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2015全国高中数学联赛山西预赛试题

时间:2016-06-02


2015 全国高中数学联赛山西预赛试题
一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1. 设 M ? ?1, 2 ,? ,12? ,三元集 A ? ? a , b , c? 满足: A ? M 且 a ? b ? c 为平方数,这种集合 A 的个数 是. 2. 若 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 sin ? ? cos ? ? . 5

3. 函数 y ?

1 ? x2 的值域是. 2? x

4. 一个长方体的体积为 8 ,全表面积为 32 ,若其长、宽、高成等比数列,则此长方体全部棱长之和为. 5. 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形三顶点,若焦点到椭圆上的点 a 2 b2

的最短距离为 3 ,则 ? a , b ? ? () 6. 数列 ?an ? 的各项为互异正数,且其倒数构成等差数列,则

a1a2 ? a2 a3 ? ? ? a2014 a2015 ?. a1a2015

7. 设 a ? 3x ?1 ? 3 y ?1 ? 3z ?1 ,其中 x ? y ? z ? 1 , x , y , z ? 0 ,则 ? a ? ? . 8. 将各位数字和 8 为的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列 ?an ? ,称为 P 数列,则 2015 是其中 第项. 二、解答题 (本大题共 3 小题,共 56 分) 9. (本题 16 分)给定圆 P: x2 ? y 2 ? 2x 及抛物线 S : y 2 ? 4 x ,过圆心 P 作直线 l ,此直线与上述两曲线 的四个交点,自上而下顺次记为 A , B , C , D ,如果线段 AB , BC , CD 的长按此顺序构成一个等差数列, 求直线 l 的方程.

A1 C1
10. (本题 20 分) 如图,A1 , B1 , C1 是

A

? ABC 外接圆 ? O 上
D

P B F B1

C

P 是 ? O 上的任意一点,若 的点,满足 AA 1 / / BB 1 / /CC1 ,

E

直线 PA1 交直线 BC 于 D , PB1 交 AC 于 E , PC1 交 AB 于 F . 证明: D 、 E 、 F 三点共线.

11. (本题 20 分)若集合 M ? ?1,2,?,200? 的子集 A 中的每个元素都可表示为两个自然数(允许相同) 的平方和,求这种集合 A 中元素个数的最大值.


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