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利用基本不等式求最值的类型及方法


利用基本不等式求最值的类型及方法
一、几个重要的基本不等式: ① a 2 ? b 2 ? 2ab ? ab ?

解析: y ? x ?

1 1 x ?1 x ?1 1 ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ? 1( x ? 1) ? ? ? ? 1( x ? 1) 2 2 2( x ? 1) 2( x ? 1) 2 2

2( x ? 1)2
3 5 x ?1 x ?1 1 ? ? ?1 ? ? 1 ? , 2 2 2 2 2 2( x ?1) 5 x ?1 1 ? ( x ? 1) 即 x ? 2 时,“=”号成立,故此函数最小值是 。 2 2 2 2( x ? 1)

a ?b 当且仅当 a = b 时,“=”号成立; (a、b ? R), 2
2 2

? 33

② a ? b ? 2 ab ? ab ? ?

?a?b? ? 当且仅当 a = b 时,“=”号成立; ? (a、b ? R ), ? 2 ?

2

当且仅当

评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常 要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。 类型Ⅱ:求几个正数积的最大值。 例 2、求下列函数的最大值: ① y ? x (3 ? 2 x )(0 ? x ?
2

③ a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? abc ?

a3 ? b3 ? c3 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立; (a、b、c ? R ? ), 3
3

?a?b?c? ? ④ a ? b ? c ? 3 abc ? abc ? ? ? (a、b、c ? R ) , 当且仅当 a = b = c 时,“=”号成立. 3 ? ?
3

3 ) 2

② y ? sin x cos x(0 ? x ?
2

?
2

)

注:① 注意运用均值不等式求最值时的条件:一“正”、二“定”、三“等”; ② 熟悉一个重要的不等式链:

解析:①

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a 2 ? b2 。 2


3 ,∴3 ? 2 x ? 0 , 2 3 x ? x ? (3 ? 2 x) 3 2 ] ? 1, ∴ y ? x (3 ? 2 x)(0 ? x ? ) ? x ? x ? (3 ? 2 x) ? [ 2 3 当且仅当 x ? 3 ? 2 x 即 x ? 1 时,“=”号成立,故此函数最大值是 1。 0? x? 0? x?
2

b 二、函数 f ( x) ? ax ? ( a、b ? 0) 图象及性质 x
(1)函数 f ( x) ? ax ?

?
2

,∴sin x ? 0, cos x ? 0 ,则 y ? 0 ,欲求 y 的最大值,可先求 y 2 的最大值。

y
? b 2 ab a

b ?a、b ? 0? 图象如图: x b ?a、b ? 0? 性质: x

1 sin 2 x ? sin 2 x ? 2cos2 x 3 4 1 2 2 2 2 2 2 ? (sin x ? sin x ? 2cos x ) ? ?( ) ? , ? sin x ? sin x ? cos x y ? sin x ? cos x 2 2 3 27
2 4

o
? 2 ab

x
b a

2 2 当且仅当 sin x ? 2cos x (0 ? x ?

?
2

) ? tan x ? 2 ,即 x ? arc tan 2 时 “=”号成立,故

(2)函数 f ( x) ? ax ?

此函数最大值是

①值域: (??,?2 ab] ? [2 ab,??) ; ②单调递增区间: (??, ?

2 3 。 9

b b ],[ , ??) ;单调递减区间: (0, a a

b b , 0) . ] , [? a a

评析:利用均值不等式求几个正数积的最大值,关键在于构造条件,使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ:用均值不等式求最值等号不成立。

三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ:求几个正数和的最小值。 例 1、求函数 y ? x ?

1 ( x ? 1) 的最小值。 2( x ? 1) 2

4 (0 ? x ? 1) 的最小值。 x b 解 法 一 :(单调性 法) 由函 数 f ( x) ? ax ? ( a、b ? 0) 图象及 性质 知, 当 x ? (0,1] 时,函数 x 4 f ( x) ? x ? 是减函数。证明:任取 x1 , x2 ? (0,1] 且 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 x
? 例 3、若 x、y? R ,求 f ( x) ? x ?

1

2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? (

x ?x x x ?4 4 4 , ? ) ? ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ? 4 ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , x1 x2

当且仅当 x ? 8 ?

16 即 x ? 12, 此时y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。 x ?8

∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,∴ x1 ? x2 ? 0, 即 f ( x) ? x ?

4 4 在 (0,1] 上是减函数。故当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 在 (0,1] 上有最小值 5。 x x 4 2 ?( ? x )2 ? 4 , x x

?8 8 ? ? sin 2 x x? ? ? x ? sin 2 x 解法三:(三角换元法)令 ? 则有 ? ? 1 ? 1 ? cos 2 x ?y ? ? ?y cos 2 x ? ?
则: x ? 2 y ?

解法二:(配方法)因 0 ? x ? 1 ,则有 f ( x) ? x ?

8 2 ? 2 ? 8csc2 x ? 2sec2 x ? 8(1 ? cot 2 x) ? 2(1 ? tan 2 x) ? 10 ? 8cot 2 x ? 2tan 2 x 2 sin x cos x

? 10 ? 2 (8cot 2 x) ? (2 tan 2 x) ? 18 ,易求得 x ? 12, 此时y ? 3 时“=”号成立,故最小值是 18。
评析:此类问题是学生求解易错得一类题目,解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法:

易知当 0 ? x ? 1 时, ? ? 即 f ( x) ? x ?

2 2 ? x ? 0 且单调递减,则 f ( x) ? ( ? x )2 ? 4 在 (0,1] 上也是减函数, x x

4 4 在 (0,1] 上是减函数,当 x ? 1 时, f ( x) ? x ? 在 (0,1] 上有最小值 5。 x x
4 1 3 1 3 (0 ? x ? 1) ? ( x ? ) ? ? 2 x ? ? ? 5 , x x x x 1

8 1 8 1 x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 2 ? ? x ? 2 y ? 8 。原因就是等号成立的条件不一致。 x y x y
类型Ⅴ:利用均值不等式化归为其它不等式求解的问题。 例 5、已知正数 x、 y 满足 xy ? x ? y ? 3 ,试求 xy 、 x ? y 的范围。 解法一:由 x ? 0, y ? 0 ,则 xy ? x ? y ? 3 ? xy ? 3 ? x ? y ? 2 xy , 即 ( xy ) ? 2 xy ? 3 ? 0 解得
2

解法三:(拆分法) f ( x) ? x ?

当且仅当 x ? 1 时“=”号成立,故此函数最小值是 5。 评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法具有一般性,配方法及拆分法 也是较为简洁实用得方法。 类型Ⅳ:条件最值问题。 例 4、已知正数 x、y 满足

xy ? ?1 (舍)或 xy ? 3 ,

当且仅当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 又 x ? y ? 3 ? xy ? (

8 1 ? ? 1 ,求 x ? 2 y 的最小值。 x y
8 x 1 y x 16 y x 16 y ? ? 10 ? 2 ? ? 18 , y x y x

x? y 2 ) ? ( x ? y)2 ? 4( x ? y) ?12 ? 0 ? x ? y ? ?2(舍)或x ? y ? 6 , 2

解法一:(利用均值不等式) x ? 2 y ? ( ? )( x ? 2 y) ? 10 ?

当且仅当 x ? y且xy ? x ? y ? 3 即 x ? y ? 3 时取“=”号,故 x ? y 的取值范围是 [6, ??) 。 解法二:由 x ? 0, y ? 0 , xy ? x ? y ? 3 ? ( x ? 1) y ? x ? 3 知 x ? 1 , 则: y ?

?8 1 ?x ? y ?1 当且仅当 ? 即 x ? 12, y ? 3 时“=”号成立,故此函数最小值是 18。 ? ? x ? 16 y ? x ?y
解法二:(消元法)由

x?3 x?3 ? 0 ? x ?1, ,由 y ? 0 ? x ?1 x ?1

x x 8 1 ? 0又x ? 0 ? x ? 8 ,则 ,由 y ? 0 ? ? ?1得 y ? x ?8 x ?8 x y

4 x ? 3 x 2 ? 3x ( x ? 1)2 ? 5( x ? 1) ? 4 4 ?5 ? 9 , ? ? ? ( x ? 1) ? ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? 则: xy ? x ? x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
当且仅当 x ? 1 ?

4 ( x ? 0)即x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 x ?1

x ? 2y ? x ?

16 2x 2( x ? 8) ? 16 16 16 ? 10 ? 18 。 ? x? ? x?2? ? ( x ? 8) ? ? 10 ? 2 ( x ? 8) ? x ?8 x ?8 x ?8 x ?8 x ?8
3

x? y ? x?

x?3 x ?1 ? 4 4 4 4 ? x? ? x? ? 1 ? ( x ? 1) ? ? 2 ? 2 ( x ? 1) ? ?2?6, x ?1 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1
4

当且仅当 x ? 1 ?

4 ( x ? 0)即x ? 3 ,并求得 y ? 3 时取“=”号,故 xy 的取值范围是 [9, ??) 。 x ?1

当且仅当 2 x ?

评析:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧。 四、均值不等式易错例析:

9 ,即 x ? x2

3

3 36 36 时等号成立,所以当 x ? 时, ymin ? 33 36 。 2 2

? x ? 4?? x ? 9? 例 1. 求函数 y ? 的最值。 x

例 3. 求 y ?

x2 ? 5 x2 ? 4

( x ? R) 的最小值。

? x ? 4?? x ? 9? x 2 ? 13x ? 36 36 36 ? 错解: y ? ? 13 ? x ? ? 13 ? 2 x ? ? 25 x x x x
当且仅当 x ?

错解:因为 y ?

x2 ? 5 x ?4
2

? x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

?2

x2 ? 4 ?

1 x ?4
2

? 2 ,所以 ymin ? 2

36 即 x ? ?6 时取等号。所以当 x ? ?6 时,y 的最小值为 25,此函数没有最大值。 x

分析:忽视了取最小值时须 x 2 ? 4 ?

1 x ?4
2

成立的条件,而此式化解得 x 2 ? ?3 ,无解,所

分析:上述解题过程中应用了均值不等式,却忽略了应用均值不等式求最值时的条件导致错误。 因为函数 y ?

? x ? 4?? x ? 9? 的定义域为 ???,0? ??0, ? ?? , 所以须对 x 的正负加以分类讨论。 x

以原函数 y 取不到最小值 2 。 正解:令 t ?

36 36 ? 13 ? 2 x ? ? 25 正解: 1)当 x ? 0 时, y ? 13 ? x ? x x
当且仅当 x ?

1 x 2 ? 4 ?t ? 2? ,则 y ? t ? (t ? 2 ) t
1 5 是递增的。所以当 t ? 2 ,即 x ? 0 时, y min ? 。 t 2

36 即 x ? 6 时取等号。所以当 x ? 6 时, ymin ? 25 x 36 36 36 ?? ? ? ? 2 ?? x ?? ?? ? ? ? 12 ? 0 , ?? x ? ? ? ? ? ? x x x?

又因为 t ? 1 时, y ? t ? 例 4. 已知 x, y ? R ? 且

2)当 x ? 0 时, ? x ? 0 , ?

1 4 ? ? 1 ,求 u ? x ? y 的最小值. x y

36 ? y ? 13 ? [( ? x) ? (? )] ? 13 ? 12 ? 1 x 36 当且仅当 ? x ? ? ,即 x ? ?6 时取等号,所以当 x ? ?6 时, ymax ? 13 ? 12 ? 1. x 9 例 2. 当 x ? 0 时,求 y ? 4 x ? 2 的最小值。 x
错解:因为 x ? 0 ,y ? 4 x ?

错解:?1 ?

1 4 4 ? ? ? xy ? 4 ,?u ? x ? y ? 2 xy ? 8 ,? u 的最小值为 8 . x y xy
1 4 ? 和 x ? y ,而这两个式子不能同 x y

分析:解题时两次运用均值不等式,但取等号条件分别为 时成立,故取不到最小值 8 . 正解: u ? ( x ? y )( ?

9 9 6 ? 2 4x ? 2 ? 2 x x x

1 x

4 4x y ) ? 5? ? ? 5?4 ? 9 y y x

所以当且仅当 4 x ?

3 9 6 9 ? 2 3 18 。 x? 时, y min ? 2 即 x x 4

当且仅当

4x y ? 即 x ? 3, y ? 6 时等号成立. ? u 的最小值为 9 . y x

分析:用均值不等式求“和”或“积”的最值时,必须分别满足“积为定值”或“和为定值”,而上述解法 中 4x 与

9 的积不是定值,导致错误。 x2

综上所述,应用均值不等式求最值要注意: 一要正:各项或各因式必须为正数; 二可定:必须满足“和为定值”或“积为定值”,要凑出 “和为定值”或“积为定值”的式子结构,如 果找不出“定值”的条件用这个定理,求最值就会出错; 三能等:要保证等号确能成立,如果等号不能成立,那么求出的仍不是最值。

3 9 9 9 正解:因为 x ? 0 ,y ? 4 x ? 2 ? 2 x ? 2 x ? 2 ? 3 2 x ? 2 x ? 2 ? 33 36 x x x

5

6

技巧一:凑项 例 1:已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5
1 不是常数,所以对 4 x ? 2 要进行 4x ? 5

因 t ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 2, ??? ,故等号不成立,考虑单调性。 因为 y ? t ? 在区间 1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 2, ??? 为单调递增函数,故 y ? 所以,所求函数的值域为

1 t

1 t

?

解:因 4 x ? 5 ? 0 ,所以首先要“调整”符号,又 (4 x ? 2) 拆、凑项,

1 t

?

?

5 。 2

5 1 1 ? ? x ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 , 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

?5 ? , ?? ? 。 ? ?2 ?

当且仅当 5 ? 4 x ?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

技巧六: 整体代换: 多次连用最值定理求最值时, 要注意取等号的条件的一致性, 否则就会出错。 。 2:已知 x ? 0, y ? 0 ,且

技巧二:凑系数 例 2. 当 时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。 解析:由 知, ,利用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,注意到

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

2 x ? (8 ? 2 x) ? 8 为定值,故只需将 y ? x(8 ? 2 x) 凑上一个系数即可。

? 1 9 ? y 9x 1 9 解: x ? 0, y ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y
当且仅当


技巧三: 分离

,即 x=2 时取等号

当 x=2 时, y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。

1 9 y 9x ? 时,上式等号成立,又 ? ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 。 x y x y
)
2

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 例 3. 求 y ? x ?1
解:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。

巩固练习: 1、已知: x 2 ? y 2 ? a, m 2 ? n 2 ? b 且 a ? b ,则 mx ? ny 的最大值为( (A) ab (B)

a?b 2

(C)

a ?b 2
2

2

(D)

a ?b 2
2

2、若 a, x, y ? R ? ,且 x ? 当 ,即 时, y ? 2 (x ? 1) ?

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(

)

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

技巧四:换元

(A) 2 2 (B) 2 (C)2 (D)1 3、已知下列不等式:① x 3 ? 3 ? 2x( x ? R ? ) ;② a 5 ? b 5 ? a 3b 2 ? a 2 b 3 (a, b ? R ? ) ; ③ a 2 ? b 2 ? 2(a ? b ? 1) . 其中正确的个数是( (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 ? 4、设 a, b ? R ,则下列不等式中不成立的是( (A) (a ? b)( ) (D)3 个 ) (D)

解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 y? = ? t ? ?5 t t t 4 当 , 即 t= 时, y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t
技巧五: 在应用最值定理求最值时, 若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 例:求函数 y ?

a 的单调性。 x

1 1 a2 ? b2 1 ? ) ? 4 (B) ?2 ? 2 ab (C) ab ? a b ab ab 5、设 a, b ? R ? 且 2a ? b ? 1, S ? 2 ab ? 4a 2 ? b 2 的最大值是( )

2ab ? ab a?b

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

2 ?1 (C) 2 ? 1 2 a b 6、若实数 a , b 满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是(
(A) 2 ? 1 (B) (A)18 (B)6 (C) 2 3 7、若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,则 ab 的取值范围是 8、若 x, y ? R , 且 2 x ? y ? 1 ,则
?

(D) )

2 ?1 2

(D) 24 3 . .

解:令

2 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x 2 ? 4 ?

x2 ? 4

1 ? t ? (t ? 2) 2 t x ?4

1

1 1 ? 的最小值为 x y
8

7


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