 OADB 为 平 行 四 边 形 , 则 BD ? OA , 又
6.∵ BM ? ,∴在直角三角形 OBD 中,∠ BOD = 30? , OD ? BD ∴航向为北偏西 30? . ??? ??? ???? ? ? 8.过点 O 作向量 OA 、 OB 、 OC ,使之分别与力 F1 , F2 , F3 相等,由于 F1 , F2 , F3 的合力为 0 ,则以 OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与 OA C 的长度相等,又由于力 F1 , F2 , F3 的大小相等,∴ OA ? OB ? OC ,则 三角形 OCD 和三角形 OBD 均为正三角形,∴ ?COB ? 120? ,即任意两
-7A D C E B

???? ?

3 . 4

A O B D

个力的夹角均为 120? .

? ? ? 1 ??? ??? 1 ??? CB , CD ? CA 2 2 ??? 1 ??? 1 ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? 1 ??? ? ∴ DE ? CB ? CA ? (CB ? CA) ? AB , 2 2 2 2 1 则 DE ∥ AB ,且 DE ? AB ,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半. 2 ???? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 10.由于 O、A、B 三点在一条直线上,则 AC ∥ AB ,而 AC ? OC ? OA ? (7, ? 1 ? m) , ? ? ?? ? ? ?? ??? ??? ??? ? ? ? ∴ 7(1 ? m) ? (?1 ? m)(n ? 2) ? 0 , 又 O A? O B ∴ , AB ? OB ? OA ? (n ? 2, 1 ? m) ?2n ? m ? 0 ?m ? 3 ?m ? 6 ? 联立方程组解得 ? 或? 3. ?n ? 3 ?n ? ? 2
9.解:由于 DE ? CE ? CD ,而 CE ? B组

????

??? ??? ? ?

??? ?

4 5 5 ? 11 5 5 ? 11 7 4 )?( , 2) 13 14.2 b ?2a 15. ? 或 2; (? , 3 2 2 13 3 ???? ?????? ???? ?????? ? ? ??? ??? ? ? ?4 17 16. ?8, 17. 答 案 不 唯 一 , 如 OA1 ? OAn ?1 ? OA2 ? OAn ? 2 ? ? ? OA ? OB 或 17 ???? ???? ? ?????? n ? 1 ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? OA1 ? OA2 ? ? ? OAn?1 ? (OA ? OB) 18.(Ⅰ) BP ? CQ ? AP ? CB ? 1 (Ⅱ) 3 . 2
11.B 12.C 13. 略解或提示: 11.由于 2OP ? 3OA ? OB ,∴ 2OP ? 2OA ? OA ? OB ,即 2AP ? BA ,∴ AP ? 则点 P 在线段 AB 的反向延长线上,选(B) .

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? 1 ??? BA , 2

??? 1 ??? ? ? ??? ? a a 1 1 12.∵ EF ? CB ? ? ,又 a ? b ? c ? 0 ,∴ EF ? ? ? c ? b ,即①是错误的; 2 2 2 2 2 ??? ? ???? ???? ???? ???? ??? 1 ? 1 1 由 于 B E ? B C? C E? B C ? C ? a ? b , 即 ② 是 正 确 的 ; 同 理 CF ? b ? c , 而 A 2 2 2 ??? ? ???? 1 1 1 a ? b ? c ?0 ,则 c ? ?a ? b ,∴ CF ? ? a ? b ,即③是正确的;同理 AD ? c ? a , 2 2 2 ???? ??? ??? 3 ? ? ∴ AD ? BE ? CF ? (a ? b ? c ) ? 0 ;即④是正确的.选(C) . 2 a ?b 7 ? 13.设 a 与 b 的夹角为 ? ,则向量 a 在 b 方向上的投影为 a ? cos? ? 13 . b 13 ??? 1 ??? ???? ? ? ? 14.由于 A 为 SM 中点, B 为 SN 中点,∴ OA ? (OS ? OM ) , S 2 A ??? 1 ??? ???? ? ? ??? ??? 1 ???? ???? ? ? ? OB ? (OS ? ON ) ,两式相减得 OB ? OA ? (ON ? OM ) , M B 2 2 O
-8N

∴ MN ? 2(OB ? OA) ,∴ MN ? 2 b ?2a . 也可直接根据中位线定理 MN ? 2 AB ? 2 b ?2a . 15.若 a 与 b 的夹角为直角,则 a ? b ? 0 ,即 (m ? 2)(2 ? 1)? ( ? 3)( ? 2) ,∴ m ? m m m ? 0

???? ?

??? ??? ? ?

???? ?

???? ?

??? ?

4 或 2 ; 若 向 量 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 , 则 a ?b ? 0 , 且 a 与 b 不 共 线 , 则 3 , 解 (m ? 2)(2m ? 1) ? (m ? 3)(m ? 2) ? 0 , 且 (m ? 2 )m ? 2 ) m ( ( ? ? 3 ) ? 2 ? 1 )得 0 m ( ?
4 5 ? 1 15 5 ? 11 5 或 ?m? ? m ? 2. 3 2 2 16.由于点 C 是直线 OP 上一点,设点 C (2m, m) , ??? ? ??? ? ∴ CA ? (1 ? 2m, 7 ? m) , CB ? (5 ? 2m, 1 ? m) , ??? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? CA ? CB ? 5(m ? 2)2 ? 8 , ∴ m ? 2 时 , C A? C B 最 小 值 为 ?8 ; 而 m ? 2 时 , 的 ??? ??? ? ? ??? ? ??? ? CA ? CB ?4 17 , . CA ? (? 3 , 5 ) CB ? (1, ? 1) , cos ?ACB ? ??? ??? ? ? ? 17 CA CB ? ? ? 1 ? 17. 解 : ∵ , ∴ A 1? A A 3 ??? ? ??? ? ???? ??? ???? ??? 1 ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? OB ? 2OA OA1 ? OA ? AA1 ? OA ? AB ? OA ? (OB ? OA) ? 3 3 3 ????? ??? ? ????? ??? ??? ? ? ??? ? ???? ? ???? ???? 2OB ? OA OB ? 2OA ??? ??? ? ? ? 2OB ? OA 同理 OA2 ?? ,则 OA1 ? OA2 ? ? ? OA ? OB ; 3 3 ???? 3 ?????? ???? ?????? ? ? ??? ??? ? ? 一般结论为 OA1 ? OAn ?1 ? OA2 ? OAn ? 2 ? ? ? OA ? OB ???? k ??? ? ? ???? ??? ???? ??? k ??? ? ? ? ? ? 证明:∵ AAk ? AB ,∴ OAk ? OA ? AAk ? OA ? AB , n n ?????? ??? ?????? ??? n ? k ??? ??? ??? k ??? ??? k ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 而 OAn ?k ? OA ? AAn ?k ? OA ? AB ? OA ? AB ? AB ? OB ? AB n n n ???? ?????? ??? k ??? ??? k ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ OAk ? OAn ?k ? OA ? AB ? OB ? AB ? OA ? OB n n ???? ???? ? ?????? n ? 1 ??? ??? ? ? 注:也可以将结论推广为 OA1 ? OA2 ? ? ? OAn ?1 ? (OA ? OB) 证明类似,从略. ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? 2 ???? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 18. ( Ⅰ ) 由 于 BP ? CQ ? AP ? CB ? ( AP ? AB) ? ( AQ ? AC ) ? AP ? ( AB ? AC ) , 而 ???? ??? ? A Q? ? A, P ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ??? ??? ???? ? ? ? ??? 2 ??? ???? ? ? 则 BP ? CQ ? AP ? CB ? ( AP ? AB ) ? (? AP ? AC ) ? AP ? ( AB ? AC ) ? ? AP ? AB ? AC ??? 2 ??? 2 ? ? ??? ???? ??? ???? ? ? ∵ AB ? AC ? AB AC cos ?ABC ? 2 , AP ? AP ? 1 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? 2 ??? ???? ? ? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ∴ BP ? CQ ? AP ? CB ? ? AP ? AB ? AC ? 1 ,即 BP ? CQ ? AP? CB的值不会随点 P 的变 ?
化而变化;
-9-

B



??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , BP ? CQ ? AP ? CB ? 1 , ∴ B ?P C? Q ? 1 A P∵ C B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ????? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? A ?P C? B c A o P s ? C B , ∴ ? ?A P AP CB ? 2 ( 等 号 当 且 仅 当 AP 与 AP CB ? C B ??? ? ??? ??? ? ? CB 同向时成立) BP ? CQ 的最大值为 3. ,∴
Ⅱ ) 由 于

- 10 -


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