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幂函数


幂 函 数

请写出下列实例中y与x的关系式: 1:张红购买了每千克1元的蔬菜x千克,她需要付的钱 y?x 数y元。 2:正方形的边长为x,它的面积为y 3:正方体的边长为x,它的体积为y。 4:正方形场地的面积为x,它的边长为y。

y = x? y= x? y=x
1 2

5:某人x s内骑车行进了1k

m,而他骑车的平均速度为 y。 y=x?1

以上问题中的函数有什么共同特征? (1) y=x (1)底数是单纯变量x 2 (2) y=x (2)指数为常数; (3) y=x3 (3)自变量前的系数为1; a 1/2 (4)都是y = x 的形式 (4) y=x (5) y=x-1

1。幂函数的定义:

形如 y = 其中 a 是常数且 a ∈ R 。

?底数是变量x ?指数为常数 xa 的函数叫做幂函数,?自变量系数为1 ?无常数项

2。幂函数的定义域:
使 x a 有意义的实数的集合。

1.判断下列函数是否为幂函数.
(1) y=x4 √ 1 ( 2) y ? 2 √ x (3) y= -x2 x

(4) y ? x √
(5) y=3x2
x

1 2

(6) y=x3-2 x

2.若幂函数y=f(x)的图象过点 (2, 2) y? x 则函数的解析式为__________

,

作出下列函数的图象:
(1)
(2) (3)

(4)
(5)

y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1

y
(-2,4)
4

y?x
3

3

y?x
(2,4)

2

y?x
y?x
1 2

2

(-1,1)

1

(1,1)

y ? x ?1
4 6

-4

-2

O (-1,-1)
-1

2

x

-2

从图象能得出它 们的性质吗?

-3

几个幂函数的性质:
函数 定义域 值域

y?x
R R

y ? x2
R [0,+∞)

y ? x3
R R

y?x

1 2

y ? x ?1
{x/x≠0} {y/y≠0}

[0,+∞) [0,+∞)

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增函数 公共点
先减后增

增函数

增函数
(0,0),(1,1)

减函数
(1,1)

(0,0),(1,1) (0,0),(1,1) (0,0),(1,1)

由图像和列表可得出幂函数的性质:

(1)所有的幂函数在(0,+ ∞) 上都有定义,并且图像都经过点
( 1 , 1)

(2)当a为奇数时,幂函数为 奇 函数; 当a为偶数时,幂函数为 偶 函数;

a取不同值时幂函数在第一象限的性质:
?

?

1

0 0 ? 1

?

0

当 a > 0 时,幂函数图象过原点,并且在[0,+∞)上 是 增 函数

当 a < 0 时,幂函数图象不过原点,且在(0,+∞)上 是 减 函数

课堂练习
已知幂函数y=x 在第一象限内的图象如图所示, 1 当n取 ? 2, ? 四个值时,相对应的曲线C1 ,C2 ,C3 ,C4 2 1 1 的n的值依次是( 2, , ? , ?2)
n

2

2

c1

c2

c4

c3

3、 证明幂函数 f ( x) ?

x 在[0,+∞)上是增函数.
x1 ? x2
( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x1 ? x2

证明:任取x1,x2∈ [0,+∞),且x1<x2,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
?

方法技巧:分子有理化

?

x1 ? x2 x1 ? x2

因为x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0, 所以f ( x1 ) ? f ( x2 )
所以幂函数 f ( x) ? x在[0,??)上是增函数 .

4、求下列函数的定义域:

(1)y = (2x+5)1/2

(2)y = (x-3)-1/5
解:y = 5

? 2x+5≥0 得
x≥-5/2

(1)解:y = 2 x ? 5

?x – 3 ≠0得

1 x ?3

?

函数y = (2x+5)1/2 的 定义域为[ -5/2,+∞) .

?

X≠3
函数y=(x-3)-1/5的定

义域为(-∞,3)∪(3,+∞).

小结:
1、学习了幂函数的概念及幂函数的性质。 ? 0 ? 0 ? 1 0 ? 1

当 a > 0 时,幂函数图象过原点,并且在[0,+∞)上 是增函数 当 a < 0 时,幂函数图象不过原点,且在在(0,+∞) 上是减函数


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