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2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷(理科)

时间:2012-01-30


2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学试题卷(理科)
考生须知: 1.本试卷分试题卷和答题纸,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,在答题纸密封区内填写学校、班级、姓名和准考证号. 3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效. 4.考试结束,只需上交答题纸. 参考公式: 柱体体积公式: V = Sh ,其中 S 为底面

面积, h 为高 锥体体积公式: V =

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高 3

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、 选择题 (本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上) 1. 设集合 A = x x ≤ 2, x ∈R , B = A. R C. (?∞, ?1) ∪ (2, +∞) 2.
2

{

}

{ y | y =?x , ?1≤x ≤2 } ,则?
2

R

( A ∩ B ) 等于

B. ( ?∞, ?2) ∪ (0, +∞) D. ? C. 2 D. ? 2

若复数 (a + i ) 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是 A. 1 B. ? 1 “ a < ?2 ”是“函数 f ( x ) = ax + 3 在区间 [ ?1, 2] 上存在零点”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
开始

3.

s=0,n=1 n≤2011? 否
输出s 结束

4.

阅读右侧程序框图,输出的结果 s 的值为 A. 0 C. 3 B.

3 2 3 2

是 nπ s = s + sin 3 n = n +1

D. ?

5.

在 △ABC 中, ∠A = A.

π

π
4



3π 4

3 3π B. 4

, BC = 3 , AB = C.

6 ,则 ∠C =

π
4

D.

π
6

6.

设 a、b 是两条不同的直线, α、β 是两个不同的平面,则下列四个命题: ①若 a⊥b,a⊥α,b ? α,则 b∥α; ②若 a∥α,a⊥β,则 α⊥β; ③若 a⊥β,α⊥β,则 a∥α 或 a ? α; ④若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β. 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

7.

一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个直径为 1 的圆, 那么这个几何体的全面积为 A.

8.

9.

3 π B. 2π C. 3π D. 4π 2 函数 y = cos(ω x + ? )(ω > 0, 0 < ? < π ) 为奇函数, 该函数的 y A 部分图像如图所示, A 、 B 分别为最高点与最低点,且 | AB |= 2 2 ,则该函数图象的一条对称轴为 x O 2 π A. x = B. x = B π 2 C. x = 2 D. x = 1 在 △ ABC 中 , P 是 BC 边 中 点 , 角 A、B、C 的 对 边 分 别 是 a、b、c , 若
c AC + aPA + bPB = 0 ,则△ ABC 的形状为
A.直角三角形 C.等边三角形 B.钝角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.

x ?x 10. 类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数: S ( x) = a ? a ,

C ( x) = a x + a ? x ,其中 a > 0 ,且 a ≠ 1 ,下面正确的运算公式是
① S ( x + y ) = S ( x)C ( y ) + C ( x) S ( y ) ; ③2 S ( x + y ) = S ( x)C ( y ) + C ( x) S ( y ) ;
A.①② B.③④

② S ( x ? y ) = S ( x)C ( y ) ? C ( x) S ( y ) ; ④2 S ( x ? y ) = S ( x)C ( y ) ? C ( x) S ( y ) .
C.①④ D.②③

11. 设 e1 、 e2 分别为具有公共焦点 F1 、 F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 是两曲线的一个公

共点,且满足 PF1 + PF2 = F1 F2 ,则

e1e2
2 e12 + e2

的值为

2 B.2 C. 2 D.1 2 12. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的增函数,且对于任意的 x 都有 f (1 ? x ) + f (1 + x ) = 0 恒成立.
A.

? f (m 2 ? 6m + 23) + f (n 2 ? 8n) < 0 2 2 如果实数 m、n 满足不等式组 ? ,那么 m + n 的取 ?m > 3
值范围是
A.(3, 7) B.(9, 25) C.(13, 49) D. (9, 49)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 非选择题,
本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须作答, 第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题纸中的横线上). 13. 若等差数列{an}的前 5 项和 S5 =25,且 a2 = 3 ,则 a4 = .
14. 已知直线 l1 与圆 x + y + 2 y = 0 相切,且与直线 l2 : 3 x + 4 y ? 6 = 0 平行,则直线 l1 的
2 2

方程是
2

.

15. 设 f ( x ) = ? 1

? x , x ∈ [0,1] e ? f ( x)dx 的值为 ( e 为自然对数的底数),则 0 , x ∈ (1, e] ?x ?



.

16. 已知函数 f ( x) = ?

? ex , x ≥ 0 ,则关于 x 的方程 f [ f ( x )] + k = 0 给出下列四个命题: ? ?2 x , x < 0

①存在实数 k ,使得方程恰有 1 个实根; ②存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不相等的实根; ③存在实数 k ,使得方程恰有 3 个不相等的实根; ④存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不相等的实根. 其中正确命题的序号是 (把所有满足要求的命题序号都填上). 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于 A , B 两点. ⑴如果 A 、 B 两点的纵坐标分别为

⑵在⑴的条件下,求 cos( β ? α ) 的值;

4 12 、 ,求 cos α 和 sin β ; B 5 13

y

A
x

⑶已知点 C (?1 , 3) ,求函数 f (α ) = OA ? OC 的值域. 18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 = 1 , an +1 = 2an + 1( n ∈ N*) . ⑴求数列 {an } 的通项公式;
b ?1

O

⑵若数列 {bn } 满足 4 1 ? 4

2 b2 ?1

? 43b3 ?1 ?? ? 4 nbn ?1 = ( an + 1) ,求数列 {bn } 的通项公式.
n

19. (本小题满分 12 分) 如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P ? ABCD 中 AD ∥ BC,∠ABC = 90° PD ⊥ 平面 ABCD , ,

P E A B D C

AD = 1 , AB = 3 , BC = 4 . ⑴求证: BD ⊥ PC ; ⑵求直线 AB 与平面 PDC 所成的角; ⑶设点 E 在棱 PC 上, PE = λ PC , 若 DE ∥平面 PAB ,求 λ 的值.
20. (本小题满分 12 分)

已 知 点 A( ?1, 0) , B (1, 0) , 动 点 M 的 轨 迹 曲 线 C 满 足 ∠AMB = 2θ ,

AM ? BM cos 2 θ = 3 ,过点 B 的直线交曲线 C 于 P 、 Q 两点.
(1)求 AM + BM 的值,并写出曲线 C 的方程; (2)求△ APQ 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = e x ? ax ? 1( a > 0, e为自然对数的底数) . ⑴求函数 f ( x ) 的最小值; ⑵若 f ( x ) ≥0 对任意的 x ∈ R 恒成立,求实数 a 的值;

⑶在⑵的条件下,证明: ( ) + ( ) + ??? + (
n n

1 n

2 n

n ?1 n n n e ) +( ) < (其中n ∈ N*) . n n e ?1

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. A 如图,⊙O 内切△ABC 的边于 D、E、F,AB=AC,连接 AD 交⊙O 于点 H,直线 HF 交 BC 的延长线于点 G. H ⑴证明:圆心 O 在直线 AD 上; E F O ⑵证明:点 C 是线段 GD 的中点. 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4: 坐标系与参数方程选讲.
G C D B

在极坐标系中, O 为极点, 半径为 2 的圆 C 的圆心的极坐标为 (2, ⑴求圆 C 的极坐标方程;

π
3

).

⑵ P 是圆 C 上一动点,点 Q 满足 3OP = OQ ,以极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴 建立直角坐标系,求点 Q 的轨迹的直角坐标方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 已知函数 f ( x ) =| x ? 1| + | 2 x + 2 | . ⑴解不等式 f ( x ) > 5 ; ⑵若不等式 f ( x ) < a (a ∈ R ) 的解集为空集,求 a 的取值范围.

2012 年长春市高中毕业班第一次调研测试 年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学(理科) 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.B 2.B 3.A 4. B 5. C 6. D 7.A 8.D 9.C 10.B 11.A 12.C 简答与提示: 1. 2. B 化简 A 为 [ ?2, 2] ,化简 B 为 [ ?4, 0] ,故 ?R ( A ∩ B ) = ( ?∞, ?2) ∪ (0, +∞) . B

(a + i ) 2 = a 2 ? 1 + 2ai 在 复平面内对 应的点在 y 轴 负半轴上 ,则 a 2 ? 1 = 0, 且 a < 0 ,∴ a = ?1.
f ( x) = ax + 3 在 区 间 [?1, 2] 上 存 在 零 点 , 则 f (?1) f (2) < 0 , 即

3.

A

3 3 (3 ? a )(2a + 3) < 0 ,∴ a > 3 或 a < ? ,∴“ a < ?2 ”是“ a > 3 或 a < ? ”的充分 2 2
不必要条件,∴“ a < ?2 ”是“函数 f ( x ) = ax + 3 在区间 [ ?1, 2] 上存在零点”的充分 不必要条件. 4. B

nπ 的 函 数 值 构 成 周 期 为 6 的 数 列 , 且 3 f (1) + f (2) + f (3) + f (4) + f (5) + f (6) = 0 ,则 f (1) + (2) + ? + f (2011) = f ( x) = sin f (2011) = f (1) = sin

π
3

=

3 . 2

5. 6. 7. 8.

C 由正弦定理 sin C =

2 π , BC = 3 ,AB = 6 , A > C , C 为锐角, C = . 又 ∴ 则 故 2 4 1 1 2 1 3 ,高为 1 的圆柱,全面积为 2π ( ) + 2π × × 1 = π . 2 2 2 2

D 由空间线面位置关系容易判断①②③④均正确. A 几何体为底面半径为 D

由 y = cos(ω x + ? ) 为奇函数,得 ? = kπ +

π

结合图象知

y = ? sin
9.

π
2

T π π π π = 1 , ∴ ω = , ∴ y = cos( x + ) = ? sin x , 当 x = 1 时 , 4 2 2 2 2

2

(k ∈ Z) ,又 0 < ? < π ,∴ ? =

π
2

.

= ?1 ,∴ x = 1 是其一条对称轴.

1 1 a ( AB + AC ) + b( AB ? AC ) = 0 , 2 2 a+b a?b a+b a ?b ∴ (c ? ) AC ? AB = 0 ,∴ (c ? ) AC = AB , 2 2 2 2 ?a ?b ? 2 =0 ? 又 AB 、 AC 不共线,∴ ? ,∴ a = b = c. ?c ? a + b = 0 ? ? 2
C 由题意知 c AC ? 设 | PF1 |= m,| PF2 |= n,| F1 F2 |= 2c ,不妨设 m > n .由 PF1 + PF2 = F1 F2 知,∠

10. B 经验证,只有③④正确. 11. A

2c 2c , e2 = , m+n m?n 1 1 2(m 2 + n 2 ) e1e2 2 = 2 ,∴ = . ∴ 2+ 2 = 2 2 2 e1 e2 4c 2 e1 + e2

F1 PF2 = 90° ,则 m 2 + n 2 = 4c 2 ,∴ e1 =

12. C 由 f (1 ? x ) + f (1 + x ) = 0 得 f (1 ? x ) = ? f (1 + x ) , 又 f ( m 2 ? 6m + 23) + f ( n 2 ? 8n) < 0 ,∴ f ( m 2 ? 6m + 23) < ? f [1 + ( n 2 ? 8n ? 1)] , ∴ f ( m ? 6m + 23) < f [1 ? ( n ? 8n ? 1)] = f (2 ? n + 8n) .
2 2 2

∵ f ( x ) 是 R 上的增函数,∴ m ? 6m + 23 < 2 ? n + 8n ,
2 2

∴ (m ? 3) 2 + ( n ? 4) 2 < 4 又 m > 3 ,结合图象知 m + n 为半圆
2 2

y
A O

B

(m ? 3) 2 + (n ? 4)2 = 4(m > 3) 内的点到原点的距离,故

13 < m + n < 7 ,∴ 13 < m + n < 49.
2 2 2 2

x

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 7 14. 3 x + 4 y ? 1 = 0 或 3 x + 4 y + 9 = 0 15.

4 3

16. ①②

简答与提示: 13. 7 依题意 a3 = 5 , a2 = 3 ,则 d = 2 ,∴ a4 = 7. 设直线 l1 : 3 x + 4 y + b = 0 ,与圆 x 2 + ( y + 1) 2 = 1 14. 3 x + 4 y ? 1 = 0 或 3 x + 4 y + 9 = 0 相切,故

|b?4| = 1, ∴ b = 9 或 b = ?1, ∴ 所 求 直 线 方 程 为 3 x + 4 y ? 1 = 0 或 5 3x + 4 y + 9 = 0 . 4 3

15.

∫0

e

f ( x)dx = ∫ x dx + ∫
2

1

e

0

1

1 x3 1 4 e dx = + ln x 1 = + 1 = . x 3 0 3 3
y

1

16. ①② 由 f ( x ) 的图象知 f ( x ) > 0 ,则 f [ f ( x )] = ?

?e e x , x ≥ 0 ? ?e ?2 x , x < 0 ?

,

-k
1

根据 f [ f ( x )] 的图象(如图)可知,①②正确.

e

三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一中任选 1 小题,共 70 分) x O 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义,两角和、差的正余弦公式的运用,以及 三角函数的值域的有关知识,同时还考查了向量的数量积的运算等知识. 【试题解析】解: 1)根据三角函数的定义,得 sin α = ( 又 α 是锐角,所以 cos α = (2)由(1)知 sin β =

4 12 , sin β = . 5 13
( 4 分)

3 . 5

12 . 13 5 . 13

因为 β 是钝角,所以 cos β = ?

5 3 12 4 33 )× + × = . 13 5 13 5 65 (3)由题意可知, OA = (cos α, α ) , OC = ( ?1,3) . sin
所以 cos( β ? α ) = cos β cos α + sin β sin α = ( ? 所以 f (α ) = OA ? OC =

( 8 分)

3 sin α ? cos α = 2 sin(α ? ) , 6 π π π π 1 π 3 因为 0 < α < ,所以 ? < α ? < , ? < sin( a ? ) < 2 6 6 3 2 6 2
( 12 分)

π

从而 ?1 < f (α ) < 3 ,因此函数 f (α ) = OA ? OC 的值域为 ( ?1, 3) . 18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式. 【试题解析】解: (1)∵ a n +1 = 2a n + 1 ,∴ a n +1 + 1 = 2( a n + 1) , 而 a1 = 1 ,故数列 {a n + 1} 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,

即an + 1 = 2 n ,因此 a n = 2 n ? 1 .
(2)∵ 4
b1 ?1 n
2

( 5 分)

? 4 2b2 ?1 ? 4 3b3 ?1 ? 4 nbn ?1 = (a n + 1) ,∴ 4 b1 + 2b2 +3b3 +?+ nbn ? n = 2 n ,( 7 分)
2

∴ 2(b1 + 2b2 + 3b3 + ? + nbn ) ? 2n = n , 即 2(b1 + 2b2 + 3b3 + ? + nbn ) = n + 2n ,①
2

当 n≥2 时, 2[b1 + 2b2 + ? + ( n ? 1)bn ?1 ] = ( n ? 1) + 2( n ? 1) = n ? 1 ,②
2 2

①-②得 2nbn = 2n + 1( n ≥ 2 ) , bn = 1 + 可验证 n = 1 也满足此式,因此 bn = 1 +

1 ( n ≥ 2) . 2n

(10 分) (12 分)

1 . 2n

19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题将直四棱锥的底面设计为梯形,考查平面几何的基础知识.同时题 目指出一条侧棱与底面垂直,搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计,考查 了空间平行、垂直,以及线面成角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算 求解能力. 【试题解析】解: 方法一】 【方法一】 (1)证明:由题意知 D C = 2

3, 则

BC =DB + DC , BD ⊥ DC, ∴ ∵ PD ⊥ 面ABCD, BD ⊥ PD,而PD ∩ CD = D, ∴ ∴ BD ⊥ 面PDC. ∵ PC在面PDC内, BD ⊥ PC. ∴
2 2 2

(4 分)
P E A D F G C

(2)∵ DE ∥ AB ,又 PD ⊥ 平面 ABCD . ∴平面 PDC ⊥ 平面 ABCD . 过 D 作 DF // AB 交 BC 于 F 过点 F 作 FG ⊥ CD 交 CD 于 G ,则 ∠ FDG 为直线 AB 与平面 PDC 所成的角.
B 在 Rt△ DFC 中,∠ DFC = 90° , DF = 3, CF = 3 ,

∴ tan ∠FDG = 3 ,∴∠ FDG = 60° . 即直线 AB 与平面 PDC 所成角为 60° . (3)连结 EF ,∵ DF ∥ AB ,∴ DF ∥平面 PAB .

(8 分)
P E A D B F C

又∵ DE ∥平面 PAB , ∴平面 DEF ∥平面 PAB ,∴ EF ∥ AB . 又∵ AD = 1, BC = 4, BF = 1, ∴

PE BF 1 1 1 = = , ∴ PE = PC ,即 λ = . PC BC 4 4 4

(12 分) 方法二】 【方法二】如图,在平面 ABCD 内过 D 作直线 DF//AB,交 BC 于 F,分别以 DA、 DF、DP 所在的直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系. (1)设 PD = a ,则 BD = ( ?1, ? 3, 0), PC = ( ?3, 3, ? a ) , ∵ BD ? PC = 3 ? 3 = 0 ,∴ BD ⊥ PC . (2)由(1)知 BD ⊥ 面PDC, DB 就是平面PDC的法向量 . , , 由条件知 A(1,0,0) B(1, 3 ,0)
z P E G C

(4 分)

AB = (0, 3, 0) , DB = (1, 3, 0) . A 设 AB与面PDC所成角大小为θ , x D | DB ? AB | 3 3 B = = . yF 则 sin θ = 2 | DB | ? | AB | 2 3 ∵ 0° < θ < 90°, ∴θ = 60°, 即直线 AB与平面PDC 所成角 为 60° .
,记 P(0,0,a) ,则 (3)由(2)知 C(-3, 3 ,0)

(8 分)

(1,0,-a) PC = ? 3 , 3 , a) , ( ? , AB = 0 , 3 ,) DP = (0 , 0 , a ) , PA = ( 0 ,
而 PE = λ PC ,所以 PE

= ? 3λ , 3λ , λ) ( a ,
? AB ? n = 0 ? ? PA ? n = 0 ?
? 3y = 0 ?y = 0 ? ,即 ? . ? x ? az = 0 ? x = az ?

DE = DP + PE = DP + λ PC = (0, 0, a ) + (?3λ , 3λ , aλ ) = ? 3λ , 3λ , a ? aλ) ? ( .

(,,) 设 n = x y z 为平面 PAB 的法向量,则 ?

,即 ?

( , 取z = 1,得x = a, 进而得 n = a , 0 , 1)
由 DE // 平面PAB ,得 DE ? n = 0, -3aλ + a -aλ = 0, ∴

1 而a ≠ 0, λ = . ∴ 4
分)

(12

20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题考查椭圆的定义及标准方程,直线和椭圆的综合应用,考查学生的 逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解:(1)设 M ( x, y ) ,在△ MAB 中, AB = 2 , ∠AMB = 2θ ,根据余弦 定理得 AM
2

+ BM ? 2 AM ? BM cos 2θ = 4 .
2

2

(2 分)

即 ( AM + BM ) ? 2 AM ? BM (1 + cos 2θ ) = 4 .

( AM + BM ) 2 ? 4 AM ? BM cos 2 θ = 4 .
而 AM ? BM cos θ = 3 ,所以 ( AM + BM ) ? 4 × 3 = 4 .
2 2

所以 AM + BM = 4 .

(4 分)

又 AM + BM = 4 > 2 = AB , 因此点 M 的轨迹是以 A 、 B 为焦点的椭圆(点 M 在 x 轴上也符合题意) , a = 2 , c = 1. 所以曲线 C 的方程为

x2 y 2 + = 1. 4 3

(6 分)

(2)设直线 PQ 的方程为 x = my + 1 .

? x = my + 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 ,消去 x 并整理得 (3m + 4) y + 6my ? 9 = 0 . ① + =1 ? 3 ?4 1 显然方程①的 ? > 0 ,设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,则 S ?APQ = × 2 × y1 ? y2 = y1 ? y2 2 6m 9 由韦达定理得 y1 + y2 = ? ,y1 y2 = ? . (9 分) 2 2 3m + 4 3m + 4
所以 ( y1 ? y2 ) = ( y1 + y2 ) ? 4 y1 y2 = 48 ×
2 2

3m2 + 3 . (3m 2 + 4) 2 48 2 2 令 t = 3m + 3 ,则 t ≥ 3 , ( y1 ? y2 ) = . 1 t+ +2 t 1 由于函数 ? (t ) = t + 在 [3, + ∞ ) 上是增函数. t 1 10 2 所以 t + ≥ ,当 t = 3m + 3 = 3 ,即 m = 0 时取等号. t 3 48 2 所以 ( y1 ? y2 ) ≤ = 9 ,即 y1 ? y2 的最大值为 3. 10 +2 3 所以△ APQ 面积的最大值为 3, 此时直线 PQ 的方程为 x = 1 .

(12 分)

21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识,具体涉及到导数的运算,用导数来研 究函数的单调性、极值等,以及函数与不等式知识的综合应用,考查学生解决问题的综合能 力. 【试题解析】解: (1)由题意 a > 0, f ′( x ) = e x ? a , 由 f ′( x ) = e x ? a = 0 得 x = ln a . 当 x ∈ ( ?∞, ln a ) 时, f ′( x ) < 0 ;当 x ∈ (ln a, +∞) 时, f ′( x ) > 0 .

∴ ( x ) 在 (?∞, ln a ) 单调递减,在 (ln a, +∞) 单调递增. f 即 f ( x ) 在 x = ln a 处取得极小值,且为最小值, 其最小值为 f (ln a ) = e ln a ? a ln a ? 1 = a ? a ln a ? 1. (2) f ( x )≥0 对任意的 x ∈ R 恒成立,即在 x ∈ R 上, f ( x ) min ≥0 . 由(1) ,设 g (a ) = a ? a ln a ? 1. ,所以 g (a )≥0 . 由 g ′( a ) = 1 ? ln a ? 1 = ? ln a = 0 得 a = 1 . ∴ ( a ) 在 a = 1 处取得极大值 g (1) = 0 . g 因此 g (a )≥0 的解为 a = 1 ,∴ = 1 . a (8 分) ∴ ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, +∞) 上单调递减, g (4 分)

(3)由(2)知,因为 a = 1 ,所以对任意实数 x 均有 e ? x ? 1 ≥ 0 ,即 1 + x ≤ e .
x x

k ? k k 令x=? (n ∈ N*, k = 0,1, 2,3, …,n ? 1) ,则 0 < 1 ? ≤ e n . n n k ? k n n ?k ∴ ? ) ≤ (e n ) = e . (1 n 1 2 n n ?1 n n n ∴ ) + ( ) +…+ ( ( n ) + ( ) ≤ e? ( n ?1) + e ? ( n ? 2) + … + e?2 + e ?1 + 1 n n n n ?n 1? e 1 e = < = . ?1 ?1 1? e 1? e e ?1

(12 分)

22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到三角形内心的定义,以及弦 切角定理等知识. 【试题解析】证明⑴:∵ AB = AC , AF = AE , ∴ CF = BE . 又∵ CF = CD, BD = BE , ∴ CD = BD. 又∵△ ABC 是等腰三角形, AB = AC ,∴ AD 是角∠ CAB 的平分线. ∴内切圆圆心 O 在直线 AD 上. A ⑵连接 DF,由⑴知,DH 是⊙O 的直径, (5 分)

∴∠DFH = 90 ,∴∠FDH + ∠FHD = 90 .
又 ∵ ∠G + ∠FHD = 90 , ∴∠FDH = ∠G. ∵⊙O与AC相切于点F ,

H F O G C D B E

(10 分) 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 【命题意图】 本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识, 具体涉及到极坐标方程的 求解,以及轨迹方程等内容. 【试题解析】解: (1)设 M ( ρ , θ ) 是圆 C 上任一点,过 C 作 CH ⊥ OM 于 H 点,则 在 Rt △ COH 中, OH = OC ? cos ∠COH ,而 ∠COH = ∠COM = θ ?

∴∠AFH = ∠GFC = ∠FDH , ∴∠GFC = ∠G. ∴ CG = CF = CD, ∴点 C 是线段 GD 的中点.

π
3



1 1 π 1 π OH = OM = ρ , OC = 2 ,所以 ρ = 2 cos θ ? ,即 ρ = 4 cos(θ ? ) 2 2 3 2 3 为所求的圆 C 的极坐标方程. ( 5 分)(2) 1 设 点Q的极坐标为( ρ , θ ) ,由于 3OP = OQ ,所以 点P的极坐标为( ρ , θ ) 代入⑴中方 3
1 π 程得 ρ = 4 cos(θ ? ) ,即 ρ = 6 cos θ + 6 3 sin θ , 3 3
∴ ρ 2 = 6 ρ cos θ + 6 3ρ sin θ , x 2 + y 2 = 6 x + 6 3 y , ∴点 Q 的轨迹的直角坐标方程为 x 2 + y 2 ? 6 x ? 6 3 y = 0 . (10 分) 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 【命题意图】 本小题主要考查不等式的相关知识, 具体涉及到绝对值不等式的解法及性 质等内容.

?3 x + 1 ,x > 1 ? 【试题解析】解:(1)根据条件 f ( x ) = ? x + 3 ,? 1≤x≤1, ??3 x ? 1,x < ?1 ?

4 4 , 又x > 1, 所以x > ; 3 3 当 ?1≤x≤1 时, f ( x ) > 5 ? x + 3 > 5 ? x > 2, 又-1≤x≤1,此时无解; 当 x < ?1 时, f ( x ) > 5 ? ?3 x ? 1 > 5 ? x < ?2, 又x < ?1, 所以x < ?2. 4 综上, f ( x ) > 5 的解集为 {x | x > 或 x < ?2} . (5 分) 3 ?3 x + 1 ,x > 1 ? (2)由于 f ( x ) = ? x + 3 ,? 1≤x≤1, 可得 f ( x ) 的值域为[2,+∞). ??3 x ? 1,x < ?1 ? 又不等式 f ( x ) < a (a ∈ R ) 的解集为空集,所以 a 的取值范围是(-∞,2]. (10 分)
当 x > 1 时, f ( x ) > 5 ? 3 x + 1 > 5 ? x >


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