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数列求和公式


数列通向公式问题
1、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法, 这种方法适应于已知数列类型的题目.
[来 源:学|科|网 Z|X|X|K]

例 1.等差数列 ?an ? 是递增数列,前 n 项和为 S n ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列, S5 ? a

2 5 .求数列

r />
?an ? 的通

项公式. 解:设数列 ?an ? 公差为 d (d ? 0)
2 ∵ a1 , a3 , a9 成等比数列,∴ a3 ? a1a9 ,

即 (a1 ? 2d ) 2 ? a1 (a1 ? 8d ) ? d 2 ? a1d ∵d ? 0,
2 ∵ S5 ? a5

∴ a1 ? d ????????????① ∴ 5a1 ?

5? 4 ? d ? (a1 ? 4d ) 2 ????② 2

3 3 ,d ? 5 5 3 3 3 ∴ a n ? ? (n ? 1) ? ? n 5 5 5 2、公式法
由①②得: a1 ? 若已知数列的前 n 项和 S n 与 an 的关系,求数列 ?an ? 的通项 an 可用公式 an ? ?

例 2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足 Sn ? 2an ? (?1) n , n ? 1 .求数列 ?an ? 的通项公式。 解:由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? 1 当 n ? 2 时,有 an ?S n ?S n?1 ? 2(an ? an?1 ) ? 2 ? (?1) ,
n

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1 ?Sn ? Sn ?1 ? ? ? ? ? ? ? n ? 2

?an ? 2an?1 ? 2 ? (?1)n?1,
an?1 ? 2an?2 ? 2 ? (?1)
n ?2

[来源:学 科网 ZX XK]

, ??, a2 ? 2a1 ? 2.

?an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 ? (?1) ? 2n?2 ? (?1)2 ??? 2 ? (?1)n?1
? 2 n ?1 ? (?1) n [(?2) n ?1 ? (?2) n ? 2 ? ? ? (?2)] ? 2 n ?1 ? (?1) n 2[1 ? (?2) n ?1 ] 3

2 ? [2 n ? 2 ? (?1) n ?1 ]. 3
经验证 a1 ? 1 也满足上式,所以 a n ?

2 n?2 [2 ? (?1) n ?1 ] 3

3、由递推式求数列通项法
类型 1 (累加法)递推公式为 an?1 ? an ? f (n) 例 3. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:由条件知: a n ?1 ? a n ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n
2

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )

1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 1 1 1 3 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? n 2 2 n 2 n
类型 2 (累乘法) (1)递推公式为 an?1 ? f (n)an 例 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:由条件知

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘之,即 ? an n ?1

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n
又? a1 ?

2 2 ,? a n ? 3 3n

类型 3(构造法) 递推公式为 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 例 5.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an . 解:设 an?1 ? t ? 3(an ? t ) ,则 an?1 ? 3an ? 2t ? t ? 1 ,

an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ? ?an ? 1? 是 以 (a1 ? 1) 为 首 项 , 以 3 为 公 比 的 等 比 数 列 ?

an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? an ? 2 ? 3n?1 ?1
【点评】求递推式形如 an?1 ? pan ? q (p、q 为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新 数列 a n?1 ? 必做题: , 1.(2011 年高考福建卷理科 16) (本小题满分 13 分) 已知等比数列{an}的公比 q=3, 3 项和 S3= 前

q q ? p(a n ? ) 来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求, p ?1 1? p

13 3

1 (I)求数列{an}的通项公式 【答案】 an ? ? 3n ?1 ? 3n ? 2. 3

2, (2010 福建理 11)在等比数列 ?a n ? 中,若公比 q=4 ,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公 式 an ? . 【答案】 4 n-1
2

3. (2012 年高考(辽宁理) 已知等比数列 ?an ? 为递增数列,且 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列的通项 ) 公式 an ? ______________. 【答案】 2
n

选做题: (2008 宁夏,海南理科 17) 已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。

(1) 求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值。
【答案】(1) an ? a1 ? (n ? 1)d ? ?2n ? 5

(2)

n ? 2 时, Sn 取到最大值 4 .

数列求和问题
1、公式法求和例 1.已知数列{an}是首项 a1 ? 4 ,公比 q ? 1 的等比数列, s n 是其前 n 项和,且 【解析】 (1)由题意得 2a5 ? 4a1 ? 2a3 ∵ ?an ? 是等比数列且 a1 ? 4 ,公比 q ? 1 , ∴ 2a1q4 ? 4a1 ? 2a1q2 ,∴ q4 ? q2 ? 2 ? 0 , 解得 q2 ? ?2 (舍去)或

4a1 , a5 , ?2a3 成等差数列.(1)求公比 q 的值;

(2)求 Tn ? a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 的值.

q2 ? 1 ,∴ q =-1.

(2) ? a2 , a4 , a6 ,?a2n n 是首项为 a2 ? 4 ? ? ?1? ? ?4 ,公比为 q2 ? 1 的等比数列,

?Tn ? na2 ? ?4n
成等比数列.

变式训练:(2011·浙江文)已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的首项 a1 为 a ? a ? R? ,且

1 1 1 , , , a1 a2 a4

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对 n ? N? ,试比较 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 与 1 的大小. 2 3 n
a2 a2 a2 a2
a1

答案: (1) an ? na.

(2)当 a>0 时, Tn ?

1 1 ;当 a<0 时, Tn ? a1 a1 ? ? 1? ? 2?

2、裂项抵消法 (把数列的通项拆成两项之差求和,正负抵消,剩下首尾若干项.) 例 2.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 s n 满足 sn ? an ? sn ?
2

(1)求 s n 的表达式;
2

(2)设 bn ?

sn ,求 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

【 解 析 】 (1) ∵ sn ? an ? sn ?

? ?

1? 1? ? 2 ? , an ? sn ? sn?1 ? n ? 2? , ∴ sn ? ? sn ? sn ?1 ? ? sn ? ? , 即 2? 2? ? 1 1 ? ? 2, sn sn ?1

2sn?1sn ? sn?1 ? sn

①由题意 sn?1 ? sn ? 0 ,①式两边同除以 sn?1 ? sn ,得

1 1 ∴数列 ? 1 ? 是首项为 ? ? 1 ,公差为 2 的等差数列. ? ?
? sn ?

s1

a1



1 1 ? 1 ? 2 ? n ? 1? ? 2n ? 1 ,∴ sn ? 2n ? 1 sn
sn 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? n 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ??1 ? 3 ? ? ? 3 ? 5 ? ? ?? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? ? ? 2 ?1 ? 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 2 ?? ? ? ? ? ? ? ??
)
? an ?

(2) bn ?

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

变式训练:等差数列{ an }的通项公式 an ? n(n ? 1) ,若 ? 1 ? 的前 n 项和为 S n ? 则 S n 等于( ? ?
A. n

n ?1

B.

n 2n ? 1

C.

n 2n ? 1

D.以上都不对

【答案】A

3、分组求和法例 3. .数列 1 1 ? 3 1 ? 5 1 ? 7 1 ? ?, (2n ? 1) ? 1 ? ?的前 n 项和 S n 的值等于(

2

4

8

16

2n

)

2 A. n ? 1 ? 1

2n

2 B. 2n ? n ? 1 ? 1

2n

C. n ? 1 ?
2

1 n ?1 2

2 D. n ? n ? 1 ? 1

2n

变式训练:求和 (2 ? 3 ? 5?1 ) ? (4 ? 3 ? 5?2 ) ? ? ? (2n ? 3 ? 5?n ) 3 ?n 答案: n( n ? 1) ? (1 ? 5 ) 4
4、错位相减法例 4. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n , a1 ? 1 , an?1 ? 2sn ? n ? N? ? . (1)求数列 ?an ? 的通项 an ; (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn .

【解析】(1)∵ an?1 ? 2sn ,∴ sn?1 ? sn ? 2sn ,∴ 又∵ s1 ? a1 ? 1

sn?1 ? 3. sn

∴数列 ?sn ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, sn ? 3n?1 ? n ? N? ? .
?1, n=1 ? ∴ an =? n-2 ? ?2·3 , n≥2

当 n ? 2 时, an ? 2sn?1 ? 2 ? 3n?2 ,

(2) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? nan ,当 n=1 时, T1 =1; 当 n≥2 时, Tn ? 1 ? 4 ? 30 ? 6 ? 31 ? ?2 n ?3n?2 ,① 3Tn ? 3 ? 4 ? 31 ? 6 ? 32 ? ?? 2n3n?1 ,② ① - ② 得 : ?2Tn ? 2? 2 3?
1

?

2

3 ?? ?

n? 2

3 ? ? n2 3 = 2 + 2 ?
n? 1

3 ?1 ? 3n?2 ? 1? 3

- 2n ? 3

n ?1

=-1+

?1 ? 2n? ? 3n?1 ∴ Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n?1 ? n ? 2 ? 2 ? 2?

又∵ T1 也满足上式,故 Tn ?

1 ? 1? ? ? n ? ? 3n?1 2 ? 2?
.

? n ? N? ?

变式训练:已知数列{ an }的前 n 项和为 S n 且 an ? n ? 2n ? 则 S n ? 【答案】 S n ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 . 五、 【布置作业】
2

选做题: 1.(2012 年高考(浙江) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 s n ,且 s n = 2n ? n ,n∈N﹡,数列 ?bn ? ) 满足 an ? 4log2 bn ? 3 , ? n ? N? ? (1)求 an , bn 答案: (1) an ? 4n ? 1, bn ? 2n?1 (2)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn . (2) Tn ? (4n ? 5)2 ? 5 , ? n ? N? ? .
n

? n ? N? ? .

2.(2012 年高考(湖北) 已知等差数列 )

?an ? 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 .

(1)求等差数列 ?an ? 的通项公式;

(2)若 a2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 an 的前 n 项和.

? ?

答案:(1) an ? ?3n ? 5 ,或 an ? 3n ? 7 .

n ? 1, ?4, ? (2) Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ?


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