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龙岗区2013-2014学年高一数学第一学期期末试题及答案


龙岗区 2013-2014 学年第一学期期末学业评价试题 高一数学
本试卷共 4 页,20 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

注意事项:
1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损;考生务必用规定的笔将自己的学 校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定的位置上。同时,将监考教师发放的条 形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区。

请保持条形码整洁、不污损。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上。不按以上要求作答 的答案无效。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.请保持答题卡的整洁,不折叠、不破损。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
2 2 2 1 参考公式:样本方差: s2 ? ? x1 ? x ? x2 ? x ? ??? ? xn ? x ? ? ? ? n?

?

? ?

?

?

?

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
1.以下现象是随机现象的是 A.标准大气压下,水加热到 100℃,必会沸腾 B.走到十字路口,遇到红灯 C.长和宽分别为 a、b 的矩形,其面积为 a ? b D.实系数一次方程必有一实根

1 2.已知集合 A ? {1, 2a }, B ? {a, b}, 若 A ? B ? { } ,则 A ? B 为 2

1 A. { ,1, b} 2
3.下列函数是偶函数的是 A. y ? x

1 B. {?1, } 2
1

1 C. {1, } 2

1 D. {?1, ,1} 2

B. y ? x 2
高一数学试题

C. y ? x2 , x ?[0,1]
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D. y ? 2 x 2 ? 3

?1? 4.设 a ? 3 3 , b ? ? ? ? 3?

? 2

, c ? log3 2 ,则 B. b ? c ? a D. a ? c ? b

开始 S=0,T=0,n=0 T ≤S? 否

A. a ? b ? c C. c ? a ? b

5.执行右边的程序框图,则输出的结果为 A.20 B.30 C.35 D.40


S=S+5 n=n+2 输出 T T=T+n 结束

6.已知两个变量 x,y 具有线性相关关系,并测得(x,y)的四组值分别是(2,3)、(5,7)、 (8,9)、(11,13),则求得的线性回归方程所确定的直线必定经过点 A.(2,3) B.(8,9) C.(11,13) D.(6.5,8)

7.方程 log 1 x ? 2 ? x2 的解的个数为
2

A.0 C.2

B .1 D.3

8.给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的 x 值 与输出的 y 值相等,则这样的 x 值的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 9.某大学中文系共有本科生 5000 人,其中一、二、三、四年级的学生比为 5:4:3:1,要 用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为 260 的样本,则应抽二年级学 生的人数为 A.20 B.60 C.80
频率/组距

D.100

10.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根 据抽样检测后的 产品净重(单位:克)数据绘 0.150 制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是 0.125 [96,106],已知样本中产品净重小于 100 克的 0.100 个数是 36, 则样本中净重大于或等于 98 克并且 0.075 小于 104 克的产品的个数是 A.90 C.60 B.75 D.45
高一数学试题 0.050

96 98 100 102 104 106 克

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二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
11.函数 y ?
x ?1 的定义域是 x?2

. .

?1 ? x 2, x ≤1, ? ? 12.已知函数 f ( x) ? ? 则 f ? 1 ? 的值为 ? 2 ? ? f (2) ? ? x ? x ? 2,x ? 1,

13.将某班的 60 名学生编号为:01,02, ? ,60,采用系统抽样的方法抽取一个容量为 5 的样本,且随机抽得的一个号码为 04,则剩下的四个号码依次是 14.以边长为 2 的正方形的四个顶点为圆心各作一个半径为 1 的四分之一圆 周,如右图,现向正方体内任投一质点,则质点落入图中阴影部分的概 率为 . .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 12 分) (1)求 A ? CR B ; (2)若 B ? C ? ? ,求实数 m 的取值范围.

已知集合 A ? {x ? 4 ? x ? 2} , B ? x x ? ?5或x ? 1 , C ? {x m ? 1 ? x ? m ? 1} .

?

?

?

?

16. (本题满分 12 分)

? 8 ? 3 ?1? (1)计算: 3 (?3) ? 0.25 ? ? ? ? ? ? ; ? 27 ? ?9? (2)解关于 x 的方程: log 5 ( x ? 1) ? log 1 ( x ? 3) ? 1 .
3

1 2

?

1

0

5

17. (本题满分 14 分) 甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩 中随机抽取 8 次,记录如下:
甲 乙 82 92 81 95 79 80 78 75 95 83 88 80 93 90 84 85

(1)用茎叶图表示这两组数据; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从稳定性的角度考虑,你认为选派哪位学生参加 合适?请说明理由?

高一数学试题

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18. (本题满分 14 分) 用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中 3 个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色. (1)列举出所有的涂色的方法; (2)求 3 个矩形颜色都相同的概率; (3)求 3 个矩形颜色都不同的概率.

19. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ? x2 ? mx ? m. (1)若函数 f ( x) 在 ? ?1, 0? 上单调递减,求实数 m 的取值范围; (2)是否存在实数 m ,使得 f ( x) 在定义域 ? 2,3? 上的值域恰好是 ? 2,3? ?若存在,求出实 数 m 的值;若不存在,说明理由.

20. (本题满分 14 分) 已知指数函数 y ? g ? x ? 满足 g(3) ? 8 ,定义域为 R 的函数 f ? x ? ? (1)确定 y ? g ? x ? 的解析式; (2)求 m , n 的值; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 f ? 2t ? 3t 2 ? ? f ? t 2 ? k ? ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围.

n ? g ? x? 是奇函数. m ? 2g ? x ?

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龙岗区 2013—2014 学年第一学期期末学业评价试题 高一数学答案
一、选择题: ( 每小题 5 分,共 40 分) B D D A B; D C B C A 二、填空题: ( 每小题 5 分,共 30 分) 11.

15 ?x x ? ?1且x ? 2?; 12. 16

; 13.16,28,40,52;

14.

4-? . 4

三、解答题: 15.解: (1) CR B ? x ? 5 ? x ? 1
R

? ? ∴ A ? ?C B? ? ?x ? 4 ? x ? 1?;
?m ? 1 ? ?5 ?m ? ?4 ,解得 ? , ?m ? 1 ? 1 ?m ? 0

?????3 分 ?????6 分 ?????10 分 ?????12 分

(2)若 B ? C ? ? ,则需 ? 故实数 m 的取值范围为 [?4,0]

1 ?2? 16.解: (1) 原式 ? ?3 ? ?? ? 4 ?3?
(2)原方程化为

? 1? 3?? ? ? ? 3?

? 1 ? ?3 ?

1 3 ? ? 1 ? ?1 ; 2 2

??6 分

log 5 ( x ? 1) ? log 5 ( x ? 3) ? log 5 5 ,
???9 分 ???10 分

从而 ( x ? 1)( x ? 3) ? 5 , 解得 x ? ?2 或 x ? 4 , 经检验, x ? ?2 不合题意, 故方程的解为 x ? 4 17. 解: (1) 甲 89 1248 35 7 8 9 乙 5 0035 025

???12 分

????5 分

(2)派甲参赛比较合适,理由如下:
? 1 x甲 ? (70 ? 2 ? 80 ? 4 ? 90 ? 2 ? 8 ? 9 ? 1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 3 ? 5) ? 85 , 8

??7 分

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? 1 x乙 ? (70 ?1 ? 80 ? 4 ? 90 ? 3 ? 5 ? 0 ? 0 ? 3 ? 5 ? 0 ? 2 ? 5) ? 85 , 8

??9 分

1 2 s甲 ? [(78 ? 85)2 ? (79 ? 85)2 ? (81 ? 85)2 ? (82 ? 85)2 ? (84 ? 85) 2 ? (88 ? 85) 2 8 ?(93 ? 85)2 ? (95 ? 85)2 ] ? 35.5,


? ? 11

1 2 s乙 ? [(75 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (83 ? 85) 2 ? (85 ? 85) 2 ? (90 ? 85) 2 8 ? 13 2 2 ?(92 ? 85) ? (95 ? 85) ] ? 41.
2 2 分? x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 ? ?

∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. 分

????14

18.解: (1)所有可能的基本事件共有 27 个,如图所示:

红 红黄 蓝 红 红 黄黄 蓝 红 蓝黄 蓝

红 红 红黄 红黄 蓝 蓝 红 红 黄 黄 黄 蓝 黄黄 蓝 蓝 红 红 黄 蓝 蓝黄 蓝 蓝

????6 分

(2)记“3 个矩形都涂同一颜色”为事件 A,由图知,事件 A 的基本事件有 1×3=3 个,故 P(A)=


3 1 ? . 27 9

????10

(3)记“3 个矩形颜色都不同”为事件 B,由图可知,事件 B 的基本事件有 2×3=6 个,故 P(B)= 分

6 2 ? . 27 9

????14

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19.解:(1)函数 f ( x) 图像的对称轴是 x ? 应满足

m ,要使 f ( x) 在[-1,0]上是单调递减的, 2

m ? ?1 ,解得 m ≤-2. ?????5 分 2 m (2)当 ? 2 ,即 m ≤4 时, f ( x) 在[2,3]上是减少的. 2 若存在实数 m ,使 f ( x) 在[2,3]上的值域是[2,3], ? f (2) ? 3, ??4 ? 2m ? m ? 3, 则有 ? 即? 解得 m 无解. ?????8 分 ? f (3) ? 2, ??9 ? 3m ? m ? 2, m 当 ≥3,即 m ≥6 时, f ( x) 在 [2,3]上是增加的, 2 ? f ?2? ? 2 ??4 ? 2m ? m ? 2, 则有 ? 即? 解得 m =6. ?????11 分 ? f ?3? ? 3 ??9 ? 3m ? m ? 3, m m 当 2< <3, 即 4< m <6 时, f ( x) 在[2,3]上先增加, 再减少, 所以 f ( x) 在 x ? 2 2

处取最大值.

m ?m? ?m? 则有 f ? ? ? ? ? ? +m ? ? m ? 3 , 2 ?2? ?2? 解得 m =-2 或 6 (舍去).
综上,存在实数 m =6,使 f ( x) 在[2,3]上的值域恰好是[2,3]. ?????14 分

2

20.解: (1) 设g ( x) ? a

x

(a ? 0且a ? 1) ,

则 a ? 8,
3

x ∴ a ? 2 , ∴ g ( x) ? 2 .

?????3 分

n ? 2x (2)由(1)知 f ( x) ? m ? 2 x ?1
因为 f ( x) 是奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 ∴n ?1 ∴ f ( x) ?

n ?1 ?0, 2?m
?????5 分

1? 2x ,又 f (?1) ? ? f (1) , m ? 2 x ?1

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1 2 ? 1 ? 2 ,∴ m ? 2 ∴ m ?1 m ? 4 1?
(3)由(2)知 f ( x) ?

?????7 分

1 ? 2x 1 1 ?? ? x , x ?1 2?2 2 2 ?1

易知 f ( x ) 在 R 上为减函数.
2 2 又因 f ( x ) 是奇函数,从而不等式 f 2t ? 3t ? f t ? k ? 0 2 2 2 等价于 f 2t ? 3t ? ? f t ? k = f k ? t ,

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

因 f ( x ) 为减函数,由上式得
2

2t ? 3t 2 ? k ? t 2 ,

即对一切 t ? R 有 2t ? 2t ? k ? 0 , 从而判别式 ? ? ? ?2 ? ? 4 ? 2 ? k ? 0 ? k ?
2

1 . 2

????14 分

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