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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件:专题1 第3讲 分类讨论思想


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第三讲 分类讨论思想

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1.分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,需要 把研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出结论, 最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上,分类讨论是

化整为零,各个击破,再积零为整”的解题策略.
2.分类讨论的常见类型 有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分 类讨论的原因大致可归纳为如下几种: (1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身是分类的,如绝对

值、直线斜率、指数函数、对数函数等.
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(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的数学定理、 公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等比 数列的前n项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算要求引起的分类讨论:如除法运算中除数不为零,

偶次方根被开方数为非负,对数真数与底数的要求,指数运算中
底数的要求,不等式两边同乘以一个正数、负数,三角函数的定 义域等. (4)由图形的不确定性引起的分类讨论:有的图形类型、位置需要 分类,如角的终边所在的象限,点、线、面的位置关系等.
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(5)由参数的变化引起的分类讨论:某些含有参数的问题,如含参 数的方程、不等式,由于参数的取值不同会导致所得结果不同, 或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法. (6)由实际意义引起的讨论:此类问题常常出现在应用题中.

3.分类讨论解题的步骤
(1)确定分类讨论的对象:即对哪个变量或参数进行分类讨论. (2)对所讨论的对象进行合理的分类. (3)逐类讨论:即对各类问题详细讨论,逐步解决. (4)归纳总结:将各类情况总结归纳.
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角度一

由概念、法则、公式引起的分类讨论

[例 1]

设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn>0(n=

1,2,?). (1)求 q 的取值范围; 3 (2)设 bn=an+2-2an+1,记{bn}的前 n 项和为 Tn,试比较 Sn 与 Tn 的大小.

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[思维流程]

解: (1)因为{an}是等比数列, Sn>0, 可得 a1=S1>0, q≠0. 当 q=1 时,Sn=na1>0; a1?1-qn? 1- qn 当 q≠1 时,Sn= >0,即 >0(n=1,2,?), 1-q 1-q 上式等价于不等式组:
?1-q<0, ? ? n ? 1 - q <0 ?

(n=1,2, ? ),



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?1-q>0, ? ? n ? ?1-q >0

(n=1,2,?),②

解①式得 q>1;解②,由于 n 可为奇数可为偶数,得- 1<q<1. 综上,q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 2 ? ? 2 (2)由 bn=an+2-2an+1, 得 bn=an?q -2q?, Tn=?q -2q? ?Sn. ? ? ? ? ? ? ? 3 1? ? 2 ? ? 于是 Tn-Sn=Sn?q -2q-1?=Sn?q+2? ?(q-2). ? ? ? ? 又因为 Sn>0 且-1<q<0 或 q>0. 1 ①当-1<q<-2或 q>2 时,Tn-Sn>0,即 Tn>Sn;
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1 ②当-2<q<2 且 q≠0 时,Tn-Sn<0,即 Tn<Sn; 1 ③当 q=-2或 q=2 时,Tn-Sn=0,即 Tn=Sn.

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四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题 第一步:确定需分类的目标与对象.即确定需要分类的目

标,一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标.
第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理 对分类对象进行区分. 第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目 标”分别进行处理.

第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,
并作进一步处理.
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1.设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2, 则曲线 C 的 离心率等于( 1 3 A.2或2 1 C.2或 2 ) 2 B.3或 2 2 3 D.3或2

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解析:选 A 不妨设|PF1|=4t,|F1F2|=3t,|PF2|=2t, 其中 t≠0, 若该曲线为椭圆, 则有|PF1|+|PF2|=6t=2a, |F1F2| c 2c 3t 1 =3t=2c,e=a=2a=6t=2; 若该曲线为双曲线,则有 |PF1|- |PF2|= 2t= 2a, |F1F2| c 2c 3t 3 =3t=2c,e=a=2a=2t=2.所以选 A

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角度二 由参数变化引起的分类讨论

[例 2] 值.

已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R), 求函数 f(x)的极

[思维流程]

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a 解: 函数 f(x)的定义域为(0, + ∞ ), 因为 f′(x)=1-x= x-a x (x>0), 当 a≤0 时, f′(x)>0, 函数 f(x)为(0, +∞)上的增函数, 所以函数 f(x)无极值. 当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a.因为当 x∈(0,a) 时,f′(x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以 f(x)在 x =a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上:当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大 值.
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两类与参数有关的分类讨论问题

(1)由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同,所以要
对某些问题中所求的变量进行讨论; (2)有的问题中虽然不需要对变量讨论,但却要对参数讨论.在 求解时要注意讨论的对象,同时应理顺讨论的目的.

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ax 2.已知函数 g(x)= (a∈R),f(x)=ln(x+1)+g(x). x+1 (1)若函数 g(x)过点(1,1), 求函数 f(x)的图象在 x=0 处的 切线方程; (2)判断函数 f(x)的单调性.
a 解:(1)因为函数 g(x)过点(1,1),所以 1= ,解得 a 1+1 2x 1 2 = 2, 所以 f(x)=ln(x+1)+ , 所以 f′(x)= + x+1 x+1 ?x+1?2 x+ 3 = , 所以 f′(0)=3, 所以所求的切线的斜率为 3.又 f(0) ?x+1?2 =0,所以切点为(0,0).故所求的切线方程为 y=3x.
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ax (2)因为 f(x)=ln(x+1)+ (x>-1),所以 f′(x)= x+1 a?x+1?-ax x+1+a 1 + = . x+1 ?x+1?2 ?x+1?2 ①当 a≥0 时,因为 x>-1,所以 f′(x)>0. ?f′?x?<0, ? ② 当 a<0 时 , 由 ? 得 - 1<x< - 1 - a ; 由 ? ?x>-1,
?f′?x?>0, ? ? ? ?x>-1,

得 x>-1-a.

综上,当 a≥0 时,函数 f(x)在(-1,+∞)上单调递增; 当 a<0 时,函数 f(x)在(-1,-1-a]上单调递减,在[- 1-a,+∞)上单调递增.
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角度三 根据图形位置或形状分类讨论
? x≥ 0, ? ? ?y≥0, 在约束条件? ?y+x≤s, ? ?y+2x≤4 ?

[例 3]

(2014· 金华模拟)

下,

当 3≤s≤5 时,z=3x+2y 的最大值的变化范围是( A.[6,15] C.[6,8] B.[7,15] D.[7,8]

)

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[思维流程]

[解析]

?x+y=s, ? 由? ? ?y+2x=4

?x=4-s, ? ?? ? ?y=2s-4,

取点 A(2,0), B(4

-s,2s-4),C(0,s),C′(0,4). (1)当 3≤s<4 时, 可行域是四边形 OABC, 如图(1)所示. 此时,7≤z<8.

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图(1)

图(2)

(2)当 4≤s≤5 时,此时可行域是△OAC′,如图(2)所 示.zmax=8. 综上,z=3x+2y 最大值的变化范围是[7,8]. [答案] D
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几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论
(1)二次函数对称轴的变化;(2)函数问题中区间的变化;(3)函 数图像形状的变化;(4)直线由斜率引起的位置变化;(5)圆锥 曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化;(6) 立体几何中点、线、面的位置变化等.

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? ?x≥0, ? ? 满足的不等式组? ?y≥2x, ? ? ?kx-y+1≥0

3.已知变量 x,y

表示

的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数 k=( ) 1 1 1 A . -2 B.2 C. 0 D.-2或 0

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解析:选 D
?x≥0, ? ? y≥2x, 不等式组? ? ?kx-y+1≥0 ?

表示的可行域如

?x≥0, ? ? y≥2x, 图(阴影部分)所示, 由图可知, 若不等式组? ? ?kx-y+1≥0 ?



示的平面区域是直角三角形,只有直线 y=kx+1 与直线 x =0 或 y=2x 垂直时平面区域才是直角三角形.

1 结合图形可知斜率 k 的值为 0 或-2.
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1.中学数学教材中与分类讨论有关的知识点 (1)绝对值的定义; (2)一元二次方程根的判别式与根的情况; (3)二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向; k (4)反比例函数 y=x(x≠0)的反比例系数 k,正比例函数 y =kx 的比例系数 k,一次函数 y=kx+b 的斜率 k 与图像位 置及函数单调性的关系; (5)幂函数 y=xα 的幂指数 α 的正、 负与定义域、 单调性、 奇偶性的关系;
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(6)指数函数 y=ax 及其反函数 y=loga x 中底数 a>1 及 0<a<1 对函数单调性的影响; (7)等比数列前 n 项和公式中 q=1 与 q≠1 的区别; (8) 不等式性质中两边同乘 ( 除 ) 以正数或负数时对不等 号方向的影响; (9)直线与圆锥曲线位置关系的讨论; (10)运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否存在. 2.利用分类讨论思想应注意以下问题 (1)分类讨论要标准统一,层次分明,分类要做到“不重 不漏”.
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(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别,再确 定每级讨论的对象与标准,每级讨论中所分类别应做到与前 面所述不重不漏,最后将讨论结果归类合并.其中级别与级 别之间有严格的先后顺序、类别和类别之间没有先后;最后 整合时要注意是取交集、并集,还是既不取交集也不取并集 只是分条列出.

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