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2012年全国各地高考理科数学试题分类汇编10:函数与方程


2012 年高考理科试题分类解析汇编:函数与方程
一、选择题 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(天津理) )函数 f (x)=2 +x ? 2 在区间 (0,1) 内的零点
x 3

个数是 A.0

( B.1 C.2 D.3



错误!未指定书签。 . (2012

年高考(新课标理) ) 设点 P 在曲线

y?

1 x e 上,点 Q 在曲线 2
( )

y ? ln(2x ) 上,则 PQ 最小值为
A. 1 ? ln 2 B. 2(1 ? ln 2) C. 1 ? ln 2

D. 2(1 ? ln 2)

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(重庆理) )已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为

周期,则“ f ( x) 为[0,1]上的增函数”是“ f ( x) 为[3,4]上的减函数”的 ( A.既不充分也不必要的条件 C.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 D.充要条件 )

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(四川理) )函数 y

1 ? a x ? (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是 a

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海春) )记函数 y ? f ( x ) 的反函数为 y ? f

?1

( x ). 如

果 函 数 y ? f ( x ) 的 图 像 过 点 (1, 0) , 那 么 函 数 y ? f [答] A. (0, 0) . B. (0, 2) . C. (1,1) .

?1

( x) ? 1 的 图 像 过 点
( )

D. (2, 0) .

错误!未指定书签。 . ( 2012 年高考(陕西理) ) 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为

( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x
2



C. y ?

1 x

D. y ? x | x |

错 误 ! 未 指 定 书 签 。

. ( 2012

年 高 考 ( 山 东 理 )) 设 函 数

1 f ( x) ? , g ( x) ? ax 2 ? bx(a, b ? R, a ? 0) , 若 y ? f ( x) 的图象与 y ? g ( x) 图象有且 x

仅有两个不同的公共点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是 A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0





B.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(山东理) )函数 y

?

cos 6 x 的图像大致为 2 x ? 2? x

错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (山东理) ) 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .

当 ?3 ? x ? ?1 时 ,

f ( x) ? ?( x ? 2)2 , 当 ?1 ? x ? 3 时 , f ( x) ? x . 则
( C.1678 D.2012 )

f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? f (2012) ?
A. 3 35 B.338

错 误 ! 未 指 定 书 签 。.( 2012 年 高 考 ( 辽 宁 理 )) 设 函 数 f(x) ( x ? R ) 满 足

f( ?x )=f(x),f(x)=f(2 ? x),且当 x ? [0,1] 时,f(x)=x3.又函数 g(x)=|xcos (? x) |,则函
数 h ( x)=g(x)-f(x)在 [ ? A.5

1 3 , ] 上的零点个数为 2 2
C.7 D.8





B.6

错误!未指定书签。 . ( 2012 年高考(江西理 ) ) 若函数 f(x)= ?

? x 2 ? 1, x ? 1 ,则 f(f(10)= ? lg x, x ? 1
( ) D.0

A.lg101

B.b

C.1

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(江西理) )下列函数中,与函数 y=

3

1 定义域相同的函数 x
( )

为 A.y=

1 sin x

B.y=

1nx x

C.y=xe

x

D.

sin x x
8 (m>0), l1 2m ? 1

错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (湖南理) ) 已知两条直线 l1 :y=m 和 l 2 : y=

与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于点 A,B , l 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至 右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度 分别为 a ,b ,当 m 变化时,

b 的最 a

小值为 21 世纪教育网 A. 16 2 B. 8 2 C. 8 4 D. 4 4





错误!未指定书签。 . (2012 年高考(湖北理) )函数 f ( x) ? x cos x 2 在区间 [0, 4] 上的零点个数

为 A.4 B.5 C.6 D.7





错误!未指定书签。 . (2012 年高考(广东理) )(函数)下列函数中,在区间 ? 0, ?? ? 上为增函数

的是 A. y ? ln ? x ? 2 ? B. y ? ? x ? 1





?1? C. y ? ? ? ?2?

x

D. y ? x ?

1 x

错误!未指定书签。 . ( 2012 年高考(福建理) ) 函数 f ( x) 在 [ a, b] 上有定义 , 若对任意

x1 , x2 ? [a, b] , 有 f (

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] , 则 称 f ( x) 在 [a, b] 上 具 有 性 质 P . 设 2 2

f ( x) 在[1,3]上具有性质 P ,现给出如下命题:
① f ( x) 在 [1,3] 上的图像时连续不断的; ② f ( x) 在 [1, 3] 上具有性质 P ;

③若 f ( x) 在 x ? 2 处 取得最大值 1 ,则 f ( x) ? 1, x ?[1,3] ; ④对任意 x1 , x2 , x3 , x4 ? [1,3] , 有 f ( 源:21 世纪教育网] 其中真命题的序号是 A.①② B.①③ ( C.②④ D.③④ )

x1 ? x2 ? x3 ? x4 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x4 )] [ 来 4 4

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(福建理) )设函数 D( x) ? ?

? ?1, x为有理数 ? ?0, x为无理数

,则下列结论错 ( )

误的是 A. D( x) 的值域为 ?0,1? [

B. D( x) 是偶函数 C. D( x) 不是周期函数

D. D( x) 不是单调函数

错误!未指定书签。 . ( 2012 年高考(安徽理) ) 下列函数中 , 不满足 f (2 x ) ? 2 f (x )的是

( A. f ( x ) ? x
二、填空题



B. f ( x ) ? x ? x

C. f ( x) ? x ??

D. f ( x) ? ? x

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(天津理) )已知函数 y =

|x 2 ? 1| 的图象与函数 y =kx ? 2 的 x ?1

图象恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是______________. 错误!未指定书签。 . ( 2012 年 高 考( 四 川理) ) 记 [ x] 为不超过实数 x 的最大整数 , 例 如 , [2] ? 2 , [1.5] ? 1 , [?0.3] ? ?1 . 设 a 为 正 整 数 , 数 列 { xn } 满 足

](n ? N ? ) ,现有下列命题: 2 ①当 a ? 5 时,数列 { xn } 的前 3 项依次为 5,3,2;
x1 ? a , xn ?1 ? [
②对数列 { xn } 都 存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③当 n ? 1时, xn ?

xn ? [

a ] xn

a ?1;

④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] . 其中的真命题有 ____________.(写出所有真命题的编号)
错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海理) )已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 .若
2

g ( x) ? f ( x) ? 2 ,则 g (?1) ? _______ .
错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海理) )已知函数 f ( x) ? e
| x ? a|

(a 为常数).若 f ( x) 在

区间[1,+?)上是增函数,则 a 的取值范围是_________ .
错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海春) )函数 y ? log 2 x ?

4 ( x ? [2, 4]) 的最大值 log 2 x

是______.
错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海春) )若 f ( x ) ?

( x ? 2)( x ? m ) 为奇函数,则实数 x

m ? ______.
错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海春) )方程 4 ? 2
x x ?1

? 0 的解为_______.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海春) )函数 y ?

x ? 1 的定义域为_______.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(江苏) )设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间

[?1, 1] 上,
? 1≤ x ? 0 , ?ax ? 1, ? ?1? ?3? 其中 a , f ( x) ? ? bx ? 2 b ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为____. , 0 ≤ x ≤ 1, ?2? ? 2? ? ? x ?1
错误!未指定书签。 . (2012 年高考(江苏) )函数 f ( x ) ?

1 ? 2 log 6 x 的定义域为____.

错误!未指定书签。 . ( 2012 年 高 考 ( 福 建 理 ) )对于实数

a 和 b ,定义运算

2 ? ?a ? ab, a ? b “ ﹡ ”: a * b ? ? , 设 f ( x) ? (2 x ?1)*( x ?1) , 且 关 于 x 的 方 程 为 2 a ? b ? b ? ab , ?

恰 有 三 个 互 不 相 等 的 实 数 根 x1 , x2 , x3 , 则 x1 x2 x3 的 取 值 范 围 是 f ( x) ? m( m ? R) _________________.
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2012 年 高 考 ( 北 京 理 )) 已 知

f ( x? )

g (m x) ?3 2 x )? 2 .若同时满足条件: m(? x 2 m? ) ( x ,?
则 m 的取值范

① ?x ? R, f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;② ?x ? (??, ?4) , f ( x) g ( x) ? 0 . 围是________.
三、解答题 错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海理) )已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) .

(1)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围; (2)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,求函数

y ? g ( x) ( x ?[1, 2]) 的反函数.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海春) )本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小

题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分. 定义向量 OM ? (a , b) 的“相伴函数”为 f ( x ) ? a sin x ? b cos x; 函数

???? ?

???? ? f ( x ) ? a sin x ? b cos x 的“相伴向量”为 OM ? (a , b) ( 其中 O 为坐标原点 ). 记平
面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 S . (1)设 g( x ) ? 3sin( x ?

?
2

) ? 4sin x , 求证: g( x ) ? S;

( 2)已知 h( x ) ? cos( x ? ? ) ? 2cos x, 且 h( x ) ? S , 求其“相伴向量”的模; (3) 已 知 M ( a, b) (b? 0 ) 为 圆 C : ( x ? 2) ? y ? 1 上 一 点 , 向 量 OM 的 “ 相 伴 函
2 2

???? ?

数” f ( x ) 在 x ? x0 处取得最大值.当点 M 在圆 C 上运动时,求 tan 2 x0 的取值范围.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(上海春) )本题共有 2 个小题,第 1 小题 满分 7 分,第 2

小题满分 7 分. 某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长均为 30 千米(忽略内、外环线长度 差异). (1)当 9 列列车同时在内环线上运行时 ,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,求内 环线列车的最小平均速度;21 世纪教育网 (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为 25 千米/小时,外环线列车平均速度为 30 千米/小时.现内、 外环线共有 18 列列车全部投入运行,要使内、 外环线乘客的最长候车 时间之差不超过 1 分钟,问:内、外环线应名投入几列列车运行?

错误! 未指定书签。 . (2012 年高考 (江苏) ) 如图,建立平面直角坐标系 xoy , x 轴在地平面上, y

轴垂直于地平面,单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程

y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹 20

落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超 过多少时,

炮弹可以击中它?请说明理由.

错误!未指定书签。 . (2012 年高考(湖南理) )某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C 三种

部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件).已知每个工人每 天可生产 A 部件 6 件,或 B 部件 3 件,或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三 组分别生产这三种部件,生产 B 部件的人数与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A,B,C 三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案.

8

2012 年高考理科试题分类解析汇编:函数与方程参考答案 一、选择题 错误!未找到引用源。
6

【答案】B 【命题意图】本试题主要考查了函数与方程思想,函数的零点的概念,零点存在 定理以及作图与用图的数学能力. 【解析】解法 1:因为 f (0)=1+0 ? 2= ? 1, f (1)=2+2 ? 2=8 ,即 f (0) ? f (1)<0
3
10 且函数 f (x) 在 (0,1) 内连续不断,故 f (x) 在 (0,1) 内的零点个数是 1. 5

4

2

解法 2:设 y1 =2 , y2 =2 ? x ,在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示 :可
x 3

2

知 B 正确.
错误!未找到引用源。

4

【解析】选 A
6

函数 y ?

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? 2 2 2
设函数 g ( x) ?

8

1 x 1 1 ? ln 2 e ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? 2 2 2
2(1 ? ln 2)

由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2d min ?
错误!未找到引用源。

【答案】D

【解析】由 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数及 [0,1] 上的增函数可知在 [?1, 0] 为减函数,又 2 为周期,所以 f ( x) 在 [3, 4] 上为减函数. 【考点定位】本题主要通过常用逻辑用语来考查函数的奇偶性和对称性,进而来考查函 数的周期性,根据图像分析出函数的性质及其经过的特殊点是解答本题的关键. 错误!未找到引用源。 [答案]C [解析]采用排除法. 函数 y ? a ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0),选项只有 C 符合,故选 C.
x

[点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易 用. 错误!未找到引用源。 B

1 和 y ? x | x | ,又是增函数的只有选项 D 正确. x 错误!未找到引用源。 【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当 a ? 0 时,要
错误!未找到引用源。

解析:奇函数有 y ?

想满足条件,则有如图,做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为 (? x1 ,? y1 ) ,由图象 知 ? x1 ? x2 ,? y1 ? y2 , 即 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 , 同 理 当 a ? 0 时 , 则 有

x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 ,故答案选 B.
另法: F ( x) ? x3 ? bx2 ? 1 ,则方程 F ( x) ? 0 与 f ( x) ? g ( x) 同解,故其有且仅有两个不同零
2 2 点 x1 , x2 . 由 F ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ? b . 这样 , 必须且只须 F (0) ? 0 或 F ( b) ? 0 , 因为 3 3 2 3 2 F (0) ? 1, 故 必 有 F ( b) ? 0 由 此 得 b ? 3 2 . 不 妨 设 x1 ? x2 , 则 x2 ? b ? 3 2 . 所 以 3 2 3
3 F ( x) ? ( x ? x 22 ), 比较系数得 ? x1 3 4 ? 1 , 故 x1 ? ? 1 ) ( x?

13 1 2 . x1 ? x2 ? 3 2 ? 0 , 由此 2 2

知 y1 ? y2 ? 解 析

1 1 x1 ? x2 ? ? ? 0 ,故答案为 B. x1 x2 x1 x2

:



1 ? ax 2 ? bx x

,



1 ? ax3 ? bx 2 ( x ? 0)

,



F ( x) ? ax3 ? bx 2 , F ?( x) ? 3ax2 ? 2bx
令 F ?( x) ? 3ax ? 2bx ? 0 ,则 x ? ?
2

2b ,要使 y=f(x)的图像 3a

与 y=g(x) 图 像 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 公 共 点 只 需

F(

? 2b 2b 2b ) ? a(? ) 3 ? b(? ) 2 ? 1 , 整 理 得 4b 3 ? 27 a 2 , 3a 3a 3a

于 是 可 取 a ? ?2, b ? 3 来 研 究 , 当 a ? 2, b ? 3 时 , 2 x ? 3x ? 1 , 解 得 x1 ? ?1, x 2 ?
3 2

1 , 此 时 2

y1 ? ?1, y 2 ? 2 , 此时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 ; 当 a ? ?2, b ? 3 时 , ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 1 ,
解 得 x1 ? 1, x 2 ? ?

1 , 此 时 y1 ? 1, y 2 ? ?2 , 2

此时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B. 另 解 : 令 f ( x) ? g ( x ) 可 得

y ?? ? ax ? b (a ? 0)

y ?? ? ax ? b (a ? 0)

1 ? ax ? b . 设 x2

y? ?

1 , y ?? ? ax ? b x2

不妨设 x1 ? x2 ,结合图形可知,当 a ? 0 时如右图,此时 x1 ? x 2 , 即 ? x1 ? x2 ? 0 , 此时 x1 ? x 2 ? 0 , y 2 ?

1 1 ? ? ? ? y1 , 即 y1 ? y 2 ? 0 ; 同理可由 x2 x1

图形经过推理可得当 a ? 0 时 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y 2 ? 0 .答案应选 B.
错误!未找到引用源。 【解析】函 数为奇函数,所以图象关于原点对称,排除 A,令 y ? 0 得

cos 6 x ? 0 ,所以 6 x ?

?
2

? k? , x ?

侧第一个零点为 ( 时, y ? 2 ? 2
x ?x

?

k ? ? ,函数零点有无穷多个,排除 C,且 y 轴右 12 6

?

12

,0) , 又 函 数 y ? 2 x ? 2 ? x 为 增 函 数 , 当 0 ? x ?

?

12

? 0 , cos 6 x ? 0 ,所以函数 y ?

cos 6 x ? 0 ,排除 B,选 D. 2 x ? 2?x

错误!未找到引用源。

【 解 析 】 由 f ( x ? 6) ? f ( x) , 可 知 函 数 的 周 期 为 6, 所 以

f (?3) ? f (3) ? ?1 , f (?2) ? f (4) ? 0 , f (?1) ? f (5) ? ?1 , f (0) ? f (6) ? 0 , f (1) ? 1
,

f (2) ? 2

,









个 ,



期 所



有 以

f (1) ? f (2) ? ? ? f (6) ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ? 1 ? 0 ? 1

f (1) ? f (2) ? ? ? f (2012 ) ? f (1) ? f (2) ? 335 ?1 ? 335 ? 3 ? 338 ,选 B.
错误!未找到引用源。 【答案】B















x ? [0,1]



,f(x)=x .

3







x ?[1, 2]时,(2-x) ?[0,1] ,f(x)=f(2 ? x)=(2 ? x)3,
当 x ? [0, ] 时 ,g(x)=xcos (? x) ; 当 x ? [ , ] 时 ,g(x)= ? xcos (? x) , 注 意 到 函 数

1 2

1 3 2 2

f(x)、 g(x)都是偶函数,且 f(0)= g(0), f(1)= g(1), g ( ) ? g ( ) ? 0 ,作出函数 f(x)、 g(x) 的 大 致 图 象 , 函 数 h(x) 除 了 0 、 1 这 两 个 零 点 之 外 , 分 别 在 区 间

1 2

3 2

1 1 1 3 [? , 0]、 [0, ]、 [ ,1]、 [1, ] 上各有一个零点,共有 6 个零点,故选 B 2 2 2 2
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、运算求解 能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大. 错误!未找到引用源。 B 【解析】本题考查分段函数的求值.
2 因为 10 ? 1 ,所以 f ?10 ? ? lg10 ? 1 .所以 f ( f (10)) ? f (1) ? 1 ? 1 ? 2 .

【点评】 对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函 数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量 x 的取值对应着哪一段区 间,就使用哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意 分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式. 错误!未找到引用源。 D 【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以 及三角函数的值域. 函数 y ?

3

1 s i nx 的 定 义 域 为 ? ? ?, 0? ? ? 0,? ? 的定义域为 ? ,而答案中只有 y ? x x
21 世纪教育网

? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? .故选 D.

【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其 求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真 数大于 0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函 数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域 的求法. 错误!未找到引用源。 【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出 y=m,y=
?m

8 (m>0), y ? log 2 x 图像如下图, 2m ? 1
8

8 ? 8 2 m?1 2 m 由 log 2 x = m,得 x1 ? 2 , x2 ? 2 , log 2 x = ,得 x3 ? 2 ?1 , x4 ? 2 . 2m ? 1
m
8 2 m?1

依照题意得 a ? 2

?m

?2

?

8 2 m ?1

,b ? 2 ? 2
m

8 2 m ?1

b , ? a

2m ? 2 2
?m

?2

?

8 2 m ?1

?2 2
m

8 2 m ?1

?2

m?

8 2 m ?1

.

?m ?

b 8 1 4 1 1 1 ? m? ? ? ? 4 ? ? 3 ,? ( )min ? 8 2 . a 2m ? 1 2 m? 1 2 2 2 2

y ? log 2 x

C

D

y?

8 2m ? 1

A
O

B
1

y?m

x
8 (m>0), y ? log 2 x 图像,结合图像可解得. 2m ? 1

【点评】 在同一坐标系中作 出 y=m,y=

错误!未找到引用源。考点分析:本题考察三角函数的周期性以及零点的概念.

解 析 :

f ( x) ? 0 , 则 x ? 0 或 cos x 2 ? 0 , x 2 ? k? ?

?
2

,k ? Z , 又

x ? ?0,4? , k ? 0,1,2,3,4
所以共有 6 个解.选 C.
错误!未找到引用源。解析:A. y ? ln ? x ? 2 ? 在 ? ?2, ?? ? 上是增函数. 错误!未找到引用源。 【答案】D

【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误 【考点 定位】此题主要考查函数的概念、图像、性质,考查分析能力、推理能力、数形

结合思想,转化化归思想. 错误!未找到引用源。 【答案】C 【解析】A,B.D 均正确,C 错误. 【考点定位】该题主要考查函数的概念、定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性,全 面掌握很关键. 错误!未找到引用源。 【解析】选 C

f ( x) ? kx 与 f ( x) ? k x 均满足: f (2 x) ? 2 f ( x) 得: A, B, D 满足条件
二、填空题 错误!未找到引用源。 【答案】 (0,1) ? (1,4)

【命题意图】 本试题主要考查了函数的图像及其性质,利用函数图像确定两函数的交点, 从而确定参数的取值范围. 【 解 析 】 ∵ 函 数 y =kx ? 2 的 图 像 直 线 恒 过 定 点 B(0,? 2) ,且
4

2

A(1, ? 2)

,

C ( ? 1,0) ,

D(1,2)

,∴

?2+2 k AB = =0 1? 0
10

D O

,
5

C

5

10

k BC =

0+2 2+2 = ? 2 , kBD = =4 ,由图像可知 k ? (0,1) ? (1,4) . ?1 ? 0 1? 0
y? x2 ?1 x ?1 ? ( x ? 1)( x ? 1) x ?1
, 当

B
4

2

A

解 法 二 : 【 解 析 】 函 数

, 当
6 8

x ?1


2

,

y?

x ?1
2

x ?1

? x ?1 ? x ?1

10

x ?1

12

时, y ?

x ?1

?? x ? 1,?1 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? ,综上 函数 x ?1 ? x ? 1, x ? ?1

? x ? 1,x ? 1 ? y? ? ?? x ? 1,?1 ? x ? 1 , 做 出 函 数 的 图 象 ( 蓝 x ?1 ? ? x ? 1, x ? ?1 x2 ?1
线 ), 要使函数 y 与 y ? kx ? 2 有两个不同的交点 , 则直线

y ? kx ? 2 必须在四边形区域 ABCD 内(和直线 y ? x ? 1 平行的直线除外,如图,则此时
当直线经过 B(1,2) , k ?

0 ? k ? 1 或1 ? k ? 4 .

2 ? (?2) ? 4 , 综上实数的取值范围是 0 ? k ? 4 且 k ? 1 , 即 1? 0

错误!未找到引用源。 [答案]①③④

xn ? [
[解析]若 a ? 5 ,根据 xn ?1 ? [

a ] xn

2

](n ? N ? )

当 n=1 时,x2=[

5 ?1 3 ?1 ]=3, 同理 x3= [ ] ? 2 , 故①对. 2 2

对于②③④可以采用特殊值列举法: 当 a=1 时,x1=1, x2=1, x3=1, xn=1, 此时②③④均对. 21 世纪教育网 当 a=2 时,x1=2, x2=1, x3=1, xn=1, 此时②③④均对[来源:21 世纪教育网] 当 a=3 时,x1=3, x2=2, x3=1, x4=2xn=1, 此时③④均对 综上,真命题有 ①③④ . [点评]此题难度较大,不容易寻找其解题的切入点,特殊值列举是很有效的解决办法.
错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

[ 解 析 ]

y ? f ( x) ? x 2 是 奇 函 数 , 则

f (?1) ? (?1)2 ? ?[ f (1) ? 12 ] ? ?4 ,所以 f (?1) ? ?3 , g (?1) ? ?1 。
错误!未找到引用源。

[ 解 析 ] 令 g ( x) ?| x ? a | , 则 f ( x) ? e

g ( x)

,由于底数 e ? 1 ,故

f ( x) ↑? g ( x) ↑,
由 g ( x) 的图像知 f ( x) 在区间[1,+?)上是增函数时,a≤1.
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

5

?2 x ?1

错误!未找到引用源。 [?1, ??) 错误!未找到引用源。 【答案】 ?10 .

【考点】周期函数的性质. 【解析】∵ f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,∴ f ? ?1? ? f ?1? ,即 ?a ? 1=

b?2 ①. 2

1 ?3? ? 1? 又∵ f ? ? ? f ? ? ? = ? a ? 1 , 2 2 2 ? ? ? ?

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, 2 ? ? ? 2?

1 b?4 ∴ ? a ? 1= ②. 2 3 联立①②,解得, a=2. b= ? 4 .∴ a ? 3b= ? 10 .
错误!未找到引用源。 【答案】 0, 6 ? ?.

?

【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式. 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得

?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ? ? ? 0< x ? 6 . 1 ? ? 1 ? 1 ? 2log x ? 0 log x ? 2 6 ? 6 ? ? 2 ?x ? 6 = 6 ?
错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

【 解 析 】 由 定 义 运 算 “*” 可 知

1 1 ? 2( x ? )2 ? ,x ? 0 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1 ? x ? 1 ? ? 4 8 , 画出该函数图象可知满 f ( x)= ? ?? 2 ? ?( x ? 1) ? (2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1>x ? 1 ??( x ? 1 )2 ? 1 x>0 ? ? 2 4
2

( 足条件的取值范围是

1? 3 ,0) . 16

( 【答案】

1? 3 ,0) 16

【考点定位】本题主要考查函数的零点,考查新定义新运算,考查创新能力.
错误!未找到引用源。 【答案】 (?4, ?2)

【解析】根据 g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ? x ? 1 ,由于题目中第一个条件的限制,导致 f ( x) 在
x

x ? 1是必须是 f ( x) ? 0 ,当 m ? 0 时, f ( x) ? 0 ,不能做到 f ( x) 在 x ? 1时, f ( x) ? 0 ,
所 以 舍 去 , 因 此 f ( x) 作 为 二 次 函 数 开 口 只 能 向 下 , 故 m ? 0 , 且 此 时 2 个 根 为

1 ? ? ? x1 ? 2m ? 1 ?m ? 2 ?? x1 ? 2m, x2 ? ?m ? 3 , 为保证条件成立 , 只需 ? , 和大前提 x ? ? m ? 3 ? 1 ? ? ? 2 ? m ? ?4

m ? 0 取 交 集 结 果 为 ?4 ? m ? 0 , 又 由 于 条 件 2 的 限 制 , 可 分 析 得 出
?x ? ( ?? , 4 ? )f , x恒负 ( ) ,因此就需要在这个范围内 g ( x) 有取得正数的可能,即 ?4 应
该比 x1 , x2 两个根中较小的来提大,当 m ? (?1, 0) 时, ?m ? 3 ? ?4 ,解得交集为空,舍去. 当 m ? ?1 时,两个根同为 ?2 ? ?4 ,也舍去,当 m ? (?4, ?1) 时, 2m ? ?4 ? m ? ?2 ,综 上所述 m ? (?4, ?2) . 【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小, 涉及到指数函数的单调性,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想.
三、解答题 错误!未找到引用源。 [解](1)由 ?

?2 ? 2 x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 . ? x ?1 ? 0
2?2 x x ?1 2 3

2x ? 1 得1 ? 由 0 ? lg(2 ? 2 x) ? lg( x ? 1) ? lg 2x?? 1

? 10 ?x?1 . 3

因为 x ? 1 ? 0 ,所以 x ? 1 ? 2 ? 2x ? 10 x ? 10 , ?

由?

? ?1 ? x ? 1 ?x? 得? 2 3 2 1 ? ? x ? 3 ? 3

1 3

(2)当 x?[1,2]时,2-x?[0,1],因此

y ? g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (2 ? x) ? f (2 ? x) ? lg(3 ? x)
由单调性可得 y ? [0, lg 2] . 因为 x ? 3 ? 10 ,所以所求反函数是 y ? 3 ? 10 , x ? [0, lg 2]
y
x

错误!未找到引用源。证明:(1) g ( x) ? 3sin( x ?

?
2

) ? 4sin x ? 4sin x ? 3cos x

其“相伴向量” OM ? (4,3) ,? g ( x) ? S (2)

???? ?

h( x) ? cos( x ? ? ) ? 2cos x ? (cos x cos ? ? sin x sin ? ) ? 2cos x ? ? sin ? sin x ? (cos ? ? 2)cos x

?函数 h( x) 的“相伴向量” OM ? (? sin ? , cos ? ? 2) ,则
???? ? | OM |? sin 2 ? ? (cos ? ? 2) 2 ? 5 ? 4 cos ?
(3) OM 的 “ 相 伴 向 量 ” f ( x) ? a sin x ? b cos x ?

???? ?

???? ?

a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) , 其 中

c o? s?

a a ?b
2 2

,s ?i ? n

b
2 a ? b 2

当 x ? ? ? 2k? ?

?
2

, k ? Z 时, f ( x) 取得最在值,故当 x0 ? 2k? ?

?
2

? ?, k ? Z

? tan x0 ? tan(2k? ?

?
2

? ? ) ? cot ? ?

a b

a 2? 2 tan x0 b ? 2 , ? tan 2 x0 ? ? 2 1 ? tan x0 1 ? ( a )2 b ? a b a b
b 3 3 b b , 0) ? (0. ] ,令 m ? ,则 21 世纪教 为直线 OM 的斜率,由几何意义知 ? [? a 3 3 a a
育网

? tan 2 x0 ?

2 m? 1 m

, m ? [?

3 3 , 0) ? (0. ] 3 3

当?

3 2 单调递减,∴ 0 ? tan 2 x0 ? 3 ; ? m ? 0 时,函数 tan 2 x0 ? 1 3 m? m 3 2 时,函数 tan 2 x0 ? 单调递减,∴ ? 3 ? tan 2 x0 ? 0 . 1 3 m? m
?

当0 ? m ?

综上所述, tan 2 x0 ? ? ? 3, 0 ? 0, 3 ? .

? ?

?

错 误!未找 到引用 源。 解 :(1) 设内环线列车运行的平均速度为 v 千米 / 小时 , 由题意可

知,

30 ? 60 ? 10 ? v ? 20 9v

所以,要使内环线乘客最长候车时间为 10 分钟,列车的最小平均速度是 20 千米/小时. (2)设内环线投入 x 列列车运行,则外环线投入 (18 ? x) 列列车运行,内、外环线乘客最 长候车时间分别为 t1 , t 2 分钟,则 t1 ? 于
2

30 72 30 60 ? 60 ? , t2 ? ? 60 ? 25 x x 30(18 ? x) 18 ? x
是 有

| t1 ? t2 |?|

? 72 60 ?114 ? 18180 ? x ? 150 x ? 1296 ? 0 150 ? 17316 ? |? 1 ? ? ? ?x? x 18 ? x 2 2 ? x 2 ? 114 x ? 1296 ? 0 ?
*

又? x ? N ,所以 x ? 10 ,所以当内环线投入 10 列,外环线投入 8 列列车运行,内、 外环 线乘客最长候车时间之差不超过 1 分钟.
错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 【 答 案 】 解 :(1) 在 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 中 , 令 y ? 0 , 得 20

1 (1 ? k 2 ) x 2 =0 . 20 由实际意义和题设条件知 x > 0,k > 0 . kx ?

20k 20 20 = ? =10 ,当且仅当 k =1 时取等号. 2 1 1? k ?k 2 k ∴炮的最大射程是 10 千米.
∴ x= (2)∵ a > 0 ,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k ? 0 ,使 ka ? 即关于 k 的方程 a2 k 2 ? 20ak ? a2 ? 64=0 有正根. 由 ? = ? ?20a ? ? 4a 2 a 2 ? 64 ? 0 得 a ? 6 . [来源:21 世纪教育网]
2

1 (1 ? k 2 )a 2 =3.2 成立, 20

?

?

此时, k =

20a ?

? ?20a ?

2

? 4a 2 ? a 2 ? 64 ?

2a 2

> 0 (不考虑另一根).

∴当 a 不超过 6 千米时,炮弹可以击中目标. 【考点】函数、方程和基本不等式的应用. 【解析】(1)求炮的最大射程即求 y ? kx ?

1 (1 ? k 2 ) x 2 (k ? 0) 与 x 轴的横坐标,求出后应 20

用基本不等式求解. (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一 元二次方程根的判别式求解. 错误!未找到引用源。 【解析】 解:(Ⅰ)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 [来源:21 世纪 教育网]

T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x), 由题设有

T1 ( x) ?

2 ? 3000 1000 2000 1500 ? , T2 ( x) ? , T3 ( x) ? , 6x x kx 200 ? (1 ? k ) x

期中 x, kx, 200 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数. (Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x) ? max ?T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x)? , 其定义域为

? 200 ? , x ? N ? ? . 易知, T1 ( x), T2 ( x) 为减函数, T3 ( x) 为增函数.注意到 ?x 0 ? x ? 1? k ? ?

2 T2 ( x) ? T1 ( x), 于是 k
(1)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 此时 21 世纪教育网

?1000 1500 ? f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ? , ?, ? x 200 ? 3x ?
由函数 T1 ( x), T3 ( x) 的单调性知,当

1000 1500 时 f ( x) 取得最小值,解得 ? x 200 ? 3x

400 .由于 9 400 250 300 44 ? ? 45, 而f (44) ? T1 (44) ? , f (45) ? T3 (45) ? , f (44) ? f (45) . 9 11 13 250 故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f (44) ? . 11 x?
(2) 当 k ? 2 时 , T1 ( x) ? T2 ( x), 由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?3 , 此 时

T ( x) ?

375 , ? ( x) ? max ?T1 ( x), T ( x)? 易知 T ( x) 为增函数,则 50 ? x

f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ?T1 ( x), T ( x)? 21 世纪教育网

?1000 375 ? ? ? ( x) ? max ? , ?. ? x 50 ? x ?

1000 375 400 时 ? ( x) 取得最小值 ,解得 x ? . ? 11 x 50 ? x 400 250 250 375 250 由于 36 ? ? 37, 而? (36) ? T1 (36) ? ? , ? (37) ? T (37) ? ? , 11 9 11 13 11 250 此时完成订单任务的最短时间大于 . 11
由函数 T1 ( x), T ( x) 的单调性知 ,当 (3) 当 k ? 2 时 , T1 ( x) ? T2 ( x), 由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?1 , 此 时

? 2000 750 ? f ( x) ? max ?T2 ( x), T3 ( x)? ? max ? , ? . 由函数 T2 ( x), T3 ( x) 的单调性知, ? x 100 ? x ?

2000 750 800 时 f ( x) 取得最小值,解得 x ? .类似(1)的讨论.此时 ? 11 x 100 ? x 250 250 完成订单任务的最短时间为 ,大于 . 9 11 综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产 A,B,C 三种部件的人数
当 分别为 44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用 数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最 值来解决,体现分类讨论思想.


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