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2015年全国高中数学联赛(A卷word版本)


2015 年全国高中数学联赛(A 卷) (一试)
一、填空题(每个小题 8 分,满分 64 分) 1:设 a , b 为不相等的实数,若二次函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b 满足 f (a) ? f (b) ,则 f (2) ? 2:若实数 ? 满足 cos ? ? tan ? ,则

1 ? cos 4 ? 的值为 sin ?

/>
3:已知复数数列 ?zn ? 满足 z1 ? 1, zn?1 ? zn ?1 ? ni(n ? 1,2,? ? ?) ,则 z2015 ? 4:在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 ,线段 DC 上的动点 P 与 CB 延长线上的动点 Q 满 足条件 DP ? BQ ,则 PA? PQ 的最小值为 5:在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为

6:在平面直角坐标系中,点集 ( x, y ) ( x ? 3 y ? 6)( 3 x ? y ? 6) ? 0 所对应的平面区域的 面积为 7:设 ? 为正实数,若存在实数 a, b(? ? a ? b ? 2? ) ,使得 sin ?a ? sin ?b ? 2 ,则 ? 的取 值范围为 8:对四位数 abcd ,若 a ? b, b ? c, c ? d , 则称 abcd 为 P 类数,若 a ? b, b ? c, c ? d ,则 称 abcd 为 Q 类数,则 P 类数总量与 Q 类数总量之差等于 二、解答题 9: (本题满分 16 分)若实数 a, b, c 满足 2 ? 4 ? 2 ,4 ? 2 ? 4 ,求 c 的最小值
a b c a b c

?

?

10: (本题满分 20 分)设 a1 , a2 , a3 , a4 为四个有理数,使得:

3 1 ? ?a a 1 ? i ? j ? 4?? ? ?? 24,?2,? ,? ,1,3? ,求 a ? a
i j

?

2

8

?

1

2

? a3 ? a4 的值

x2 ? y 2 ? 1 的左右焦点,设不经过焦点 F1 的直 11: (本题满分 20 分)设 F1 , F2 分别为椭圆 2
线 l 与椭圆交于两个不同的点 A, B ,焦点 F2 到直线 l 的距离为 d ,如果 AF 1 , l , BF 1 的斜率依 次成等差数列,求 d 的取值范围

(加试)
1: (本题满分 40 分)设 a1 , a2 ,? ? ?, an (n ? 2) 是实数,证明:可以选取 ?1 , ? 2 ,? ? ?, ? n ? ??1,1?, 使得 (

?a )
i ?1 i

n

2

? (? ? i ai ) 2 ? (n ? 1)(? ai2 )
i ?1 i ?1

n

n

2: (本题满分 40 分)设 S ? ?A1 , A2 ,? ? ?, An ? , 其中 A1 , A2 ,? ? ?, An 是 n 个互不相同的有限集合

(n ? 2) ,满足对任意的 Ai , Aj ? S ,均有 Ai ? Aj ? S ,若 k ? min Ai ? 2 ,证明:存在
1?i ? n

x ? ? Ai ,使得 x 属于 A1 , A2 ,? ? ?, An 中的至少
i ?1

n

n 个集合 k

3: (本题满分 50 分)如图, ?ABC 内接于圆 O , P 为 BC 弧上一点,点 K 在 AP 上,使得

BK 平分 ?ABC ,过 K , P, C 三点的圆 ? 与边 AC 交于 D ,连接 BD 交圆 ? 于 E ,连接 PE ,延长交 AB 于 F , 证明: ?ABC ? 2?FCB

4: (本题满分 50 分)求具有下述性质的所有正整数 k : 对任意正整数 n 都有 2
( k ?1) n ?1

不整除

( kn )! n!


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