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广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学文试题(含解析)


华附、省实、广雅、深中 2013 届高三上学期期末四校联考 数学(文科)
本试卷分选择题和非选择题两部分,共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题 1.设集合 P ? ?3, log 2 a? , Q ? ?a, b? ,若 P ? Q ? ?0? ,则 P ? Q ? ( (A){3,0} (B){3,0,2} (C){3,0,1} (D

){3,0,1,2} )

解:深圳中学 2013 届物理计算题增分专练 说明:本卷汇编有 60 道各省市的高考模拟计算题,分有 12 套小卷。以思维训练,稳中求变为选题与 训练之准则, 在思维发散上略有侧重。 且少数题目属于考纲盲区, 并无刻意把握广东试题的出题模式。 建议每套题目在 80 分钟内完成。 1. 为了测量小木板和斜面间的摩擦因数,某同学设计如图所示实验,在小木板上固定一个轻弹簧, 弹簧下端吊一个光滑小球,弹簧长度方向与斜面平行,现将木板连同弹簧、小球放在斜面上,用手固 定木板时,弹簧示数为 F ,放手后,木板沿斜面下滑,稳定后弹簧示数为 F ,测得斜面斜角为θ , 则木板与斜面间动摩擦因数为多少?(斜面体固定在地面上) 解析:固定时示数为 F ,对小球 F =mgsinθ 整体下滑: (M+m)sinθ -μ (M+m)gcosθ =(M+m)a 下滑时,对小球:mgsinθ -F =ma 由式①、式②、式③得 μ = tan θ 2.如图 10 所示,abcd 是一个正方形的盒子,在 cd 边的中点有一小孔 e,盒子中存在着沿 ad 方向的 匀强电场,场强大小为 E。一粒子源不断地从 a 处的小孔沿 ab 方向向盒内发射相同的带电粒子,粒 子的初速度为 v0,经电场作用后恰好从 e 处的小孔射出。现撤去电场,在盒子中加一方向垂直于纸 面的匀强磁场,磁感应强度大小为 B(图中未画出) ,粒子仍恰好从 e 孔射出。 (带电粒子的重力和粒 子之间的相互作用力均可忽略) (1)所加磁场的方向如何?(2)电场强度 E 与磁感应强度 B 的比值为 多大? ② ③ ①

第(1)问 8 分,第(2)问 6 分,第(3)问 6 分,共 20 分 解: (1)U 型框向右运动时,NQ 边相当于电源,产生的感应电动势 当如图乙所示位置时,方框 bd 之间的电阻为 U 型框连同方框构成的闭合电路的总电阻为

闭合电路的总电流为 根据欧姆定律可知,bd 两端的电势差为: 方框中的热功率为 (2)在 U 型框向右运动的过程中,U 型框和方框组成的系统所受外力为零,故系统动量守恒,设 到达图示位置时具有共同的速度 v,根据动量守恒定律 解得: 根据能量守恒定律,U 型框和方框组成的系统损失的机械能等于在这一过程中两框架上产生的热 量,即

(3)设 U 型框和方框不再接触时方框速度为 ,U 型框的速度为 ,根据动量守恒定律,有 两框架脱离以后分别以各自的速度做匀速运动,经过时间 t 方框最右侧和 U 型框最左侧距离为 s,即 联立以上两式,解得: ; (以上答案供参考,符合题意的其它合理答案均给分) 深圳中学 2013 届物理计算题增分专练 说明:本卷汇编有 60 道各省市的高考模拟计算题,分有 12 套小卷。以思维训练,稳中求变为选题与 训练之准则, 在思维发散上略有侧重。 且少数题目属于考纲盲区, 并无刻意把握广东试题的出题模式。 建议每套题目在 80 分钟内完成。 1. 为了测量小木板和斜面间的摩擦因数,某同学设计如图所示实验,在小木板上固定一个轻弹簧, 弹簧下端吊一个光滑小球,弹簧长度方向与斜面平行,现将木板连同弹簧、小球放在斜面上,用手固 定木板时,弹簧示数为 F ,放手后,木板沿斜面下滑,稳定后弹簧示数为 F ,测得斜面斜角为θ , 则木板与斜面间动摩擦因数为多少?(斜面体固定在地面上) 解析:固定时示数为 F ,对小球 F =mgsinθ 整体下滑:(M+m)sinθ -μ (M+m)gcosθ =(M+m)a 下滑时,对小球:mgsinθ -F =ma 由式①、式②、式③得 μ = tan θ 2.如图 10 所示,abcd 是一个正方形的盒子,在 cd 边的中点有一小孔 e,盒子中存在着沿 ad 方向的 匀强电场,场强大小为 E。一粒子源不断地从 a 处的小孔沿 ab 方向向盒内发射相同的带电粒子,粒 子的初速度为 v0,经电场作用后恰好从 e 处的小孔射出。现撤去电场,在盒子中加一方向垂直于纸 面的匀强磁场,磁感应强度大小为 B(图中未画出),粒子仍恰好从 e 孔射出。(带电粒子的重力和 粒子之间的相互作用力均可忽略)(1)所加磁场的方向如何?(2)电场强度 E 与磁感应强度 B 的比 值为多大? ② ③ ①

第(1)问 8 分,第(2)问 6 分,第(3)问 6 分,共 20 分 解: (1)U 型框向右运动时,NQ 边相当于电源,产生的感应电动势 当如图乙所示位置时,方框 bd 之间的电阻为 U 型框连同方框构成的闭合电路的总电阻为

闭合电路的总电流为 根据欧姆定律可知,bd 两端的电势差为: 方框中的热功率为 (2)在 U 型框向右运动的过程中,U 型框和方框组成的系统所受外力为零,故系统动量守恒,设 到达图示位置时具有共同的速度 v,根据动量守恒定律 解得: 根据能量守恒定律,U 型框和方框组成的系统损失的机械能等于在这一过程中两框架上产生的热 量,即

(3)设 U 型框和方框不再接触时方框速度为 ,U 型框的速度为 ,根据动量守恒定律,有 两框架脱离以后分别以各自的速度做匀速运动,经过时间 t 方框最右侧和 U 型框最左侧距离为 s,即 联立以上两式,解得: ; (以上答案供参考,符合题意的其它合理答案均给分) (A)

1 3

(B)

3 3

(C)

2 2

(D)

1 2

? 2 m ?a ? 2 x y m 1 ? 解:由题 ? ?1? ? ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? ? e 2 ? ,故选 B。 m m 6 3 ?b 2 ? m ? 2 3 3 ?
2 2

10. 已知点 P ( x, y ) 为曲线 y ? x ? A. ?? 3,?? ? 解:由题: k AP ?

1 上任一点, A(0,4) , 点 则直线 AP 的斜率 k 的取值范围是 ( x
C. ?? 2,?? ? D. ?1,?? ?



B. ?3,?? ?

y?4 4 1 1 ? 1 ? ? 2 ? ( ? 2) 2 ? 3 ? ?3 ,故选 A。 x x x x

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中第 14、15 题是选做题,考生只能选做 其中一题,两题全答的,只计算前一题的得分.)

11.已知 e1 , 2 是夹角为 60 0 的两个单位向量, e

开始

且向量

a ? e1 ? 2e2 ,则 a ? ___________。
解:由题, e1 ? 1 , e 2 ? 1 , e1 ? e2 ?
2 2

输入 x

2

2

1 ,所以 2



x ?1



a ? (e1 ? 2e2 ) ? 1 ? 2 ? 4 ? 7 ? a ? 7
12.执行由图中的算法后,若输出的 y 值大于 10,

y ? x?8 y ? x ? 13
则输入

x 的取值范围是
解:由题 y ? ?



? x ? 8, x ? 1 ,因此 ? x ? 13, x ? 1
输出

?x ? 1 ?x ? 1 或? ? ? x ? 8 ? 10 ? x ? 13 ? 10
解之得: x ? 2 或 ? 3 ? x ? 1 所以 x ? (?3,1) ? (2,??)

y

结束

13.在 ?ABC 中,若 A ? 60 0 , B ? 75 0 , c ? 6 ,则 a ? ___________;

解:由题得, C ? 45 0 ,由正弦定理

a c ? ?a?3 6 sin A sin C

14. (坐标系与参数方程)在极坐标中,圆 ? ? 4 cos ? 的圆心 C 到直线 ? sin(? ? 为 .
2 2

?
4

) ? 2 2 的距离

解:在直角坐标系中,圆: x ? y ? 4 x ,圆心 C (2,0) ,直线: x ? y ? 4 ,所以,所求为 2 15.(几何证明选讲)如图所示,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D , CD ? 4, BD ? 8 ,则圆

O 的半径等于



解:由题: ?ACB ∽ ?CDB ,得 所以, AB ? 10 ? r ? 5

AB BC ,又 BC 2 ? 80 ? BC BD

三、解答题

2,? , 15. (本题满分 12 分)数列 ?an ? 中,a1 ? 2 ,an ?1 ? an ? cn( c 是常数,n ? 1, 3, ) 且 a1,a2,a3
成公比不为的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式. 解:(I) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c ,因为 a1 , a2 , a3 成等比数列, 所以 (2 ? c) ? 2(2 ? 3c) ,解得 c ? 0 或 c ? 2 .
2

当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于

a2 ? a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 2 ? 2 ,

??
an ? an ?1 ? 2(n ? 1) ,
以上 n ? 1 个式叠加,得 an ? a1 ? 2[1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)] ? n(n ? 1) . ? an ? 2 ? n(n ? 1) ? n 2 ? n ? 2(n ? 2, ?) . 3, 当 n ? 1 时,上式也成立,故 an ? n 2 ? n ? 2(n ? 1, 2, ?) 3, 16. (本题满分 12 分)已知 A 、 、 的坐标分别为 A(3,0) , (0,3) , (cos ? , sin ? ) , ? ( B C ? B C (Ⅰ)若 OC // AB , O 为坐标原点,求角 ? 的值;

? 3?
2 , 2

).

(Ⅱ)若 AC ? BC ,求

1 ? 2 sin( 2? ? 1 ? tan ?

?

) 4 的值.

解:依条件有 AC ? (cos ? ? 3, sin ? ) , BC ? (cos ? , sin ? ? 3) (Ⅰ)由 OC // AB ,得 (cos ? , sin ? ) //( ?3,3) ? ?3 cos ? ? 3 sin ? ? 0 , 所以, tan ? ? ?1 ,∵ ? ? (

? 3?
2 , 2

) ,∴ ? ?

3? . 4
得 cos ? (cos ? ? 3) ? sin ? (sin ? ? 3) ? 0 , 解 得

(Ⅱ) 由 AC ? BC 得 AC ? BC ? 0 ,

1 8 sin ? ? cos ? ? , 两边平方得 2 sin ? cos ? ? ? , 3 9

1 ? 2 sin( 2? ?
所以,

?

1 ? tan ?

) 2 4 ? sin 2? ? 1 ? cos 2? ? 2 sin ? cos ? ? 2 sin ? ? cos ? sin ? cos ? ? sin ? 1? cos ?
8 9

因此,原式 ? 2 sin ? cos ? ? ?

17. (本题满分 14 分)设不等式组 ?

?0 ? x ? 6 ?0 ? x ? 6 表示的区域为 P ,不等式组 ? 表示的区域为 ?0 ? y ? 6 ?x ? 2 y ? 0

Q.
(1)在区域 P 中任取一点 ( x, y ) ,求点 ( x, y ) ? Q 的概率;

C (2)若 x , y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点 ( x, y ) ? QB 的概率.
解:(1)这是一个几何概型,如图,

y

P[( x, y ) ? B] ?

S ?OAD S OABC

1 ?6?3 1 ? 2 ? 6?6 4

O

A D

x

(2)这是一个古典概型,基本事件数为 36,其中满足 ( x, y ) ? B 的基本事件数有 9 个, 所以, P[( x, y ) ? B ] ?

9 1 ? 36 4
V

18. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 V ? ABC 中,VC ⊥ 底 面 ABC , AC ⊥ BC , D 是 AB 的 中 点 , 且

AC ? BC ? a , ?VDC ? 45 0 。
(I)求证:平面 VAB ⊥ 平面 VCD ; C (II)求异面直线 VD 和 BC 所成角的余弦. B 解:(Ⅰ)∵ AC ? BC ? a ,∴△ ACB 是等腰三角形,又 D D 是 AB 的中点, A ∴ CD ? AB ,又 VC ? 底面 ABC .∴VC ? AB .因 VC , CD ? 平面 VCD ,∴ AB ? 平面 VCD .又 AB ? 平面 VAB ,∴平面 VAB ? 平面 VCD . (Ⅱ) 过点 D 在平面 ABC 内作 DE // BC 交 AC 于 E ,则 ?VDE 就是异面直线 VD 和 BC 所成的 角或其补角.

在 ?ABC 中, AB ?

2a ? CD ?

2 2 a ,又 ?VDC ? 45 0 ? VC ? a ? VD ? a ; 2 2

在 ?VDE 中, VD ? a , DE ?

1 a , VE ? 2
2 2

a2 a2 3 ? ? a 4 2 2

所以, cos ?VDE ?

VD ? DE ? VE ? 2VD ? DE
2

a2 ?

a 2 3a 2 ? 4 4 ?1 1 2 2a ? a 2

所以,所求为

1 2
2

19. (本题满分 14 分)若 A 、 B 是抛物线 y ? 4 x 上的不同两点,弦 AB (不平行于 y 轴)的垂直平 分线与 x 轴相交于点 P ,则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.; (I)求点 P (4,0) 的“相关弦”的中点的横坐标; (II)求点 P (4,0) 的所有“相关弦”的弦长的最大值。 解:(I)设 AB 为点 P (4,0) 的任意一条“相关弦”,且点 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则
2 y12 ? 4x1 , y 2 ? 4x 2

弦 AB 的垂直平分线方程为 y ?

y1 ? y 2 x ? x2 x ? x2 ?? 1 (x ? 1 ), 2 y1 ? y 2 2

由题它与 x 轴相交于点 P (4,0) 令y ?0? 4?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? 2 x1 ? x 2 2

所以, 4 ?

4( x1 ? x 2 ) x1 ? x 2 x ? x2 x ? x2 ? ? 4 ? 2? 1 ? 1 ?2 2( x1 ? x 2 ) 2 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可设中点为 (2, y m ) ,这里 y m ?

y1 ? y 2 2

直线 AB 的斜率 k ?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 4 2 ,所以 ? 2 ? ? 2 x1 ? x 2 y1 ? y 2 y m y1 y 2 ? 4 4

弦 AB 所在直线的方程是 y ? y m ?

2 2 4 ( x ? 2) ? y ? x ? ( ym ? ) ,代入 y 2 ? 4 x 中, ym ym ym

整理得

4 2 16 4 2 4 2 2 x ? 2 x ? ( ym ? ) ? 0 ? 4 x 2 ? 16 x ? y m ( y m ? ) ? 0 (*) 2 ym ym ym ym
2 ym ( ym ?

则 x1、x2 是方程(*)的两个实根,且 x1 ? x 2 ? 4 , x1 x 2 ? 设点 P (4,0) 的“相关弦” AB 的弦长为,则

4 2 ) ym

4

l 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

l 2 ? (1 ?

4 4 4 4 2 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? 2 )[16 ? y m ( y m ? ) ] 所 以 , 2 ym ym ym ym

4 2 2 l 2 ? ? y m ? 4 y m ? 32 ? ?( y m ? 2) 2 ? 36 ,所以, l min ? 6

20. (本题满分 14 分)已知定义域为 [0,1] 的函数 f (x) 同时满足: (1)对于任意 x ? (0,1) ,总有 f ( x) ? 0 ; (2) f (1) ? 1 ; (3)若 x1 ? 0 , x 2 ? 0 , x1 ? x 2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ; (Ⅰ)证明 f (x) 在 [0,1] 上为增函数; (Ⅱ)若对于任意 x ? [0,1] ,总有 4 f ( x) ? 4(2 ? a ) f ( x) ? 5 ? 4a ? 0 ,求实数 a 的取值范围;
2

(Ⅲ)比较 f (

1 2 n ? 3 ? ? ? n ?1 ) 与 1 的大小,并给与证明; 2 2 2 2

解:(Ⅰ)设 0 ? x1 ? x 2 ? 1 ,则 x 2 ? x1 ? (0,1)

? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? f [( x 2 ? x1 ) ? x1 ] ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ? x1 ) ? 0
即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) 故 f (x) 在[0,1]上是单调递增的

(Ⅱ)因 f ( x) 在 x ? [0,1] 上是增函数,则 f ( x) ? f (1) ? 1 ? 1 ? f ( x) ? 0 ,

当 f ( x) ? 1 时,容易验证不等式成立;当 f ( x) ? 1 时,则 ( 4 f ( x) ? 4(2 ? a ) f ( x) ? 5 ? 4a ? 0 ? a ?
2

4 f 2 ( x) ? 8 f ( x) ? 5 对 x ? [0,1] 恒成立, 4 ? 4 f ( x)

4 f 2 ( x) ? 8 f ( x) ? 5 1 ? 1 ? f ( x) ? ? 1 ,从而则 a ? 1 设y? 4 ? 4 f ( x) 4[1 ? f ( x)]
综上,所求为 a ? (??,1] ;

1 2 3 n ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ----------①,则 2 2 2 2 2 1 S ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n --------------②, 2 n 23 2 4 25 2 n?2 由①-②得, 1 S ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? n ,即, 2 n 2 2 23 2 4 2 n ?1 2 n ? 2 n n S n ? 1 ? 12 ? 13 ? ? ? 1n ? n ?1 = 1 ? 1n ? n ?1 ? 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 n 所以 f ( 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ) ? f (1) ? 1 2 2 2
(Ⅲ)令 S n ?


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