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广东六校2011届高三12月联考(文数)(惠州一中 珠海一中 东莞中学 中山纪念中学 深圳实验中学 广州二中)

时间:2011-01-10


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2011 届六校(惠州一中、珠海一中、东莞中学、中山纪念中学、 届六校(惠州一中、珠海一中、东莞中学、中山纪念中学、 深圳实验中学、广州二中)高三联合考试试卷( 深圳实验中学、广州二中)高三联合考试试卷(文)
命题: 2010.12.23 命题:广州二中 本试卷分选择题和非选择题两部分, 分钟。 本试卷分选择题和非选择题两部分,共 4 页,满分为 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 来源 七彩教育网.COM] 来源:七彩教育网 注意事项:[来源 七彩教育网 1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷 密封线内 相应的位置上,用 2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上 学号填涂在答题卡上。 学号填涂在答题卡上 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;不能答在试卷上 不能答在试卷上。 不能答在试卷上 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔 黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答,答案必须写在答卷纸各题目 黑色字迹的钢笔或签字笔 指定区域内的相应位置上,超出指定区域的答案无效 超出指定区域的答案无效;如需改动,先划掉原来的答案, 超出指定区域的答案无效 然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 不准使用铅笔和涂改液。 不准使用铅笔和涂改液 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 一、选择题:(每小题 5 分,共 50 分) 选择题 每小题 1.若 A= {x | x 2 ? 4 x < 0 },B={0,1,2,3},则 A I B = A. {0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{1,2,3,4} D. {0,1,2,3,4}

2. 已知平面向量 a = (3,1), b = ( x, ?3) ,且 a ⊥ b ,则 x = A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

r

r

r

r

3. 等比数列 {a n } 中,已知 a 2 = 2, a 4 = 4 ,则 a 6 = A. 6 B. 8 C. 10 D. 16

4. 下列函数中,既是偶函数又在 ( 0, +∞ ) 上单调递增的是 A. y = x 3 B. y = cos x C. y = tan x D. y = ln x

5.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 sin B = A.

3 3

B. ±

3 3

C.

6 3

D. ± ) .

6 3

6、已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍,则椭圆的离心率等于( A.

1 3

B.

2 3

C.

2 2 3

D.

10 3

? y ≤ x, ? 7. 已知 z = 2 x ? y , 式中变量 x ,y 满足约束条件 ? x + y ≥ 1, , z 的最大值为___________. 则 ? x ≤ 2, ?
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A. 0

B.5

C.6

D. 10

8.为了了解某地区学生的身体情况,抽查了该地区 100 名年龄为高三男生体重 (kg) ,得到频率分布直方图如下图,根据上图可得这 100 名学生中体重在 ) [56.5,64.5]的学生人数是( A.20 B.30 C.40 D.50

9. 方程 log 3 x + x ? 3 = 0 的解所在的区间是( A. (0,1) B. (1,2) C.(2,3)

) D. (3,4)

10、已知过点(1,2)的二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如右图, 给出下列论断:① abc > 0 ,② a ? b + c < 0 ,③ b < 1 , ④a >

1 2

其中正确论断是( B. ②④ D. ②③④



A. ①③ C. ②③

(每小题 把正确答案填写在答卷相应地方上) 二、填空题: 每小题 5 分,共 30 分,把正确答案填写在答卷相应地方上) 填空题: ( 11. 已知 {a n } 是等差数列, a 2 = 3, a 3 + a 4 = 12 , 则 {a n } 的前 n 项和 S n =______ 12. 图中的三个直角三角形是一个体积为 20cm 的几何体的三视图,则 h=_________cm
3

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13. 如下图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x = ________。

4

y3
2

x2 f(x) = 2
C(0,2) C(2,0)
B

1

x O
2 A(2,0)

第 14 题

x2 与两直线x = 2及y = 0 14. 如右上图示, 利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线 y = 2
所围成的阴影部分的面积 S:(1)先产生两组 0~1 的均匀随机数,a=RAND(),b=RAND(); (2)做变换,令 x=2a, y=2b;(3)产生 N 个点(x,y) ,并统计满足条件 y < 的个数 N 1

x2 的点(x, y) 2

.已知某同学用计算器做模拟试验结果当 N=1000 时 N 1 =332, 则据此可估

计 S=_________ 。 小题, 解答须写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 解答题:

15. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x ) = cos(

π
2

? x) + 3 sin(

π
2

? x)

(x ∈R ) .

(1)求函数 f (x ) 的最小正周期; (2)求函数 f (x ) 的最大值,并指出此时 x 的值.

16. (本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各 取出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等. (Ⅰ)求取出的两个球上标号恰好相同的概率;
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(Ⅱ)求取出的两个球上的标号至少有一个大于 2 的概率. (本小题满分 来源:七彩教育网] 17. 本小题满分 14 分)[来源:七彩教育网] ( 如图,已知四边形 ABCD 与 A' ABB ' 都是正方形, 点 E 是 A' A 的中点, A' A ⊥ 平面ABCD (1) 求证: A' C // 平面 BDE; (2) 求证:平面 A' AC ⊥平面 BDE

18、(本小题满分 14 分) 本小题满分 某建筑公司用 8000 万元购得一块空地, 计划在该地块上建造一栋至少 12 层、 每层 4000 平方米的楼房。经初步估计得知,如果将楼房建为 x(x12)层,则每平方米的平均建筑费 用为 Q(x)=3000+50x(单位:元),为了使楼房每平方米的平均综合费用 平均综合费用最少,该楼房应建 平均综合费用 为多少层?每平方米的平均综合费最小值是多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用 平均综合费用

购地总费用 ) 建筑总面积

19. 本小题共 14 分) . (本小题共 ( 已知 ?ABC 的边 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 = 0 点 B 关于点 M (2, 的对称点为 C, 点 T ( ?11) 在 AC 边所 0) ,

y

T
在直线上且满足 AT ? AB = 0 . (I)求 AC 边所在直线的方程; (II)求 ?ABC 的外接圆的方程;

C O A

M

N

B

x

(III) 若点 N 的坐标为 (? n,0), 其中 n 为正整数。 试讨论在 ?ABC 的外接圆上是否存在点 P, 使得 | PN |=| PT | 成立?说明理由。

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20.(本题满分 14 分) . 本题满分 已知 n 为正整数,曲线 C n : y = ( ? 1 ,0) (1)求证点列: P1 , P2 , L , Pn 在同一直线上 (2)若记 f(k)+f(k+1)+f(k+2)+ L + f(n)=
n

nx在其上一点Pn ( x n , y n )处的切线Ln 总经过定点

∑ f (i) ,其中 k, n 为正整数且 k ≤ n
i=k

n

求证: ln(n + 1) <

∑y
i =1

1
2
i

< ln(n + 1) + 1 (n ∈ N * )

2011 届六校高三毕业班联合考试试卷 文科数学答案 2010。12。23 。 。
1.B 2. C 3. B 11. 4. D 5.A 6、C 4

7.B 8.C 9. C 10、B
14. 1.328 …… 4 分 …… 6 分

n2

12.

13. 12

15. 解: 1)∵ f ( x ) = sin x + 3 cos x (1 (

?1 ? π π? 3 ? = 2? sin x + cos x ? = 2? sin x cos + cos x sin ? ?2 ? 2 3 3? ? ? ?

π? ? = 2 sin ? x + ? . 3? ? ∴ T = 2π .
(2) 当 sin ? x + 此时 x +

…… 7 分 …… 8 分 ……10 分 ……12 分

? ?

π?
=

? = 1 时, f ( x) 取得最大值, 其值为 2 . 3?

π
3

π
2

+ 2kπ ,即 x = 2kπ +

π
6

(k ∈ Z ) .

16.解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果: 解法一: 解法一 1 2 1 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 1 2 3 4

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可以看出, 试验的所有可能结果数为 16 种且每种结果是等可能的. 七彩教育网] (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相同整数的结果 有 1-1,2-2,3-3,4-4,共 4 种.

……4 分[来源:

……6 分

4 1 = . 16 4 1 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为 . 4
故根据古典概型公式,所求概率 P = (Ⅱ)记事件“取出的两个球上的标号至少有一个大于 2”为 A 则 A 的对立事件是 A =“取出的两个球上的标号都不于大 2”

……8 分

所取出的两个球上的标号都不大于 3 的结果有 1-1,1-2,2-1,2-2, 共 4 种. ……10 分

P ( A) =

4 1 3 = ∴ P ( A) = 1 ? P ( A) = . 16 4 4 3 . 4
……12 分

答:取出的两个球上的标号至少有一个大于 3 的概率为

(注:利用列表或列数对的方法求解以及 II 直接列出 A 的结果 仿照上述解法给分 注 的结果, 仿照上述解法给分)

(1)设 BD 交 AC 于 M,连结 ME. 17.

Q ABCD 为正方形,所以 M 为 AC 中点, ……2 分

又 QE 为 A' A 的中点∴ ME 为 ?A' AC 的中位线
∴ ME // A' C ∴ A'C // 平面 BDE.
(2)Q ABCD为正方形 ∴ BD ⊥ AC ……4 分

又 Q ME ? 平面BDE , A' C ? 平面BDE
……6 分 ……8 分

Q A' A ⊥ 平面ABCD, BD ? 平面ABCD ∴ A' A ⊥ BD...........10分 又AC I A' A = A ∴ BD ⊥ 平面A' AC. Q BD ? 平面BDE ∴ 平面A' AC ⊥ 平面BDE. ..........14分 .........12分

18、解:设楼房每平方米的平均综合费为 f ( x ) 元,依题意得

f ( x) = Q( x) +
法一:

8000 × 10000 20000 = 50 x + + 3000 4000 x x

( x ≥ 12, x ∈ N ) ……..6 分

f ( x) = 50 x +

20000 20000 + 3000 ≥ 2 50 x ? + 3000 = 5000 x x

……….11 分

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当且仅当 50 x =

20000 即x = 20 上式取”=” x 因此,当 x = 20 时, f (x ) 取得最小值 5000(元).
每平方米的平均综合费最小值为 5000 元

……….13 分

答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 20 层, ……….14 分 ………10 分

法二: f ( x ) = 50 x +

20000 20000 + 3000, f ' ( x) = 50 ? x x2 f ' ( x) = 0( x > 0) ? x = 20

0 < x < 20时, f ' ( x) < 0,f ( x)是减函数; x > 20时,f ' ( x) > 0,f ( x)是增函数 ∴当且仅当x = 20时, f ( x)有最小值f (20) = 5000
19.解: (I)Q AT ? AB = 0

………13 分

∴ AT ⊥ AB, 又T在AC上 ∴ AC ⊥ AB, ?ABC为Rt?ABC , ………………..1 分
又 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 = 0 , ,所以直线 AC 的斜率为 ?3 .……2 分 又因为点 T ( ?11) 在直线 AC 上, , 所以 AC 边所在直线的方程为 y ? 1 = ?3( x + 1) .即 3 x + y + 2 = 0 . (II)AC 与 AB 的交点为 A,所以由 ? …………3 分

? x ? 3 y ? 6 = 0, 解得点 A 的坐标为 (0, 2) ,…5 分 ? ?3 x + y + 2 = 0
…………6 分 …………7 分 …………8 分

Q 点B关于M (2,0)的对称点为C ,
∴ M为Rt?ABC斜边上的中点, 即为Rt?ABC外接圆的圆心
又 r= AM =

(2 ? 0) 2 + (0 + 2) 2 = 2 2 .
( x ? 2)2 + y 2 = 8 .

从 ?ABC 外接圆的方程为:

(III)若在 ?ABC 的外接圆圆 M 上存在点 P,使得 | PN |=| PT | 成立,则 P 为线段 NT 的 垂直平分线 L 与圆 M 的公共点。所以当 L 与圆 M 相离时,不存在满足条件的点 P;当 L 与 圆 M 相交或相切时则存在满足条件的点 P。

1 n +1 1 ,线段 NT 的中点为 ( ? , ) n ?1 2 2 1 n +1 线段 NT 的垂直平分线 L 为 y ? = ?( n ? 1)( x + ) 即2(1 ? n) x ? 2 y + (2 ? n 2 ) = 0 2 2
由 N (? n,0), T ( ?11) ,知 NT 的斜率为 , ………10 分 圆 M 的圆心 M 到直线 L 的距离为 d=

| 4(1 ? n) ? 0 + 2 ? n 2 | 4(1 ? n) 2 + (?2) 2

=

| n 2 + 4n ? 6 | 2 n 2 ? 2n + 2

…………11 分

i)当 n=1 时,d= P

1 , 而r = 2 2, 由d < r ,此时直线 L 与圆 M 相交,存在满足条件的点 2

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ii)当 n=2 时 d=

3 2 < 8 = r ,此时直线 L 与圆 M 相交,存在满足条件的点 P 2

iii)当 n ≥ 3 时,

d=

n 2 + 4n ? 6 2 n ? 2n + 2
2

=

1 6n ? 8 1 ( n 2 ? 2n + 2 + ) > ? 2 6n ? 8 > 8 = r 2 2 2 n ? 2n + 2
…………14 分

此时直线 L 与圆 M 相离,不存在满足条件的点 P。

(说明: (III) 求出 NT 的垂直平分线, 与圆 M 方程联立方程组,消元得二次方程后提到用判别 式讨论的即可得 3 分; 用图形说明当 n 增大时 M 到 L 的距离 d 也增大, n=3 时有 d>r, 当 所 以 n>3 时有 d>r,只扣 1 分) 20 解: (1)设切线 L n 的斜率为 k n ,由切线过点 (?1,0) 得切线方程为 y=k n (x+1) 则方程组 ?

? y = k n ( x + 1) ? y = nx( y ≥ 0)
2

有解 ?

? x = xn , ? y = yn
2 2 2

……1 分
2

由方程组用代入法消去 y 化简得 k n x + ( 2k n ? n) x + k n = 0 (*) 有 ? = ( 2k n ? n) ? 4k n ? k n = ?4nk n + n = 0 ∴ k n =
2 2 2 2 2 2 2

n ………2 分 4

代入方程(*),得

n 2 n n x + (2 ? ? n) x + = 0即x 2 ? 2 x + 1 = 0 4 4 4

∴ x = 1即有x n = 1, y n = nx n = n
即 P1 , P2 , L , Pn 在同一直线 x=1 上 (2) 解:由(1)可知 y n = …………………4 分

n ∴ f (i ) =

1 yi
2

=

1 i

………5 分

设函数 F(x)= x ? ln( x + 1), x ∈ ( ?1,+∞), 有F (0) = 0

∴ F ' ( x) = 1 ?

x +1?1 x 1 = = x +1 x +1 x +1 ∴当 ? 1 < x < 0时, F ' ( x) < 0;当x > 0时,F ' ( x) > 0 . ...........8分

∴ F ( x)在(?1,0)上是减函数, 在(0,+∞)上为增函数 ∴当0 < x < 1时有F ( x) > F (0) = 0即当0 < x < 1时有x > ln( x + 1)恒成立 即F ( x)有最小值F (0), x ≠ 0时有F ( x) > F (0). 当 ? 1 < x < 0时有F ( x) > F (0) = 0即当 ? 1 < x < 0时有x > ln( x + 1)恒成立
1 1 1 i )取x = (i = 1,2,3,L , n), f (i ) = > ln(1 + ) = ln(i + 1) ? ln i i i i 1 1 1 1 即有f (1) = > ln 2, f (2) = > ln(1 + ) = ln 3 ? ln 2,L , f (n) = > ln(n + 1) ? ln n 1 2 2 n n n 1 1 1 1 ∴ ∑ f (i ) =∑ = + + L + > ln 2 + (ln 3 ? ln 2) + L + [ln(n + 1) ? ln n] = ln(n + 1)......11分 1 2 n i =1 i =1 i

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1 1 1 1 ii )再取x = ? (i = 2,3, L , n), 有 ? > ln(1 ? ) = ln(i ? 1) ? ln i ∴ < ln i ? ln(i ? 1) i i i i 1 1 1 1 即有f (1) = = 1, f (2) = < ln 2 ? ln 1, f (3) = < ln 3 ? ln 2, L , f (n) = < ln n ? ln(n ? 1) 综 1 2 3 n n n 1 1 1 1 ∴ ∑ f (i ) =∑ = + + L + ≤ 1 + (ln 2 ? ln 1) + (ln 3 ? ln 2) + L + [ln n ? ln(n ? 1)] 1 2 n i =1 i =1 i = ln n + 1 < ln(n + 1) + 1
合上述有 ln(n + 1) <

∑y
i =1

n

1
2 i

< ln(n + 1) + 1

…………………14 分

法二 : 先证当x > 0且x ≠ 1时x ? 1 > ln x 1 x ?1 ∴ G ( x) = x ? 1 ? ln x, G ' ( x) = 1 ? = x x ∴ 当0 < x < 1时, G ' ( x ) < 0;当x > 1时,G ' ( x ) > 0 ∴ G ( x)在(0,1)上是减函数, 在(1,+∞)上为增函数 ∴ 当x > 1时有G ( x) > G (1) = 0即当x > 1时有x ? 1 > ln x恒成立 即G ( x)有最小值G (1), x ≠ 1时有G ( x ) > G (1). 从而有 x ? 1 > ln x( x ≠ 1) 令x ? 1 = t则有t > ln(1 + t )(t ≠ 0)恒成立 以下同上法 ...........8分 . 当0 < x < 1时有G ( x) > G (1) = 0即当0 < x < 1时有x ? 1 > ln x恒成立

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