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从历年陕西数学高考题分析谈高三数学备考复习策略


从历年陕西数学高考题分析谈高 三数学备考复习策略

2009年是大纲版的收官之作, 体现的是大纲版的精华。 2010年首次实行新课程高考,

即体现课改,又着眼稳定,实现了平稳 过渡,完成了承前启后的任务
2011年:保持风格,特点突出; 稳中求新,稳中求变。

2012年:继承传统,形成特色; 稳中有新,稳

中有变。

2010、2011年陕西高考题分析 2011年全国新课标高考题分析

高三数学复习策略与建议

第一部分:2010、2011年陕西高考题分析
? 一、2010年试题特点:平稳过渡,承前启后

在创新中继承传统 ? 2. 在平稳中闪现新点 ? 3. 应用中呈现新亮点 ? 4. 图形里露出新视觉 ? 5. 背景内彰显特色
? 1.

第一部分:2010、2011年陕西高考题分析

二:2011年陕西高考题分析
形式:稳中求新,稳中求变 内容:体现数学本质, 凸显数学思想, 强化思维量, 控制运算量, 突出综合性。

2011年陕西高考题分析及启示---数据分析
表1陕西新课标高考理科得分率比较
题 号 1~10 11~1 5 16 17 18 19 20 21 16~2 1 平均

10 37.39 18.19 0.79 0.63 0.75 0.73 11 33.90 13.40 0.81 0.55 0.68 0.54

0.75 0.45

0.69 0.37 0.27 42.81 98.41 0.57 0.31 0.48 0.32 36.20 83.51 0.48

2011年陕西高考题分析及启示---数据分析
表2 2011年陕西高考数学理科试题难度与区分度
1 题号 难度 区分 度 0.93 0.81 0.75 0.68 0.84 0.72 0.46 0.81 0.75 0.21 易 易 易 中 易 易 中 易 中 难 0.2 及格 0.54 0.54 0.58 0.34 0.47 0.36 0.39 0.49 0.27 优秀 优秀 优秀 良好 优秀 良好 良好 优秀 及格 2 3 4 5 6 7 8 9 10

题号 难度

11~15 0.54 中

16 0.81易

17 0.5 5 中

18 0.45 中

19 0.31 难

20 0.48 中

21 0.32 难

区分度

0.49 优秀

0.42 优秀

0.80优 秀

0.4 8 优秀

0.67 优秀

0.69 优秀

0.41 优秀

新课标版考试大纲的考试要求

数学科的考试,按照“考查基础知识的同时,注重考查

能力”的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、

能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养.
数学科考试,要发挥数学作为主要基础学科的作用,

要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度,要
考查对数学思想方法和数学本质的理解水平,要考查进入

高等学校继续学习的潜能.

2011年陕西高考题分析—总体特征
总体特征分析

1 .对数学基础知识的考查,即全面又突出重点, 注重学科的内在联系和知识的综合。 2.对数学思想方法的考查与数学知识的考查结合 进行。 3.对数学能力的考查,以抽象概括能力和推理 论证能力为核心,全面考查各种能力。
4.注重试题的基础性、综合性和层次性。合理 调控综合程度,坚持多角度,多层次的考查。

2011年陕西高考题分析—总体特征 具 体 :

1、保持风格, 2、立足基础, 3、淡化技巧, 4、多考思维, 5、注重能力, 6、落实课标, 7、比较大气,

凸显特点 重点突出 注重通法 少考计算 考量思想 关注创新 注重素养

1、保持风格,特点突出
从形式看: (1)试题设置仍然体现前易后难的特色 (2)试题仍然体现来源于课本而高于课本的特点
17题压缩圆,18题叙述并证明余弦定理

(3) 文理区别合理 相同题7+姊妹题10+不同题4

2、立足基础, 重点突出 2011年陕西理科数学知识分布
知识 题号 3;6;11;14 11;19;21 13;14;19 知识 题号 1;12;13 6;7;18 1;16;18 7 7

函数 导数积分 数列 解析几何
概率统计

2;17;18; 19
9;10;20

逻辑与推理 三角 向量 集合
复数

立体几何
不等式

5;16
7;21

计数原理
三选一

4;10
15

3、淡化技巧, 注重通法 整卷平和,考查学生对数学知 识与方法的通性通法的掌握。

4、多考思维, 少考计算 降低运算量,注重考生应变能力及心理 素质的考查是全国各省市的大势所趋

5、注重能力,考量思想
数学思想是数学知识的精髓,它是架 设在知识和能力之间的一座桥梁.
以2011年理科为例

数形结合:2;3;5;6;7;8;9;12; 15;16;17;18;19; 函数与方程:3;6;7;11;12;14;19;21. 化归与转化:4;6;10;12;14; 16;17;18;19;21; 或然与必然:8;9;10;20 。 特殊与一般:13;19.

5、注重能力,考量思想
等差数列的识别 函数思想及距离公式

等比数列的识别 等比数列的和

6、落实课标,

关注创新

6、落实课标, 关注创新

18.(本小题满分12分) 叙述并证明余弦定理.

提出问题 解决问题

应用所学知识解决问题

7、比较大气,

注重素养

以大众数学为载体考查学生的 数学素养,值得提倡 什么叫教育,爱因斯坦说:“教育就是当你把 学校学习的东西都忘了剩下的就是教育” “数学素养就是当你把数学概念、公式 都忘了剩下的就是数学素养”

7、比较大气,

注重素养

(2011年理13)13.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?? 照此规律,第n个等式为________ .

第二部分、2011年全国新课标高考数学分析

2011年全国新课标高考数学分析

回顾新课标高考的历程
2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年 平稳过 全面改 深化改 保持特 四平八 稳定+ 革 色稳定 稳、平 小步创 渡体现 革 课改 和大气 新 平和 起步 成长 发展 成熟 巩固 突破

1、新课标高考五年命题特点
总体评价:立意新颖,重点突出,背景公平, 选材有据,试题源于教材;命题灵活,素材丰 富,突出了课程标准要求。 1°考点覆盖面广、分值分布有别于非课改区: 突出三角应用、统计;淡化函数性质、数列、 不等式;突出教材新增内容; 2°创新题较多,“雷人题”不少,是国家考 试命题中心的一块试验田,也是课改的风向标。 但近三年试题比较平稳。 3°近两年试题有回归数学本位的趋势,重点 内容重点考察,不再人为地突出新内容。

2011年全国新课标高考数学分析
保持稳定,小步创新 平和大气 ,注重能力

1.考查双基与突出重点相结合 对高中数学各模块以及专题所涉及的概念、性 质、公式、法则、定理等都作了较为全面的考 查,知识点覆盖面约占所有知识点的60%—70% . 突出考查了函数、三角函数、平面向量、算法 初步、数列、不等式、圆锥曲线与方程、几何 体与空间向量、概率与统计、导数及其应用、 推理与证明、坐标系与参数方程等十二个重要 部分.

2.关注学科特点与发展思维相结合 概念性强,充满思辨性, 量化突出,解法多样.

2.关注学科特点与发展思维相结合

3.强化数学思想与坚持通性通法相结合

数学思想方法蕴涵在数学基础知识之中, 它与数学知识的形成同步发展.它是数学知 识的精髓,是知识转化为能力的催化剂.

4.注重知识交汇与提高综合能力相结合

数学科《考试大纲》明确要求,数学科 命题要从学科的整体高度和思维价值的高度 考虑问题,在知识网络交汇点设计试题,使 对数学基础知识的考查达到必要的深度.

4.注重知识交汇与提高综合能力相结合 (2011新课标) 向 量 、 三 角 、 逻 辑 C
B o B A o

运 动 变 化 观 点
C A

5.考查数学应用与提高实践能力相结合

数学应用问题的考查由来已久,除了排列组 合问题,概率与统计模型以外.新课标版试题 在保持这一考法的基础上,又关注了其他数学 模型应用问题的考查,比如三角应用问题.

6.适度创新与开发潜能相结合

对创新意识的考查,是对高层次理性思维 的考查.在试题命制中要创设比较新颖的问题 情景,构造有一定深度和广度的问题,要注重 问题的多样性,体现思维的发散性.精心设计 考查数学主体内容,体现数学素质的题目;反 映数、形运动变化的题目;研究型、探索型、 开放型的试题.

6.适度创新与开发潜能相结合

7.依托课本与适当延展相结合

7.依托课本与适当延展相结合 依据课本,但不拘泥于课本

8.传统知识与新增内容相结合

对于课标教材中新增加的算法初步、 散点图、茎叶图、三视图、全称量词与 存在量词、几何概型、定积分与微积分 基本定理、推理与证明、几何证明、坐 标系与参数方程、不等式选讲等内容,几 乎无一遗漏地作了考查.
近两年已经不再刻意考查新增内容

重视基础 回归教材 强化主干 突出重点

第三部分

2012高三高考数学复习策略
重视基础 回归教材 强化主干 突出重点

科学备考 提升时效

科学备考 提升时效
2012高三高考数学复习策略
搞好考试研究,明确备考方向 抓实各轮复习,优化备考策略 做细日常指导,健全应考品质

高三复习的目的是: 建立一个双基完备、信息畅 通的知识库和能从库中灵活 调取知识的方法与能力。

科学备考 提升时效
四个误区:
1、选一本好资料,扎实讲完就会取得好成绩。 2、老师讲的越多越好。老师恨不得把所有的题 目都讲一遍。 3、学生做的题越多越好。时间是定值,时间都 花在做题上就没时间思考与反思

4、每一节复习的知识点越多越好。

科学备考 提升时效
四个原则 1、研究“两纲一题”,提高复习的针对性 2、创造性地回归课本,落实双基 3、建立知识体系,形成有效知识链

4、暴露思维过程,形成理性思维。 让学生知道高明的思维是怎么产生的

2、创造性地回归课本,落实双基

上海考题:解析几何是_用代数方法研究几何问题的科学

北京考题:等和数列 2011年北京考题:一个动点到两个定点 距离之积为定常数的轨迹。

2、创造性地回归课本,落实双基
作业:1、利用等差数列前n项和公式的证 明方法求下式的和
x 1 已知f ( x) ? ; 数列{an }{bn }, 若an ? f (n), bn ? f ( ) 1? x n 求{an ? bn }的前n项和S n .

作业:2、利用等比数列前n项和公式的证

明方法求下式的和
数列{an }中若an ? n ? 2 n ?3 ; 求{an }的前n项和S n .

2、创造性地回归课本,落实双基

3、建立知识体系,形成有效知识链
圆的几种状态:

( x ? a) ? ( x ? b) ? r
2 2

2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0

? x ? a ? r cos? (?为变量,a, b, r为常数) ? ? y ? b ? r sin ?

? ?1

| a | ?1
P(coc? , sin ? )

3、建立知识体系,形成有效知识链
椭圆的几种状态: 文字叙述:
| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ? 2 | F1F2 |)
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ? x ? a cos? (?为变量,a, b为常数) ? ? y ? b sin ?

P(acoc? , b sin ? )
( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 10

3、建立知识体系,形成有效知识链 函数y=f(x)在区间Q上是单调增函数:
1、图形是上升的。 2、导函数大于零的。
3、常见函数如:y ? k x ? b(k ? 0) y ? x ; y ? x 3 ; y ? a x (a ? 1), y ? log a x(a ? 1)......

3、建立知识体系,形成有效知识链
函数y=f(x)在区间Q上是单调增函数:

4、?x1 , x2若x1 ? x2则f ( x1 ) ? f ( x2 ) 5、?x1 , x2若f ( x1 ) ? f ( x2 )则x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 6、?x1 , x2若 ?0 x1 ? x2 7、?x1 , x2若[ f ( x1 ) ? f ( x2 )]( x1 ? x2 ) ? 0

?y 8、 ? 0 ?x

4、暴露思维过程,形成理性思维
让学生学会从题目中自己“挖”出思路。 “挖”出答案。 具体操作是:

(1)把题目中的已知条件一个一个地翻译成 自己的东西. (2)把各个条件合起来。
(3)把题目中的已知条件一个一个地再翻译 成另一种形式的自己的东西。

A 考虑基本事件: ? A
4 6

4 6

1、做一件什么事?如何才算完成了?
甲和乙分别从6个景点中选4个游览(有顺序)。只有甲 和乙都选好了才完成了(乘法原理)

2、甲做一件什么事?如何才算完成了?
等价于从6个元素中选4个元素的排列。

A

4 6

3、乙做一件什么事?如何才算完成了?
等价于从6个元素中选4个元素的排列。

A

4 6

3 3 考虑事件A: 6 ? A5 ? A5

1、做一件什么事?如何才算完成了?
甲和乙分别从6个景点中选4个游览(有顺序)。只有甲 和乙都选好了才完成了(乘法原理)。条件是甲乙最后 一个景点相同。 根据特殊优先法。先选最后一个景点共6种方法,

2、甲做一件什么事?如何才算完成了?
等价于从5个元素中选3个元素的排列。

A
3 A5

3 5

3、乙做一件什么事?如何才算完成了?
等价于从5个元素中选3个元素的排列。

1、高明的思路从掌握基本概念的本质中来
1、乘法原理 2、排列与组合在区别—顺序问题 3、排列的概念与本质 4、特殊元素与特殊位置问题—特殊优先考虑 5、概率的概念及求古典概型的基本方法

2、高明的思路从把握题目的各已知条件的转 化中来 3、高明的思路从把题目中的各小问题小条件 综合化中来

科学备考 提升时效
2012高三高考数学复习策略
搞好考试研究,明确备考方向 抓实各轮复习,优化备考策略 做细后期指导,健全应考品质

三、2012高三高考数学复习策略

1、全面复习,注重双基 2、淡化技巧,强化通法 3. 整合知识,构建网络 4、注重联系,理性思维 5、探究能力,应用意识 6、健康心态,应试技巧

三、高三高考数学复习策略 每一节课具体的做法是: (1)低起点------重视基础放低重心。 (2)小步子------脚踏实地举一反三 (3)快节奏------及时检侧及时补漏 (4)高效率------心志激励立竿见影

三、2012高三高考数学复习策略 举例说明:

平面解析几何复习策略

?学生感到解析几何难,一是难于没方法,二 是难于选出好的方法,三是难于计算. ?普遍的问题是“不择手段”盲目地做, ?方法选择得不合理,导致计算繁琐,再由于 计算不合理导致算不出或算错。 ?复习中,要提倡“多想一点,少算一点”, 有了方法以后要能够“预想几步结果”,避 免解题的盲目性和过分的模式化 ?好方法往往来源于对几何图形的最佳处理。

(一)、重视解析几何知识系统、方法研究

第一部分 文理兼修的必修2的第二章
平面解析几何

第二部分 理科选修2-1的第二章圆锥
曲线,文科选修1-1的第二 章圆锥曲线 第三部分 4-1不等式选讲;4-4极坐标 与参数方程

(一)、重视解析几何知识系统、方法研究
点 斜 式 直线方程的概 念与直线的斜 率 斜 截 式 两 点 式 一 般 式 平 行 相 交 重 合

直线方程的几 种形式

两条直线的位 置关系

点到直线的 距离

数轴上的基 本公式

直线的方程

直角坐标 系中的基 本公式 坐标系中 的基本公 式
圆 的 标 准 方 程 圆 的 一 般 方 程

平面解析几何
圆的方程
直线与圆的 位置关系

空间直 角坐标 系

空间直角坐 标系

空间两点的距 离公式

圆和圆的位 置关系

相 交

相 切

相 离

相 交

外 切
、、

内 切

外 离

内 含

(一)、重视解析几何知识系统、方法研究
椭圆及其标准方程 椭圆
椭圆的简单几何性质 双曲线及其标准方程 双曲线 双曲线的简单几何性质 圆 锥 曲 线 抛物线及其标准方程 抛物线 抛物线的简单几何性质 直线与圆锥曲线的位置关系

曲线与方程(理科)

(一)、重视解析几何知识系统、方法研究

坐标系与参数方程

坐标系

参数方程

空间中的 坐标系

平面上的 坐标系 极 坐 标 系

柱 坐 标 系

直 角 坐 标 系

球 坐 标 系

直 角 坐 标 系

互 化

直 和 的 数 程

线 圆 参 方 椭 圆 的 参 数 方 程

圆锥曲 线的参 数方程

摆线和 圆的渐 开线的 参数方 程 抛 物 线 的 参 数 方 程

曲线的极 坐标方程 直线和圆 的极坐标 方程

常见曲线的 极坐标方程

双 曲 线 的 参 数 方 程

(二)明确考纲内容变化
新增内容:空间直角坐标系;不等式选讲 极坐标系与参数方程. 删减内容:圆锥曲线的第二定义、圆锥曲线的统 一定义以及非标准形式的圆锥曲线方程不作基本 教学要求; 椭圆、双曲线的准线不要求掌握.

降低要求:根据已知条件求曲线的方程;双曲线
的定义及标准方程;双曲线的简单几何性质;

(三)、掌握10、11年高考解析几何题特点
1.陕西卷解析几何试题分布 2010高考文、理科在解析几何部分均考了两小一大 ,共27分. ★文科(9),★理科(8),★文科(14)、理科 (14)、★文科(15)、理科(15),★理科(20 ),★文科(20) 2011高考文、理科在解析几何部分均考了两小一大 ,共22分. ★文科(2),★理科(2),★文科(15)、理科 (15),★理科(17),★文科(17)

(三)、掌握10、11年高考解析几何题特点

(1)考查全面,涉及知识点较多: (2)重点知识重点考查,突出通性通法. (3) 注重基础知识的考查 (4)关注能力的发展:推理能力, 探究能力,计算能力等.

(四)解析几何复习建议
解析几何的本质是用代数的方法研究图形的几
何性质,体现了数形结合的重要数学思想.在坐标系 中研究几何问题,即坐标法,是研究解析几何的重 要方法. 通过坐标系,把点和坐标、曲线和方程联系 起来,实现数和形的统一. 在教学过程中,要始终贯

穿坐标法这一重要思想.

1、复习要关注理论基础

坐标法解决几何问题的三部曲: 第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方 程表示问题中涉及的几何元素,将平面几 何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题.第 三步,分析代数结果的几何含义,最终解 决几何问题.

2、复习要重视解析几何的方法研究
用代数方法解决几何问题 几何形 式的 已 知条件
(转化) 有关坐标、方 程的代数形式 的已知条件
经 计 算 变 形 求 解

解 析 几 何 的 基 本 思 路

应用解析几何的 工具、知识和重 要结论

几何形 式的所 求目标

(转化)

有关坐标、方 程的代数形式 的所求目标

3、强化解析几何的基本思想和方法

图形 问题

代 数 化 代数 形式

代数运算

几 何 化

代数 结果

几何 结论

4、一轮复习要细致,抓基础、抓落实
(1)构建知识框图,使学生形成条理的、系统的知识 体系
直线 l 的方程
? x ? x0 点P ( x0 , y0 )在直线l上 ? ? 是方程f ( x, y ) ? 0的解 y ? y0 ?

直 角 坐 标 系 中 直 线

f ( x, y ) ? 0

倾斜角?

? ?[ ? ) 0,

直线上点 的坐标

几何特征量

斜率k

k ? tan ? ?

y2 ? y1 x2 ? x1

直线倾

刻画直线 倾斜程度 及走向

方向向量

斜角 ? v ? (1, k ) ? 直线上点 v ? (cos ? , sin ? ) 的坐标 ? v ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

4、一轮复习要细致,抓基础、抓落实
1.构建知识框图,使学生形成条理的、系统的知识体系
倾斜角? [0, ? ) 斜率k=tan?
由直线特征确定方程

y ? y0 ? k ( x ? x0 )
特 殊 一 般 化

直描 线述 的直 几角 何坐 特标 征系 量下

方向向量

? v ? (1, k ) ? v ? (cos ? ,sin ? ) ? v ? (? B, A) ? n ? (k , ?1) ? n ? (sin ? , ? cos ? ) ? n ? ( A, B)

y ? kx ? b
直 线 的 方 程

Ax ? By ? C ? 0
y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1
特 殊

法向量

一 般 化

横、纵截距a,b

由方程读取直线特征

x y ? ?1 a b

4、一轮复习要细致,抓基础、抓落实
1.构建知识框图,使学生形成条理的、系统的知识体系
以直线方程为 直线的替代研 究对像

斜交

相交

两 直 线 位 置 关 系

唯一交点

垂直 k2 k1 ? ?1 A1 A2 ? B1B2 ? 0 判断 平行
无交点

k2 ? k1

A1B2 ? B1 A2

不重合 两直线

距离 d ?

C1 ? C2 A2 ? B 2
以直线方程反映出 的几何特征量作为 深入研究的基本量

重合
无数交点

存在?使f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y)

上述研究方法即坐标法:通过坐标系建立点与数对(坐标)一

4、一轮复习要细致,抓基础、抓落实
(1)、构建知识框图,使学生形成条理的、系统的知 识体系 (2)、题目的选择要注重基础
注重对概念、性质的考查,纠正学生的易混、易错点

4、一轮复习要细致,抓基础、抓落实

(2)、 题目的选择要注重基础
例 1 若直线 l : ax ? by ? 1 与圆 C: x ? y ? 1 有两个不同交点,则点 P(a,b)与
2 2

圆 C 的位置关系是( ) A.点在圆上 B.点在圆内

C.点在圆外

D.不能确定

例2

圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是( A. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?



1 2

B. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ?
2 2

1 2

C. ( x ? 3 ) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2

D. ( x ? 3 ) ? ( y ? 2) ? 2

4、一轮复习要细致,抓基础、抓落实

(2)、 题目的选择要注重基础
例 3 由直线 y ? x ? 1上的一点向圆 ( x ? 3) ? y ? 1 引切线,则切线长的最小
2 2

值为( A.1

) B. 2 2 C. 7 D. 3

例 4 圆 C 过点 A(-2,3)和 B(1,4) ,且与圆 M: ?

? x ? 2 cos? (?为参数) ? y ? 3 ? 2 sin ?

相交所截出的公共弦与直线 L:2x-3y-1=0 平行,求圆 C 的方程与公共弦所 在直线方程.

4、一轮复习要细致,抓基础、抓落实

(2)、 题目的选择要注重基础
2 2 例 1.设 F ,F2 分别是双曲线 x ? y ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在 1 2 2

a

b

点 A ,使 ?F1 AF2 ? 90? 且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为(



A.

5 2

B.

10 2

C.

15 2

D.

5

例 2.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率为 .

例 3. B1 , B2 是椭圆短轴两端点,O 为椭圆中心,过左焦点 F1 做长轴的垂线 交椭圆于 P,若 F1 B2 是 OF1 和 B1 B2 的等比中项,则 A.

| PF1 | =( | OB2 |
D.

)

2

B.

2 2

C.

3 2

2 3

5、建立常见的形与数的对应关系 1
(这是进行形数转化的基础和保障)

①点 A( x0 , y0 ) 在曲线 f ( x, y) ? 0 上 ? f ( x0 , y0 ) ? 0

②直线 Ax ? By ? C ? 0 与曲线 f ( x, y) ? 0 交于两点
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
?

( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 是方程组

? Ax ? By ? C ? 0 ? f ( x, y ) ? 0 的两组解 ?

5、建立常见的形与数的对应关系
(这是进行形数转化的基础和保障)

③若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则线段 AB 的长
?
( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ; OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ;
x ? x2 ? x0 ? 1 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? 0 ? 2

点 C ( x0 , y0 ) 是 AB 中点 ?

;点 C ( x0 , y0 ) 在 AB 上

? 存在 λ 使 ?

? x1 ? x0 ? λ( x0 ? x2 ) (或者在 AB 斜率存在时 y1 ? y0 ? λ( y0 ? y2 ) ?

k AC ? kCB )

5、建立常见的形与数的对应关系
(这是进行形数转化的基础和保障)

④点 C ( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离

d

? d ?

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

5、建立常见的形与数的对应关系
(这是进行形数转化的基础和保障)

(1)由数到形的转化首先注意数与数的转化(代数式的

化简与变形)——在于找到有明确几何含义的代数结构(这
有赖于变形目标的明确性)

(1)由数到形的转化首先注意数与数的转化
例 1 已知实数 x, y 满足 ( x ? 1)( x ? 5) ? y( y ? 8) ? 0 , 2x ? y 的取值范围是 则 _____________

解: ( x ? 1)( x ? 5) ? y( y ? 8) ? 0 是以 A(?1,0), B(5,8) 为直径端点的圆, 设 2x ? y ? m ,则 2x ? y 表示与圆有公共点的直线 2x ? y ? m 的纵截距,

| 2? 2 ? 4 ? m | ? 5, 由圆心到直线 2x ? y ? m 的距离不大于 5 得 5
解得 8 ? 5 5 ? m ? 8 ? 5 5 所以 2x ? y 的取值范围 8 ? 5 5 ? m ? 8 ? 5 5

(1)由数到形的转化首先注意数与数的转化
(1)由数到形的转化首先注意数与数的转化

例 2(2010 湖北理数 9)若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 有公共点,则
2

b 的取值范围是 A. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

?

?

C. ?1 ? 2 2,3?

?

?

D. ?1 ? 2,3?

?

?

【解析】 曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4(1 ? y ? 3) , 即表示圆心为 (2, 3)半径为 2 的半圆,依据数形结合,当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足 圆心(2,3)到直线 y=x+b 距离等于 2,解得 b ? 1 ? 2 2或b ? 1 ? 2 2 ,因为 是 下半圆故 可得 b ? 1 ? 2 2 (舍 ) ,当 直线过( 0, 3)时 ,解得 b=3,故
1 ? 2 2 ? b ? 3, 所以 C 正确.

5.建立常见的形与数的对应关系
(这是进行形数转化的基础和保障)

(1)由数到形的转化首先注意数与数的转化(代数式的

化简与变形)——在于找到有明确几何含义的代数结构(这
有赖于变形目标的明确性) (2)由形到数的转化首先注意形与形的转化(平面几何

知识与方法)——在于找到易于代数处理的形

(2)由形到数的转化要注意形与形的转化
建议对一些几何关系的描述做归纳整理,如: ①对“中点 C ( x0 , y0 ) ”的常见描述:点 C 为线段 AB 的中点; A, B 关于点 C 对
? ? ?? ? ? ?? ??? ??? ??? ? ? ? 称 ; A C? C B 2OC ? OA ? OB ; 以 弦 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 ;
( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2

??? ??? ? ? ②对“垂直”的常见描述: AB ? AC ; AB ? AC ? 0 ; | AB |2 ? | AC |2 ?| BC |2 ;

以线段 BC 为直径的圆过点 A ; C , D 两点关于直线 AB 对称 ③对“等线段”的常见描述:以 C 为圆心的圆过 A, B 两点;点 C 是线段 AB 中 垂线上一点; ?ABC 是以 C 为顶点的等腰三角形

(2)由形到数的转化要注意形与形的转化
例 3 已知 A, B 两点在抛物线 y ? ax ? 1 上,且关于直线 l 对称,直线 AB 交
2

直线 l 于点 M ? ? A. a ? ?

? ?

1 1 ? ,? ? ?a ? 0? ,则 a 的取值范围是( B ) a 2a ?
B. a ?

3 2

3 2

C. 0 ? a ? 2

D.

1 ?a?2 2

1 12 ? 1 1? 2 解法 1:点 M ? ? ,? ? 在抛物线 y ? ax ? 1 上方, ? ? a(? ) ? 1 , 即 2a a ? a 2a ?
3 即a ? 2

解法 2:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

2 ? x1 ? x2 ? ? ? ? y1 ? ax1 ? 1 ? a 由①得 ? 由②得 ? 2 ? y2 ? ax2 ? 1 ?y ? y ? ? 1 2 ? 1 a ?
2

y1 ? y2 ? a ( x

2 1

? x2

2

( x1 ? x2 ) 2 )?2 ? a ?2 2

即?

1 ?a a

(?

2 2 ) 3 a ? 2 ,即 a ? 2 2

解法 3:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,设 AB: y ? kx ? m 代入 y ? ax 则? ? k
2

2

? 1 化简得 ax 2 ? kx ? (m ? 1) ? 0

? 4a(m ? 1) ? 0 ,且 x1 ? x2 ?

k , 2a

2 ? x1 ? x2 ? ? ? 5 ? a 由 AB 中 点 为 M 可 得 ? , 所 以 k ? ?2, m ? ? ,代入 1 2a ?y ? y ? ? 2 ? 1 a ?
? ? k 2 ? 4a(m ? 1) ? 0 解得 a ?
3 2

6、理解几何对象的本质特征是实现几何问题代数化的基础
例 2 如图,已知圆 ( x ? 2) ? y ? 36 的圆心为 M,设 A 为圆上任
2 2

一点, N (2,0) ,线段 AN 的垂直平分线为 l,垂足 B ,l 交 MA 于点 P. 则 (1)点 B 的轨迹方程是_____________; (2)点 P 的轨迹方程是_____________.

评注:由几何关系与圆锥曲线定义先确定曲线类型(圆或椭圆) ,再考虑方程.

6.理解几何对象的本质特征是实现几何问题代数化的基础
例 6 点 P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点 F2 作∠F1PF2 外角平分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨迹是 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ( )

评注: (1)点 M 的轨迹是圆是以椭圆长轴长为直径的圆. (2)可以证明直线 MP 是椭圆过点 P 的切线.

6、理解几何对象的本质特征是实现几何问题代数化的基础
例7 若直线 l : ax ? y ? 2 ? 0 与连接点 A (?2,3) 和点 B(3, 2) 的 线段有公共点,求 a 的取值范围.
几何特征:A,B 两点必在直线 l : ax ? y ? 2 ? 0 两侧或其中一点在此直线上。 代数化: (?2a ? 3 ? 2) ? (3a ? 2 ? 2) ? 0 ,

4 5 解得: a ? ? 或 a ? 3 2

7、选择适当的代数化的形式
x2 例 1 设曲线 C: ? y 2 ? 1 与直线 y ? kx ? m 相交于不同的两点 M、N, 3
又点 A(0,-1) ,当 | AM |?| AN | 时,求实数 m 的取值范围.

分析:对于几何特征 AM ? AN 如果直接利用两点间距离公式去“代数 化” ,将使解题陷入困境( AM ? AN 直接代数化就过度了). 如何使用 AM ? AN 呢?可以考虑利用等腰三角形三线合一的方法, 即 等腰、中点、垂直(相当于把 AM ? AN 的几何性质分解开使用).

7、选择适当的代数化的形式
?y ? kx? m ? 2 2 2 解:由 ? x 2 得 (3k ? 1) x ? 6mkx ? 3(m ? 1) ? 0 . ? y2 ? 1 ? ?3
由于直线与椭圆有两个交点,所以 ? ? 0 ,即 m ? 3k ? 1 ----①
2 2

(1)当 k ? 0 ,设 P 为弦 MN 的中点,

xM ? x N m 3mk ?? 2 ∴ xP ? . 从而 y P ? . 2 2 3k ? 1 3k ? 1
∴ k AP

m ? 3k 2 ? 1 ?? . 3mk

又 AM ? AN ,∴AP⊥MN.

m ? 3k 2 ? 1 1 ? ? ,即 2m ? 3k 2 ? 1 -----② 因为 MN 的斜率为 k,所以 ? 3mk k
把②代入①得 2m ? m 解得 0 ? m ? 2 .
2

2m ? 1 由②得 k ? ? 0. 3 1 1 解得 m ? . 故所求 m 的取值范围是 ( , 2) . 2 2
2

(2)当 k=0 时(直线平行于 x 轴) ,因为 AM = AN ,∴ AP ? MN ,

m 2 ? 3k 2 ? 1 为 m < 1 (k=0) ,解得 ? 1 ? m ? 1.
2

故所求 m 的取值范围是 (- 1, 1)

8、在代数方程中“读出”几何意义,是解析几何复习中关键问题
例 1 直线 ax ? by ? b ? a ? 0 与圆 x ? y ? x ? 2 ? 0 的位置关系是
2 2

解: 直线方程为:a( x ? 1) ? b( y ? 1) ? 0 , 所以几何特征为: 恒过点 (1, - 1)

而圆 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 2

5 3 9 1 ? , ,圆心 ( ,0) 到点 (1,?1) 的距离为 2 2 4 2

所以,直线与圆相交。

评注:数形结合的思想首先就是要时时刻刻要有对代数式做出几何解释 的意识和对几何关系代数化的意识. 其次是手中有方法并且勤于观察.

8、在代数方程中“读出”几何意义,是解析几何复习中关键问题
x2 y2 例 2 已知,椭圆 ? ? 1 的左右焦点分别 16 9
为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P, F1 , F2 是一个直 角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为

哪个角是直角?
7 为半径的

错解:根据题意, PF1 ? PF2 ,则点 P 是以原点为圆心, c ?

x2 y2 9 7 ? ? 1得 y ? ? 圆上点.联立 x ? y ? 7 与 . 7 16 9
2 2

则点 P 到 x 轴的距离为

9 7 7

x2 y2 错因分析: 实际上, 要分析代数形式 ? ? 1 的几何含义: 2 ? 9 ? 7 ? c 2 b 16 9 x2 y2 2 2 ? ? 1 的内部. 故 x ? y ? 7 在椭圆 16 9
? x2 y2 ? ?1 9 9 ? 解: ? 16 得 y ? ? ,则点 P 到 x 轴的距离为 9 4 4 ?x ? ? 7 ?

评注:事实上错解是没有考虑直角顶点的位置,没有根据几何条件对几何 图形进行整体把握 .

9、精选典型例题,总结常见问题的基本解法

定义法、待定系数法、直接法、动点转移法、参 数法等;利用直接法的基本步骤:建系设点、列式 代换、化简检验. 当已知曲线类型求曲线方程时, 可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤.

9、精选典型例题,总结常见问题的基本解法

AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 1 ? k 2 ? x2 ? x1

? (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ]
2 2

1 ? 1 ? 2 ? y2 ? y1 ? k

1 (1 ? 2 ) ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] k

9、精选典型例题,总结常见问题的基本解法
3.直线与圆的位置关系(几何法、代数法),恰当 的运用与半径有关的两个直角三角形

9、精选典型例题,总结常见问题的基本解法
4.中点问题常用“点差法”设而不求
直线与椭圆锥曲线相交,设交点坐标 M ( x1 , y1 )、 ( x2 , y2 ) , N 线段 MN 的中点 P
( x0 , y0 ) 与所在直线的斜率 k.

将交点坐

标代入圆锥曲线方程,作差分解
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0 ,当 x1 ? x2 时,代入中点 a2 b2
x ? x2 ? x0 ? 1 ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? 0 ? 2

和 斜 率

k?

y1 ? y2 x1 ? x2

, 有

x0 ky0 ? 2 ?0 a2 b

( 即

kMN ? kOP

y0 b2 ?k? ?? 2 ) x0 a

9、精选典型例题,总结常见问题的基本解法
5.向量条件的几何与代数转化
向量条件
??? 1 ??? ??? ? ? ? OP ? (OA ? OB) 2

几何关系 P 为线段 AB 的中 点 OA 垂直
x0 ?

坐标表示

??? ??? ? ? 或 AP ? PB

x1 ? x2 y ? y2 , y0 ? 1 2 2

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? OB ? 0 或 OA ? OB ? m

OB 与夹 角有关

x1 x2 ? y1 y2 ? 0

或 x1 x2 ? y1 y2 ? m

??? ? ??? ? AF ? ? FB

F 分有向

c ? x1 ? ? ( x2 ? c ); ? y1 ? ? y2

9、精选典型例题,总结常见问题的基本解法
6.面积问题

三角形面积计算公式: S ?

1 1 ah ? ab sin C , 2 2

注意转化,比如四边形面积转化为三角形计算,三 角形转化为以坐标轴上的线段为底的两个三角形 面积和(或差)

9、精选典型例题,总结常见问题的基本解法
7.范围与最值
利用已知条件建立函数或不等式关系,运用函数或 不等式知识解决

8.三点共线问题
一般通过斜率相等或点在线上来证明

10、复习中要引导学生优选解题方法
?学生感到解析几何难,一是难于没方法, 二是难于选出好的方法,三是难于计算. ?普遍的问题是“不择手段”盲目地做, ?方法选择得不合理,导致计算繁琐,再由 于计算不合理导致算不出或算错。 ?复习中,要提倡“多想一点,少算一点”, 有了方法以后要能够“预想几步结果”, 避免解题的盲目性和过分的模式化

要注意对学生运算技能的训练,提高学生对运算的 心理承受力

要注意对学生运算技能的训练,提高学生对运算的 心理承受力

直线与圆锥曲线位置关系、圆锥曲线的综合问题 (与平面向量、导数(函数)、数列)应该是第二轮复
习的重点
通过直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的综 合问题解答题的训练,重在培养学生数学思维能力和 数学思想方法,培养学生严谨、规范、认真的学习习 惯和坚韧不拔的毅力.

设直线的斜率为 k 之前,是否考虑直线有没有斜率? 对消元后的二次型方程在运用判别式之前是否确认二次项 系数不为零?在写出 x1 ? x2 ? f (k ) , x1 x2 ? g (k ) 之前是否确认 ? ? 0 ?等等.

直线与圆锥曲线位置关系、圆锥曲线的综合问题(与平面
向量、导数(函数)、数列)应该是第二轮复习的重点

以直线 l : y=kx+m 与椭圆 C:

x2 y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 为例 a2 b

首先确定直线的斜率不存在时是否满足题意;
? y ? kx ? m, ? 2 y2 然后联立方程组 ? x ? 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0). b ?a

通过研究

该方程组解的个数确定直线与圆锥曲线的位置关 系. 具体程序如下:

直线与圆锥曲线位置关系、圆锥曲线的综合问题(与平面向
量、导数(函数)、数列)应该是第二轮复习的重点

第一步:消去一个未知数(例如消去 y) ,得到一个形如 Ax 2 ? Bx ? C ? 0 的方程; 第二步:判断二次项系数 A 是否为零? 第三步:若 A?0 ,计算 ? ? B 2 ? 4 AC ,从而确定直线与圆锥 曲线的某些位置关系.
2 第四步:当 ? ? B ? 4 AC ? 0 时,直线与圆锥曲线有两

个交点 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) 且满足

x1 ? x2 ? ?

B , A

x1 x2 ?

C , A

利用它们进一步研究解析几何的基本问题

在第二轮复习中适当增加创新题 (特别是客观题)
例 1(2011 理科第 14 题)曲线 C 是平面内与两个定点
F1 (-1,0)和 F2 (1,0)的距离的积等于常数 a 2 (a ? 1)

的点的轨迹.给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C
1 2 上,则△F 1 PF 2 的面积大于 a . 2

其中,所有正确结论的序号是

在第二轮复习中适当增加创新题 (特别是客观题)
(六)在第二轮复习中适当增加创新题 (特别是客观题)
如图,设 A ? m, n ? , P ? x, x ? 1? , 则 B ? 2m ? x, 2n ? x ? 1? , ∵ A, B在y ? x 2上 ,
? n ? m 2, ∴? 2n ? x ? 1 ? (2m ? x ) 2 . ?

消去 n,整理得关于 x 的方程 x 2 ? (4m ? 1) x ? 2m2 ? 1 ? 0 ∵ ? ? (4m ? 1)2 ? 4(2m2 ? 1) ? 8m2 ? 8m ? 5 ? 0 恒成立, ∴方程(1)恒有实数解,∴应选 A.

强化教学中的“五点”意识。 即练重点,补弱点,析难点,纠错点, 扫盲点。选题、编题都要紧紧围绕高考“热 点”和学生的“错点”,使学生练有所获, 评有所悟。 教师要树立一切教学活动都要服务于学生, 要把学习的主动权放给学生,注意对学生进 行分层次的学法指导,指点学生找出每次练 习和测试中因非智力因素造成的失分点,并 对这些失分点进行归类记录,让学生明确这 些低级“失分点”就是高考卷面成绩的“增 长点”

重视解题后的反思策略 (ⅰ)对审题的反思 (ⅱ)对解题思维过程的反思 (ⅲ)对解法多样化的反思 (ⅳ)对题目本身及解法本身所存在 的规律的反思 含参数的不等式恒成立、能成立、 恰成立问题 (ⅴ)对题目变化的反思

解题失误的“八道防线”
1、防审题错误 2、防手忙脚乱 3、防草率收兵 4、防掉入陷阱 5、防不求甚解 6、防思维僵化 7、防概念不清 8、防过程紊乱

谢谢聆听! 欢迎批评指正!


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