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几何画板在中学数学教学中的应用-人教版[特约]

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几何画板在中学数学教学中的应用
当今世界日益信息化,信息日益网络化.教育信息化正在成为社会信息化的 重要组成部分,技术发展的趋势是不言而喻的.以前,我们对数学以及数学教学 的认识总是和黑板粉笔或者纸笔联系在一起,人们局限在有限的空间中,能力受 到很大的限制.计算机使人脑得以大大的扩展和延伸,同时为数学教学和数学学 习提供了广阔的空间.下面仅就几何画板辅助数学教学中的问题

谈谈几点思考. 一, 问题与思考 1, 《几何画板》在辅助数学教学中的特点 问题与解决是数学的心脏.提出问题并解决问题是数学发展的原动力.由于 各种原因,今天的中学数学教材中,难以体现出"问题与解决"的韵味,也没有 机会让中学生接触丰富的数学遗产.问题提出的唐突化,过度的公式化,形式化 及解题的模式化,使数学失去了原有的魅力.至使部分学生错误地认为数学只是 符号与公式的组合,难以激发他们学习数学的热情和兴趣.而《几何画板》的精 髓是:动态地保持了几何图形中内在的,恒定不变的几何关系及几何规律.它的 最大特点是:让学生自己动手按给定的数学规律和关系来制作图形(或图像,表 格) ,从中观察事物的现象,通过类比和分析提出问题,还可进行实验来验证问 题的真与假, 从而发现恒定不变的几何规律, 以及十分丰富的数学图像的内在美, 对称美. 学生可以驾驶 《几何画板》 这一叶扁舟, 在数学发展的历史长河中漫游, 兴之所至,或探踪寻源,或荡舟而过.这是其它的教学媒体所办不到的,也是一 般 CAI 软件功能所不及的. 数学课堂教学的特点是: 具有很强的逻辑性和系统性以及高度的抽象性和概 括性.现代教学媒体 GSP( 《几何画板》的简称)能化静态为动态,化抽象为具 体,能够寓趣味性,技巧性和知识性于一体.传统的数学教学方法,基本上是信 息的单向传输, 即"讲, 练, 评"三位一体的教学模式, 反馈处于不自觉状态中, 不利于分层次教学,因材施教,不易激发学生的求知欲和兴趣.在教学中通过使 用《几何画板》 ,感受到 GSP 在数学教学中有着独特魅力,与传统教学手段或一 般 CAI 软件不能相比的. 2,《几何画板》在教学中的辅助作用 计算机辅助教学,是随着计算机技术的发展而形成的现代教育技术.被视为 电化教育的最高形式,随着我国中小学 CAI 的进展,一批好的 CAI 软件已进入 学校,最近我校将《几何画板》引入数学课堂教学,从中体会到 GSP 在数学教学 中有以下主要作用. (1)有助于提高课堂效率,增大知识的覆盖面.能给学生以更多的操作机 会,培养学生的动手动脑的能力.

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(2)有助于提高课堂教学效果,由于情况的快速反馈,老师的讲课时更具 有针对性,并能及时调整教学内容和节奏. (3)有助于培养学生敏捷思维和观察问题,分析问题,解决问题的能力. 利用现代化的教育手段进行快速训练,有助于个性特长的培养和发挥. 二,几何画板在解析几何中的应用 (一) 椭圆的画法 1,由椭圆的标准方程绘制椭圆 原理:由于椭圆的标准方程为: x2 y2 b + 2 = 1 ,可得表达式 y = ± a2 x2 , 2 a a b

只需确定变量 x 和参数 a,b 的值即可.步骤如下: ①建立直角坐标系; ②在 x 轴上取一点 C,度量其坐标并分离出它的横坐标改名为 a,类似地, 在 y 轴上取一点 D,度量出它的坐标并分离出它的纵坐标改名为 b;a,b 分别是椭圆在 x 轴,y 轴上的截距; ③在 x 轴上取一点 E, 度量出点 E 的坐标并分离出它的横坐 标改名为 x; ④计算 y 的值,通过"度量— 计算" ,得到
b a 2 x 2 的值; a

⑤绘出 x,y 的坐标点 F; ⑥选择点 E,F,执行"作图— —轨迹" ,得到上半椭圆; ⑦最后通过"变换——反射" 得到下半椭圆. 2,根据圆锥曲线的第二定义绘制椭圆 原理:由圆锥曲线的第二定义:平面内与一个定点的距离和它到一条直线的 距离的比是常数 e 的点的轨迹是圆锥曲线,定点叫做圆锥曲线的焦点,定直线叫 做圆锥曲线的准线.常数 e 叫做圆锥曲线的离心率,当 0 < e < 1 时为椭圆. ①建立直角坐标系; ②画一条射线 CD,在射线上画一点 E,使点 E 在点 D 的右侧; ③度量 CD,CE 的长度,计算出
CE 的值,该名为 e=0.73; CD

④在 x 轴的正半轴画一点 F,画直线 GH,找出直线 GH 与 y 轴的交点 I,在直 线 GH 上任取一点 J,连接线段 IJ; ⑤以 F 为圆心,IJ 为半径画圆,度量出线段 IJ 的长度;

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⑥计算出 ⑦选择

IJ IJ 的值,如 =7.12cm e e

IJ =7.12cm,执行"图像——绘制度量值" ,使屏幕出现一条与 x 轴 e IJ =7.12cm 的直线(虚线 m) ; e

垂直且与 y 轴距离等于

⑧用"选择"工具作出直线 m 与圆 F 的交点 K,L; ⑨用"选择"工具双击 y 轴,把 y 轴标记成反射镜面,再选择直线 m,执行 "变换—反射" ,得到直线 m 关于 y 轴对称的直线 m'; ⑩同时选择点 J 和点 K,执行"作图—轨迹" ,屏幕上(第一象限)出现点 K 的轨迹,类似地,分别选择点 J 和点 L,点 J 和点 M,点 J 和点 N,作出点 L,M,N 的轨迹; 移动点 E 的位置,使离心率 0<e<1,得到椭圆的图像.

3,根据椭圆的参数方程绘制椭圆 原理:椭圆的参数方程为:

x = a cos t (t 为参数) ,在坐标系中确定参数 y = b sin t

t 和常量 a,b,注意这里的 t 为弧度,应更改参数为弧度制. ①建立直角坐标系; ②在 x 轴上任取一点 C,度量其坐标和横坐标,改为 a=6.30; ③在 y 轴上任取一点 D,度量其坐标和纵坐标,改为 b=2.88; ④在屏幕下方画一圆,在圆上任取一点 G,构造弧 FG,填充扇形 EFG; ⑤度量扇形 EFG 的弧度,该为 t=-0.88 π 弧度; ⑥计算:a*cost=-5.06,改为 x=-5.06;b*sint=-1.72,改为 y=-1.72; ⑦选择 x=-5.06,y=-1.72,执行"图表—绘制点(x,y),画出点 H; "

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⑧依次选择点 G,H,执行"构造—轨迹" ,即得到椭圆.
10

C : ( 6 . 30 , 0 . 00 ) D : ( 0 . 00 , 2 . 88 ) a = 6.30 b = 2.88 t = -0.80π 弧弧 x = -5.06 y = -1.72
动动
2 4 6 8

南雄中学

李清和

D

-10

-5

A

B

5

C

10

F E

H

-2

-4

G

-6

(二)直线与圆锥曲线的交点的几何构造 如图:直线 GE 是过平面任意一点 G 和椭圆上任意一点 E,求作直线和椭圆 的交点 F,在几何画板中,不能直接找出直线和椭圆的交点,这里通过几何的思 路找出直线和椭圆交点的一般方法. 几何构造 (1)思路分析 先请了解一下椭圆弦的几何性质. 如图: 是椭圆的弦,其延长线交准 EF 线于 P,FF1 的延长线交准线于 Q,则 F1P 平分∠QF1E. 想一想:如果已知 P,E,F1,你能否 作出点 F? 如果您注意到点 F 是两条直线的交点, 只要作 E 关于直线 QF1 的对称点 E ′ , 则直线 PE 和直线 E ′F1 的交点就是 F.我们就用这样的想法来构造直线与椭圆的 交点. (2)操作步骤: ①画椭圆 ; ②画直线 GE , E 为椭圆上一点; ③画椭圆的准线 ; 度量点 A 的横坐标, 并把度量结果的标签分别改为 a=5.57; 度量点 B 的纵坐标,并把度量结果的标签分别改为 b=2.78;计算 a 2 b 2 并把度量结果的标签分别改为 c=4.82;再计算 a2 ,作出椭圆的左准线; c

④画直线 GE 与椭圆的另一交点 ;画线段 F1P,点 P 是直线 GE 和准线的交

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点→对点 E 作反射变换(线段 F1P)得到 E ′ →画直线( E ′ ,F1)→画交点 F(直 线 GE,直线 E ′ F1)

b = 2.78 t1 = 0.00 a = 5.57 c = 4.82 a2 = 6.43 c

8

6

4

B
2

F

-10

E'

-5

F1 E
-2

F2 5

A

10

P G

-4

-6

(3)拓展研究 利用这个图形,可以研究弦 EF 中点 G 的轨迹,作 E 点的动画并跟踪 D 点, 得下图

拓展之二:线段 EF 上任一点的轨迹. 三, 建议与反思 通常计算机辅助教学全面进入课堂有二大难点; 一是教师掌握计算机知识的 水平,二是好的实用的 CAI 软件. 在课堂上教师是主角,要把 CAI 引入课堂教学,仅仅依靠几名计算机专业 教师是远远不够的,他们不能代替(也不可能代替)学科教师走向讲台,因此各 校需要培养一支掌握了一定计算机知识的学科教师队伍.还要有实用的教学软 件,其软件的来源有以下几种方法,①购买已发行的教学软件,②与软件公司联 合编写,③由本校计算机教师编写教学软件.不论采用那种方法所得到的教学软

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件,不是费用太贵,就是制作周期太长或不适合于本校的实际情况. 总之,现代化的 CAI 教学的前景是宽广的,它有着很强的生命力,最终将 全面地闯入我国中小学教学领域,使教学改革发生根本的变化.

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