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2016高考数学(新课标全国卷Ⅱ·理科)二轮复习:高考热点追踪(五)

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专题五 解析几何 高考热点追踪(五) 专题五 解析几何 与圆锥曲线交汇的典题例析 交融性试题是高考数学试题中“抢眼”的一种题型,它多姿多 彩的格调、清新优美的风采,构成了高考试题中一道亮丽的 风景.圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点,成为联 系多项内容的媒介. 栏目 导引 专题五 解析几何 一、圆锥曲线与数列的交汇 已知抛物线 x2= 3y, 过原点作斜率为 1 的直线交抛物线于 1 第一象限内一点 P1,又过点 P1 作斜率为 的直线交抛物线于点 3 1 P2,再过 P2 作斜率为 的直线交抛物线于点 P3,?,如此继续, 9 1 一般地,过点 Pn 作斜率为 n的直线交抛物线于点 Pn+ 1,设点 3 Pn(xn, yn).令 an= x2n+ 1- x2n- 1,求证:数列 {an}是等比数列. 栏目 导引 专题五 解析几何 [证明 ] 因为 Pn(xn, yn)、 Pn+ 1(xn+1, yn+ 1) 在抛物线上,故 x2 n= 3yn,①x2 n+ 1= 3yn+ 1.② 1 又因为直线 PnPn+ 1 的斜率为 n, 3 yn+ 1- yn 1 即 = n,①、②代入可得: xn+1-xn 3 2 2 1 xn+ 1- xn 1 1 ? = ?x +xn= n-1, 3 xn+1-xn 3n n+1 3 所以 an=x2n+ 1- x2n- 1= (x2n+1+x2n)-(x2n+x2n- 1) = 3 2n- 1- 2n- 2=- 2n- 1, 1 1 2 3 3 an+1 1 1 故 = ,所以数列 {an}是以 为公比的等比数列. 9 an 9 栏目 导引 专题五 解析几何 [名师点评] 本题考查了解析几何与递推数列,求解关键是由斜 率推出 xn+1 和 xn 的关系,问题即可解决. 栏目 导引 专题五 解析几何 二、圆锥曲线与新定义的信息迁移题“交汇” x2 2 如图,已知双曲线 C1: - y =1,曲线 C2:|y|= |x|+1.P 2 是平面内一点,若存在过点 P 的直线与 C1,C2 都有公共点,则 称 P 为“C1-C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1-C2 型点”时,要使用一条过 该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证: |k|>1,进而证明原点不 是“ C1-C2 型点”. 栏目 导引 专题五 解析几何 [解 ] (1)C1 的左焦点为 F(- 3, 0),过 F 的直线 x=- 3与 C1 交于?- 3,± ? 2? ,与 C2 交于 (- 3,± ( 3+ 1)),故 C1 的左 2 ? 焦点为“ C1- C2 型点”,且直线可以为 x=- 3. (2)证明:联立 y= kx 与 C2,得 ? ?y= kx, ? ? (|k|-1)|x|=1, ? ?|y|= |x|+ 1 若方程组有解,则需 |k|>1; 栏目 导引 专题五 解析几何 ? ?y= kx, 2 2 联立直线 y=kx 与 C1,得? 2 ? (1 - 2 k )x = 2,若方程组 2 ? ?x -2y = 2 1 有解,则必须 k < , 2 2 故直线 y= kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点. 又因为 y=kx 表示除 y 轴外,过原点的所有直线,且 y 轴只与 C2 相交, 所以原点不是“ C1- C2 型点”. 栏目 导

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