nbhkdz.com冰点文库

高中数学2.4线性回归方程


2.4 线性回归方程
【课标要求】 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点 图,并利用散点图直观认识变量间的相关关系; 2.在两个变量具有线性相关关系时,会用线性回归方程进 行预测;

3.知道最小平方法的含义,知道最小平方法的思想,能根
据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 【核心扫描】

1.散

点图的画法,回归直线方程的求解方法.(重点)
2.回归直线方程的求解方法,回归直线方程在现实生活与 生产中的应用.(难点)
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

自学导引
1.与函数关系不同,相关关系是一种有关系,但不是 确定性

的关系.

2.能用直线方程=be+a近似表示的相关关系叫做线性相 关关系,该方程叫线性回归方程 ,给出一组数据(x1,

y1),(x2,y2),?,(xn,yn),线性回归方程中的系数a,b满足 ? n n n ? ? n ?xiyi-? ?xi?? ?yi? i=1 i=1 i=1 ? ?b= n n ? , 2 2 ? n ?xi -? ?xi? i=1 i=1 ? ? ?a= y -b x ?
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

上式还可以表示为 ? n n ? ?xiyi-n x y ? ?xi- x ??yi- y ? ? i=1 ? i=1 = , ?b= n n ? 2 2 ? ?xi -n x ? ?xi- x ?2 i=1 i=1 ? ? ? a= y -b x . ?
想一想:1.相关关系是不是都为线性关系?
提示 不是.有些变量间的相关关系是非线性相关的.

2.散点图只描述具有相关关系的两个变量所对应点的图形吗?

提示 不是.两个变量统计数据所对应的点的图形都是散点图.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

名师点睛

1.相关关系与函数关系的异同点 关系 异同点 相同点
函数关系 相关关系

两者均是指两个变量之间的关系

是一种确定性关系

是一种非确定的关系

不同点

①一个为变量,另一个为随机 是两个变量之间的关 变量; 系 ②两个都是随机变量 不一定是因果关系,也可能是 是一种因果关系 伴随关系 是一种理想关系模型 是更为一般的情况

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

2.回归直线方程

(1)回归直线方程的思想方法
①回归直线:观察散点图的特征,发现各点大致分布在一 条直线的附近,就称这两个变量之间具有线性相关的关系,这

条直线叫做回归直线.
可见,根据不同的标准可画出不同的直线来近似表示这种 线性关系.比如,可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直

线;也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等,??
这些办法,能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗?它们 虽然都有一定的道理,但总让人感到可靠性不强. ②最小二乘法:实际上,求回归直线方程的关键是如何用 数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”, 即最贴近已知的数据点,最能代表变量x与y之间的关系.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

(2)利用回归直线对总体进行估计 ^ 利用回归直线,我们可以进行预测,若回归直线方程为:y= ^ bx+a,则 x=x0 处的估计值为:y=bx0+a.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

题型一 相关关系的判断 【例1】 下列两个变量之间的关系中,①角度和它的余弦 值;②正方形的边长和面积;③正n边形的边数和其内角度数之 和;④人的年龄和身高.不是函数关系的是________.(填序号)

[思路探索] 函数关系是一种变量之间确定性的关系.而相
关关系是非确定性关系. 解析 选项①②③都是函数关系,可以写出它们的函数表

达式:f(θ)=cos θ,g(a)=a2,h(n)=nπ-2π,④不是函数关系,
对于相同年龄的人群中,仍可以有不同身高的人. 答案 ④

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

规律方法

(1)两变量间主要有两种关系:一是确定的函数

关系,另一是不确定的相关关系.同时要注意,两变量间也可
能无相关关系,数学中只有统计部分研究不确定的相关关系. (2)函数关系与相关关系的区别的关键是“确定性”还是

“随机性”.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【变式1】 下列两个变量中具有相关关系的是________(填

写相应的序号).
①正方体的棱长和体积;②角的弧度数和它的正弦值;③ 单产为常数时,土地面积和总产量;④日照时间与水稻的亩产

量.
解析 正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V=x3;角的 弧度数α和它的正弦值y存在着函数关系y=sin α;单产为常数a公 斤/亩土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系y=a x.日照时间长,则水稻的亩产量高,这只是相关关系,应选④. 答案 ④

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

题型二 线性回归方程的求法

【例2】 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修
费用y(万元)有如下统计资料: 2 3 4 5 6 使用年限x(年) 维修费用y(万元) 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系,求线性回归方程=bx+ a. [思路探索] 本题已知x与y具有线性相关关系,故无需画散 点图进行判断,可直接用公式求解.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

解 制表. i xi 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 合计 20

yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x i2 4 9 16 25 36 90

∴ x =4, y =5, ?xi =90, ?xiyi=112.3.
2 i=1 i=1

5

5

112.3-5×4×5 ∴b= =1.23, 90-5×42 a=5-1.23×4=0.08. ^ ∴所求线性回归方程为y=1.23x+0.08.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

规律方法 求线性回归方程的一般步骤: (1)画散点图,看两个变量是不是存在线性相关关系. (2)列表计算 x , y , ?xi , ?xiyi.(建议用列表方法计算)
2 i= 1 i= 1 n n

(3)利用(2)的结果计算 a、b,得出线性回归方程.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【变式2】 某商店统计了近6个月某商品的进价x与售价y(单

位:元),对应数据如下:
x y 3 4 5 6 2 3 8 9 9 12 12 14

求y对x的回归直线方程.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

3+5+2+8+9+12 解 ∵x= =6.5, 6 4+6+3+9+12+14 y= =8, 6

?xi =327, ?xiyi=396,
2 i =1 6 i=1

6

6

?xiyi-6 x y
i=1

∴b=

≈1.143,a= y -b x ≈0.571,

?xi2-6 x 2
i =1

6

^ ∴回归直线方程为y=1.143x+0.571.
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

题型三 利用回归直线对总体进行估计

【例3】 (14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲
产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几 组对照数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小平方法求出y关于x的线 性回归方程; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤.试根据(2)求出的线性回归方程预测生产100吨甲产品的生产 能耗比技改前降低多少吨标准煤?(参考数值:3×2.5+4×3+5 ×4+6×4.5=66.5)
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

审题指导 本题考查线性回归方程的求解及利用回归直线对 y ?xiyi-n x ·
i= 1 n

总体进行估计.利用公式:b= xi2-n x 2 ?
i= 1 n

,a= y -b x 来求出

系数.

【解题流程】

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

[规范解答] (1)由题设所给数据,可得散点图,如右图所示. (3 分)

(2)由对照数据,计算得: 3+4+5+6 =4.5, ?xi =86, x = 4 i =1
4 2 4 2.5+3+4+4.5 y= =3.5,已知 ?xiyi=66.5. 4 i= 1
课前探究学习 课堂讲练互动

(6 分)
活页规范训练

所以由最小平方法确定的线性回归方程的系数为

?xiyi-4 x y
i= 1

4

b=

?xi2-4 x 2
i =1

4

66.5-4×4.5×3.5 = =0.7, 2 86-4×4.5

a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35. ^ 因此,所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35. (10 分)

(3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗,可得 降低的生产能耗为 90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨标准煤). (14 分)
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

【题后反思】 解决此类问题首先根据所给数据画出散点

图,根据散点图判断两个变量之间是否具有相关关系,如果两
个变量之间不具有相关关系,或者说,它们之间的关系不显 著,即使求得了线性回归方程也是毫无意义的,而且用其估计

和预测的结果也是不可信的.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

【变式3】 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和新房

屋的面积x的数据:
新房屋面积(m2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图; (2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线; (3)据(2)的结果估计当新房屋面积为150 m2时的销售价格.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练



(1)数据对应的散点图如图所示.

5 5 15 2 (2) x = ?xi=109,lxx= (xi- x ) =1 570, y =23.2,lxy= (xi i=1 i=1 5i=1

- x )(yi- y )=308, ^ ^ ^ 设所求回归直线方程为y=bx+a, ^ = lxy = 308 ≈0.196 2,a= y -b x =23.2-109× 308 则b lxx 1 570 1 570 ≈1.816 6. ^ 故所求回归直线方程为y=0.196 2x+1.816.6. (3)据(2),当 x=150 m2 时,销售价格的估计值为: ^=0.196 2×150+1.816 6=31.246 6(万元). y
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

误区警示 最小二乘法的原理不清而出错

【示例】 已知x、y之间的一组数据如下表:
x y 1 1 3 2 6 3 7 4 8 5

1 对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y= x 3 1 1 +1 与 y= x+ ,试利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合程度 2 2 更好.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

[错解] x、y 作为点的坐标,作出所给数据的散点图. 1 用 y= x+1 作为拟合直线时,散点图上的点到拟合直线的距 3 离之和为

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

思维突破 题目要求利用最小二乘法思想判断哪条直线拟合
程度更好,不是用散点图上的点到拟合直线的距离之和最小来 判断.
1 [正解] 用 y= x+1 作为拟合直线时,所得 y 估计值与 y 的实 3 ?4 ? ?10 ? ? ?2 ? 2 2 际值的差的平方和为 S1 =?3-1? +(2-2) +(3-3) +? 3 -4? 2 + ? ? ? ? ? ?11 ? ? ?2 7 ? 3 -5? =3; ? ? 1 1 用 y= x+ 作为拟合直线时,所得 y 估计值与 y 的实际值的 2 2 差的平方和为 ?7 ? ?9 ? ? ?2 ? ?2 1 2 2 2 S2=(1-1) +(2-2) +?2-3? +(4-4) +?2-5? = ; 2 ? ? ? ? 1 1 ∴S2<S1,∴用直线 y= x+ 拟合程度更好. 2 2
课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练

追本溯源 最小二乘法思想是:计算散点图上的各散点与拟

合直线y=bx+a在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和S,用
来衡量拟合直线y=bx+a与散点图中所有点的接近程度,使S达 到最小值的a,b的值就是最好的拟合直线y=bx+a方程中的a,

b,这种方法叫做最小二乘法.

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练

单击此处进入

活页规范训练

课前探究学习

课堂讲练互动

活页规范训练


高中数学 《线性回归方程》教案(2)

高中数学线性回归方程》教案(2)_数学_高中教育_教育专区。线性回归方程教学目标: (1 )了解非确定性关系中两个变量的统计方法; (2)掌握散点图的画法及在...

高中数学线性回归方程讲解练习题

高中数学线性回归方程讲解练习题_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 高中数学线性回归方程讲解练习题_数学_高中教育_教育专区。...

2011年高二数学测试:2.4《线性回归方程》(苏教版必修3))

2011年高二数学测试:2.4线性回归方程》(苏教版必修3))_高中教育_教育专区。2011年高二数学测试:2.4线性回归方程》(苏教版必修3))高中...

2015年高中数学 2.4.2线性回归方程学案2 苏教版必修3

2015年高中数学 2.4.2线性回归方程学案2 苏教版必修3_数学_高中教育_教育专区。线性回归方程 第 26 课时【学习导航】 学习要求 1.进一步了解非确定性关系中两个...

2015年高中数学 2.4.1线性回归方程学案1 苏教版必修3

2015年高中数学 2.4.1线性回归方程学案1 苏教版必修3_数学_高中教育_教育专区。线性回归方程 第 25 课时【学习导航】 学习要求 1.理解线性回归的基本思想和方法...

【数学】2.4《线性回归方程》测试(苏教版必修3)

【数学】2.4线性回归方程》测试(苏教版必修3)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。知识改变命运, 知识改变命运,学习成就未来 高中苏教数学③ 高中苏教数学③2.4...

高二数学线性回归方程检测试题

高二数学线性回归方程检测试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高二数学线性回归方程检测试题 2. 4 线性回归方程测试题 一、选择题 1.下列关系属于线性负相关的...

线性回归方程高考题

线性回归方程高考题_数学_高中教育_教育专区。线性回归方程高考题 1、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 (吨)与相 应的生产能耗 (吨...

新课标高中数学必修3人教A版-----线性回归方程(1)

新课标高中数学必修3人教A版---线性回归方程(1)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 新课标高中数学必修3人教A版---线性回归方程(1)_数学_高...