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江苏省沛县歌风中学(如皋办学)2014届高三第二次调研数学试题


歌风中学(如皋办学) 2014 届高三年级第一学期第二次调研测试 数 学 试 题
一、填空题 (请将答案填写在答题纸相应的位置) 1、已知集合 M ? ?a, 0? , N ? x 2 x ? 3 x ? 0, x ? Z ,如果 M ? N ? ? ,则 a ?
2

?

?


r />2.设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(a)>f(b),则 f(﹣a)_________f(﹣b) (用“>” 或“<”填空). 3. log 2 sin

?
12

? log 2 cos

?
12

的值为

。 .

4.已知 ? ? (?

?
2

,0) , cos? ?

3 ? ,则 tan(? ? ) ? 5 4

5.已知函数 y=sin( ? x ? ? ) ? >0,0< ? ? ( 则 ? 的值为___ 。

?

2

)的部分图象如图所示,

6.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x),当 x ?(0, 2)时,f (x) =x+2,则 f(7)=____ 7.已知 0 ? y ? x ? π ,且 tan x tan y ? 2 , sin x sin y ? 1 ,则 x ? y ? . 3 8.曲线 9.设 g ( x ) ? ? 在点(1,f(1) )处的切线方程为 .

? e x , x ? 0. ?lnx, x ? 0.

则 g ( g ( )) ? __________
2

1 2

10.由命题“存在 x∈R,使 x +2x+m≤0”是假命题,求得 m 的取值范围是(a,+∞) ,则实数 a 的 值是_________. 11.函数 f(x)=2sin( 12.在集合{x|x= __________. 13.已知函数 f(x)= ,当 t∈[0,1]时,f(f(t))∈[0,1],则实数 t 的

),x∈[﹣π,0]的单调递减区间为__________. }中任取一个元素,所取元素恰好满足方程 cosx= 的概率是

取值范围是__________. 14.已知函数 f(x)=||x﹣1|﹣1|,若关于 x 的方程 f(x)=m(m∈R)恰有四个互不相等的实数根 x1, x2,x3,x4,则 x1x2x3x4 的取值范围是__________.

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 ... 字说明、证明过程或演算步骤.)
15. (本小题满分 14 分)
2 2 2 在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 (b ? c ? a ) tan A ?

3bc.

(1)求角 A;

(2)若 a=2,求△ABC 面积 S 的最大值.

16. (本小题满分 14 分) 已知集合 A ? {x | x ? (3a ? 3) x ? 2(3a ? 1) ? 0, x ? R}, 集合
2

B ? {x |

x?a ? 0, x ? R}. x ? (a 2 ? 1)

(1)求 4 ? B 时,求实数 a 的取值范围; (2)求使 B ? A 的实数 a 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分) 如图,某小区有一边长为 2(单位:百米)的正方形地块 OABC,其中 OAE 是一个游泳池, 计划在地块 OABC 内修一条与池边 AE 相切的直路 l (宽度不计),切点为 M,并把该地块分 为两部分.现以点 O 为坐标原点,以线段 OC 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,若池边 AE 满足函数 y ? ? x ? 2(0 ? x ?
2

2 4 2 的图象,且点 M 到边 OA 距离为 t ( ? t ? ) . 3 3

2 时,求直路 l 所在的直线方程; 3 (2)当 t 为何值时,地块 OABC 在直路 l 不含泳池那侧的面积
(1)当 t ? 最大,最大值是多少?

取到

18. (本小题满分 16 分)

2a , a?R . x (1)若函数 f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为 3,求实数 a 的值.
已知函数 f ( x) ? ln x ?

19. (本小题满分16分) 设 f ( x) 是偶函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? (1)当 x ? 0 时,求 f ( x) 的解析式;

0? x?3 ? x(3 ? x) . x?3 ?( x ? 3)(a ? x)

(2)设函数 f ( x) 在区间 ? ?5,5? 上的最大值为 g ( a ) ,试求 g ( a ) 的表达式;
[来

20.(本小题满分 16 分) 已知 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) , g ( x) ? 2 ln x ? bx ,且直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g (x) 相切. x

(1)若对 [1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [e,3]( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数)内的任意 k 个实数 x1 , x 2 ,?, x k 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16 g ( xk ) 成立; (3)求证:

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) (n ? N * ) . ?1

2014 届高三数学第二次考试答案 一、填空题
1.1 5. π 3 2. 6.—3 < 3. -2 7. π 3
ln 1 2

4. ? 8.

1 7

9. g ( g ( 1 )) ? g (ln 1 ) ? e 2 2 10.1 11.

?

1 2

12.

13. (﹣3,0) 14. 二、解答题: 15.解:(1)由已知得

b 2 ? c 2 ? a 2 sin A 3 3 ? ? ? sin A 2bc cos A 2 2

……4 分 ……7 分

又在锐角△ABC 中,所以 A=60° (2)因为 a=2,A=60°所以 b 2 ? c 2 ? bc ? 4, S ? 而 b 2 ? c 2 ? 2bc ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? 4 又S ?

1 3 bc sin A ? bc 2 4

……8 分 ……10 分

1 3 3 ……14 分 bc sin A ? bc ? ?4 ? 3 2 4 4 所以△ABC 面积 S 的最大值等于 3 4?a 16. 解(1)若 4 ? B, 则 ? 0 ? a ? ? 3或 3 ? a ? 4. ……………4 分 3 ? a2
∴当 4 ? B时, 实数a 的取值范围为 [? 3, 3 ] ? [4,??). ……………6 分 (2)∵ A ? {x | ( x ? 2)( x ? 3a ?1) ? 0}, B ? { x | a ? x ? a ?1}. ……………7 分
2

①当 a ?

1 时, A ? (3a ? 1,2). 3
?a ? 3a ? 1 1 , 此时 ? 1 ? a ? ? ; ……………10 分 2 2 ?a ? 1 ? 2

要使 B ? A, 必须? ②当 a ?

1 时, A ? ?, 使B ? A的a不存在; ……………11 分 3 1 ③当 a ? 时, A ? (2,3a ? 1) 3
要使 B ? A, 必须?

?a ? 2

, 此时2 ? a ? 3. ……………13 分 a 2 ? 1 ? 3a ? 1 ?

综上可知,使 B ? A 的实数 a 的取值范围是[2,3] ? ?? 1,? ? ……………14 分 2

? ?

1? ?

17. (1) M ( ,
2

2 14 ), l : 12 x ? 9 y ? 22 ? 0 3 9
2

(2) M (t ,?t ? 2) ,过切点 M 的切线 l : y ? (?t ? 2) ? ?2t ( x ? t ) 即 y ? ?2tx ? t ? 2 ,令 y ? 2 得 x ?
2

t t ,故切线 l 与 AB 交于点 ( ,2) ; 2 2

t 1 t 1 t 1 17 11 2 4 ? ,又 x ? ? 在 [ , ] 递减,所以 x ? ? ? [ , ] 2 t 2 t 2 t 12 6 3 3 t 1 故切线 l 与 OC 交于点 ( ? ,0) 。 2 t ?地块 OABC 在切线 l 右上部分区域为直角梯形, 1 t 1 t 1 1 面积 S ? (2 ? ? ? 2 ? ) ? 2 ? 4 ? t ? ? 4 ? (t ? ) ? 2 ,等号 t ? 1 , S max ? 2 。 2 2 t 2 t t
令 y ? 0 ,得 x ? 18. (1)∵ f ( x) ? ln x ?

2a 1 2a ,∴ f ?( x) ? ? 2 . x x x

∵ f ( x) 在 [2, ??) 上是增函数,

1 2a x ? 2 ≥0 在 [2, ??) 上恒成立,即 a ≤ 在 [2, ??) 上恒成立. 2 x x x 令 g ( x) ? ,则 a ≤ ? g ( x) ?min , x ? [2, ??) . 2 x ∵ g ( x) ? 在 [2, ??) 上是增函数,∴ ? g ( x) ?min ? g (2) ? 1 .∴ a ≤1.所以实数 a 的取值范围为 2
∴ f ?( x) ?

(??,1] .
(2)由(1)得 f ?( x) ?

x ? 2a , x ? [1, e] . x2

①若 2a ? 1 ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上是增函数. 所以 ? f ? x ? ? ? f (1) ? 2a ? 3 ,解得 a ? ? ? min

3 (舍去). 2

②若 1≤ 2a ≤ e ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 2a .当 1 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, 2a) 上 是减函数,当 2a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (2a, e) 上是增函数. 所以 ? f ? x ? ? ? f ? 2a ? ? ln(2a ) ? 1 ? 3 ,解得 a ? ? ? min

e2 (舍去). 2

③若 2a ? e ,则 x ? 2a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x) 在 [1, e] 上是减函数. 所以 ? f ? x ? ? ? f ? e ? ? 1 ? ? ? min

2a ? 3 ,所以 a ? e . e

19. 解: (1)当 ?3 ? x ? 0 时, f ( x) ? f (? x) ? (? x)(3 ? x) ? ? x( x ? 3) 同理,当 x ? ?3 时, f ( x) ? f (? x) ? (? x ? 3)(a ? x) ? ?( x ? 3)(a ? x) , 所以,当 x ? 0 时, f ( x) 的解析式为 f ( x) ? ?

?

? x( x ? 3),

?3 ? x ? 0, x ? ?3

??( x ? 3)(a ? x),

(2)因为 f ( x) 是偶函数,所以它在区间 ? ?5,5? 上的最大值即为它在区间 ? 0, 5? 上的最大值, ①当 a ? 3 时, f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? , ?? ? 上单调递减,所以 g (a ) ? f ( ) ? . 2 4 ? 2? ?2 ?

? 3?

?3

?

3

9

,5? 上单调递减, ②当 3 ? a ? 7 时, f ( x) 在 ? 0, ? 与 ?3, 上单调递增,在 ? ,3? 与 ? 2 ? ? 2? ? ? ?2 ? ? 2 ?
所以此时只需比较 f ( ) ?

? 3?

? 3? a?

?3

?

?3 ? a

?

3 2

9 3? a (a ? 3)2 与 f( 的大小. )? 4 2 4 9 3 9 3? a (a ? 3)2 ,所以 g (a ) ? f ( ) ? ≥ f( )? 4 2 4 2 4

(A)当 3 ? a ? 6 时, f ( ) ?

3 2

(B)当 6 ? a ? 7 时, f ( ) ?

3 2

9 3? a (a ? 3)2 3? a (a ? 3) 2 < f( ,所以 g (a ) ? f ( )? )? 4 2 4 2 4
? 3? ?3 ?

③ 当 a ? 7 时 , f ( x) 在 ? 0, ? 与 ? 3, 5? 上 单 调 递 增 , 在 ? ,3? 上 单 调 递 减 , 且 ? 2? ?2 ?

3 9 f ( ) ? < f (5) ? 2(a ? 5) ,所以 g (a) ? f (5) ? 2(a ? 5) 2 4
? 9 a?6 ? 4, ? 2 ? (a ? 3) , 6?a?7 综上所述, g (a ) ? ? ? 4 a?7 ? 2(a ? 5), ? ?
20.解:(1)设点 ( x 0 , y 0 ) 为直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g (x) 的切点,则有

2 ln x0 ? bx0 ? 2 x0 ? 2 . (*) 2 2 ? g ?( x) ? ? b ,? ? b ? 2 . (**) x0 x 由(*)、(**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . a 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得 ? x ? 2 ln x , x ? x ? 1 ,?要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x 2 ? 2 x ln x 恒成立. 1 2 设 h( x) ? x ? 2 x ln x , h?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 , x 2 ? h??( x) ? 2 ? ,?当 x ? 1时, h??( x) ? 0 ,则 h?(x) 是增函数, x

? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h(x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1 , a ? 1.

因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . (2)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

1 , x

? f ?( x) ? 1 ?

1 8 ? 0 ,? f (x) 在 [e,3] 上是增函数, f (x) 在 [e,3] 上的最大值为 f (3) ? . 2 3 x

要对 [e,3] 内的任意 k 个实数 x1 , x 2 ,?, x k 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16 g ( xk ) 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

?当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值, xk ? e 时不等式右边取得最小值.
? (k ? 1) ? 8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 . 3

(3)证明:当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,

1 1 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 ,得 ln (x ? ) . 令 x ? ? ( ? ), 2 x 2k ? 1 2k ? 1 2 2 k ? 1 2k ? 1 4k 化简得 ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ? , 4k 2 ? 1
即 ln x ?

ln(2n ? 1) ? ? [ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1

n

n

4i . 4i ? 1
2

附加题部分
1、若点 A(2,2)在矩阵 M ? ? 2),求矩阵 M 的逆矩阵

?cos ? ?sin ?

? sin ? ? 对应变换的作用下得到的点为 B(-2, cos ? ? ?

?? ? 2.已知圆的极坐标方程为: ? 2 ? 4 2 ? cos ? ? ? ? ? 6 ? 0 . 4? ?
⑴将极坐标方程化为普通方程; ⑵若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

3.(本小题满分 10 分) 如图(1) ,等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上,DE⊥AB 于 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2). ) (Ⅰ)求证:PB⊥DE; (Ⅱ)若 PE⊥BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°,求 PE 长.

4.已知集合 A ? ?a1 , a 2 , a3 ,? ? ?, a n ?,其中 ai ? R?1 ? i ? n, n ? 2? , l ? A? 表示

ai ? a j ?1 ? i ? j ? n ? 的所有不同值的个数.
(1)已知集合 P ? ?2,4,6,8?, Q ? ?2,4,8,16? ,分别求 l ?P ? , l ?Q? ; (2)求 l ? A? 的最小值.

附加题参考答案
? 2 ? ? ?2? ? 2cos ? ? 2sin ? ? ? ?2? 1.由题意知, M ? ? ? ? ? ,即 ? ??? ? , ?2? ? 2 ? ? 2sin ? ? 2cos ? ? ? 2 ? ?cos ? ? sin ? ? ?1, ?cos ? ? 0, ?0 ? 1? 所以 ? 解得 ? 所以 M ? ? ? .………………5 分 ?sin ? ? cos ? ? 1, ?sin ? ? 1. ?1 0 ? 1? ?1 0? ?0 ?1 由 M ?1 M ? ? ? ,解得 M ? ? ?1 0 ? . …………………………………10 分 ?0 1 ? ? ?

另解:矩阵 M 的行列式 | M |?

?0 1 ? ? 1 ? 0 ,所以 M ?1 ? ? ?. ?1 0 ? ?1 0? 0 1
? x ? 2 ? 2 cos ? , ? ⑵圆的参数方程为 ? ? y ? 2 ? 2 sin ? , ?

2.⑴ x2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 6 ? 0 ;

?? ? 所以 x ? y ? 4 ? 2sin ? ? ? ? ,那么 x+y 最大值为 6,最小值为 2. 4? ? 3. (Ⅰ)∵DE⊥AB,∴DE⊥BE,DE⊥PE, ∵BE∩PE=E,∴DE⊥平面 PEB, 又∵PB?平面 PEB,∴BP⊥DE; (Ⅱ)∵PE⊥BE,PE⊥DE,DE⊥BE, ∴分别以 DE、BE、PE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图) , 设 PE=a,则 B(0,4﹣a,0) ,D(a,0,0) ,C(2,2﹣a,0) ,

P(0,0,a) ,…(7 分) 可得 设面 PBC 的法向量 , , ,



令 y=1,可得 x=1,z=

因此 ∵

是面 PBC 的一个法向量, ,PD 与平面 PBC 所成角为 30°,



,即



解之得:a= ,或 a=4(舍) ,因此可得 PE 的长为 .

4. 解:(1)由 2+4=6,2+6=8,2+8=10,4+6=10,4+8=12,6+8=14, 得 l(P)=5 由 2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24, 得 l(Q)=6 (3)不妨设 a1<a2<a3<…<an,可得 a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<a3+an<…<an-1+an, 故 ai+aj (1≤i<j≤n)中至少有 2n-3 个不同的数,即 l(A)≥2n-3. 事实上,设 a1,a2,a3,…,an 成等差数列,考虑 ai+aj (1≤i<j≤n),根据等差数列的性质,当 i+ j≤n 时, ai+aj=a1+ai+j-1;当 i+j>n 时, ai+aj=ai+j-n+an; 因此每个和 ai+aj(1≤i<j≤n)等于 a1+ak(2≤k≤n)中的一个,或者等于 al+an(2≤l≤n-1)中的一 个.故对这样的集合 A,l(A)=2n-3,所以 l(A)的最小值为 2n-3.


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