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2015年高考第一轮复习数学:9.5 空间向量及其坐标运算

时间:2017-07-20


9.7 空间向量及其坐标运算
一、知识梳理 1.若 OP =xi+yj+zk,那么(x,y,z)叫做向量 OP 的坐标,也叫点 P 的坐标. 2.设 a=(x1,y1,z1) ,b=(x2,y2,z2) , 那么 a±b=(x1±x2,y1±y2,z1±z2) , a?b=x1x2+y1y2+z1z2, cos〈a,b〉=

x1 x2 ? y1 y 2 ? z1 z 2 x1 ? y1 ? z1
2 2 2

x2 ? y 2 ? z 2

2

2

2

.

3.设 M1(x1,y1,z1) ,M2(x2,y2,z2) , 则|M1M2|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2 . 4.对非零向量 a 与 b,有 a∥b ? a=kb;a⊥b ? a?b=0. 二、典例剖析 【例 1】 已知 AB =(2,2,1) , AC =(4,5,3) ,求平面 ABC 的单位法向量. 解:设面 ABC 的法向量 n=(x,y,1) ,则 n⊥ AB 且 n⊥ AC ,即 n? AB =0,且 n? AC =0, 即

1 ? 1 1 2 2 n ?x ? , 即? ,单位法向量 n0=± =±( ,- , ). 2 ∴n=( ,-1,1) 2x+2y+1=0, 2 3 3 3 |n | ? ? y ? ?1, 4x+5y+3=0,

特别提示
一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度,仅规定了方向,所以有一 个自由度,可把 n 的某个坐标设为 1,再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量, 故法向量的相反向量也是法向量,所以本题的单位法向量应有两解. 【例 2】 在三棱锥 S—ABC 中, ∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°, AC=2, BC= 13 , SB= 29 . (1)求证:SC⊥BC; (2)求 SC 与 AB 所成角的余弦值. 解:如下图,取 A 为原点,AB、AS 分别为 y、z 轴建立空间直角坐标系,则有 AC=2, BC= 13 ,SB= 29 ,得 B(0, 17 ,0) 、S(0,0,2 3 ) 、C(2

13 4 , ,0) , SC = 17 17

(2

13 13 4 13 , ,-2 3 ) , CB =(-2 , ,0). 17 17 17 17

z S

A x C

B

y

(1)∵ SC ? CB =0,∴SC⊥BC. (2) 设 SC 与 AB 所成的角为α , ∵ AB = (0, 17 , 0) , | SC || AB |=4 17 , SC ?AB =4,

17 ,即为所求. 17 【例 3】 如下图,直棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,CA=CB=1,∠BCA=90°, 棱 AA1=2,M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.
∴cosα =
z C1 A1
N M

B1

C A

B

y

x

(1)求 BN 的长; (2)求 cos〈 BA1 , CB1 〉的值; (3)求证:A1B⊥C1M. (1)解:依题意得 B(0,1,0) ,N(1,0,1) , ∴| BN |= (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 = 3 . (2)解:A1(1,0,2) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) ,B1(0,1,2) , ∴ BA1 =(1,-1,2) ,CB1 =(0,1,2) ,BA1 ?CB1 =3,| BA1 |= 6 ,| CB1 |= 5 . ∴cos〈 BA1 , CB1 〉=

BA1 ? CB1 | BA1 | | CB1 |

=

30 . 10

1 1 , ,2) , 2 2 1 1 , C1 M =( , ,0) ,∴ A1 B ? C1 M =0,∴A1B⊥C1M. A1 B =(-1,1,-2) 2 2 深化拓展
(3)证明:C1(0,0,2) ,M( 根据本题条件,还可以求直线 AC1 与平面 A1ABB1 所成的角.(答案是 arcsin

10 ) 10

三、思悟小结 本节知识是代数化方法研究几何问题的基础, 向量运算分为向量法与坐标法两类, 以通 过向量运算推理,去研究几何元素的位置关系为重点.利用两个向量(非零)垂直 ? 数量积 为零,可证明空间直线垂直;利用数量积可计算两异面直线的夹角,可求线段的长度;运用

共面向量定理可证点共面、线面平行等;利用向量的射影、平面的法向量,可求点面距、线 面角、异面直线的距离等.


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