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浅谈分类讨论思想在中学数学教学中的应用

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龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 浅谈分类讨论思想在中学数学教学中的应用 作者:杨建平 来源:《学周刊· B》2013 年第 07 期 摘要:数学分类讨论思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不 同种类的一种数学思想。初中数学教材和学习辅导资料中常有这样的问题,中考数学试题中也 经常会出现与分类有关的问题。在初中数学教学中使用分类讨论的思想探究和解决问题,有助 于学生更好地理解和解决问题,并能帮助学生把握解题的思路和技巧,做到举一反三,从而有 利于培养学生的学习兴趣,使他们从数学学习中获得乐趣。 关键词:数学思想;分类讨论;解题策略;数学策略 一、问题的提出 有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理 性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。而这部分内容对学生来讲又是一个难点,很 容易被学生忽略,所以教师有必要对这部分内容进行深入的研究。解分类讨论问题的关键在 于:将整体问题化为若干个部分来解决,增加题设的条件,从而将问题解答等进行到底,这正 是我们要分类讨论的根本原因。 二、分析问题 根据研究对象的不同,将解决的问题进行分类,也就是说根据题目,将可能出现的结果一 一列举出来,再按照顺序进行解答,关键是在列举时要做到准确、全面,尽可能将所有的方面 全部列举出来,做到不漏不重。 三、解答分类讨论问题的基本方法和步骤 第一步:确定讨论对象,即题目所考察的知识点学生必须清楚;第二步:对讨论的对象合 理分类,即把所有可能的结果一个不漏地列举出来;第三步:按类讨论问题的结论,即讨论前 一步中列举出来的各种;第四步:对各类的结论进行归纳总结,总结出解这一类题目的解题方 法,以后碰到这类题目时我们就会得心应手。 四、中学数学教材中分类讨论的知识点 数学解题的准确性是建立在学生对基础知识的掌握上的。学生应掌握的知识点有:反比例 函数 y=k/x 的反比例系数 k,正比例函数的比例系数 k,一次函数的斜率 k 与图像位置及函数 单调性关系;绝对值概念的定义;根式的性质;一元二次方程根的判别式与根的情况;二次函 数二次项系数正负与抛物线开口方向等。在这里就不具体将它们一一赘述了。 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 五、分类讨论思想在中学数学中的应用 例 1:解不等式(a+1)x>a? -1 如果不加区分 a+1>0 或 a+1a-1,那就不对了,因为根据不等式性质,给不等式两边同乘以 不为零的式时,不等式要改变方向既可以 a+1>0,或 a+1=0,也可以 a+10 有不同的答案。 当 a+1>0 即 a>-1 时,则 x>(a? -1)/(a+1)= a -1; 当 a+1=0 即 a=-1 时,原不等式为 0· x>0,故不等式无解; 当 a+1 这里将 a 划分成三类:a>-1,a=-1,a 例 2:已知在△ ABC 中,∠A=30° ,当∠B 是多少度时,△ ABC 是等腰三角形? 分析:本题没有明确哪个角是顶角,故要分∠A、∠B、∠C 分别为顶角三种情况讨论。 即:∠A 为顶角时,∠B=75° ;∠C 为顶角时,∠B=30° ;∠B 为顶角时,∠B=120° 例 3:函数 y=ax? -ax+3x+1 与 x 轴只有一个交点,求 a 的值与交点坐标。 分析:本题中函数是什么函数没有确定,故要根据初中学生已有的函数知识,根据 a 的不 同取值,分别考虑此函数是一次函数或者二次函数两种情况。 解:当 a=0 时,为一次函数 y=3x+1,交点

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