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数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计)4 .18


数列的概念与简单表示法(第一课时)教学设计
【课 【课 题】 型】 数列的概念与简单表示法(第一课时) 新授课 昆明市第 24 中学 云付泽

【授课教师】

一、教材与教学分析 1.数列在教材中的地位 根据新课程的标准, “数列”这一章首先通过“三角形数”“正方形数”等大量的实 、 例引入数列的概念,然后将数列作为一种特殊函数,

介绍数列的几种简单表示法,等差数 列和等比数列.这样就把生活实际与数学有机地联系在一起,这是符合人们的认识规律,让 学生体会到数学就在我们身边. 作为数列的起始课,为达到新课标的要求,从一开始就培养学生的研究意识、创新意 识、合作意识和应用意识,打造数列教与学的良好开端。教学中从日常生活中大量实际问 题入手,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受数列模型的广泛应用(如存款利息、 购房贷款等与人们生活联系密切的现实问题). 2.教学任务分析 (1) 理解数列的概念 新课标的教学更贴近生活实际.通过实例,引入数列的概念,理解数列的顺序性,感 受数列是刻画自然规律的数学模型.了解数列的几种分类. (2)了解数列是一类离散函数,体会数列中项与序号之间的变量依赖关系. 3.教学重点与难点 重点:理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型. 难点:认识数列是一种特殊的函数,发现数列与函数之间的关系 二、教学方法 小组合作、探究学习模式 通过对问题情境的分析讨论的方式,运用从具体到抽象、从特殊到一般的思维训练方 法,引导学生探究数学归纳法。 三、教学基本流程 创设问题情境,引入数列

给出数列概念

数列的分类

了解数列是一种特殊的 函数,体会数列与函数 的关系
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四、学习过程设计 【创设问题情境】 1. 传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题: 三角形数:1,3,6,10,? 正方形数:1,4,9,16,25,? 2. 古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.每日所取棰长排成的数: 1 1 1 1 1 1 , , , , , ,?? , 2 4 8 16 32 3. 4 月 10 日至 4 月 17 日昆明的日最高气温(单位:℃) 23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 思考:上述这些问题中的几列数有什么共同特点? (1) 都是一列数; (2)都有一定的顺序 【设计意图】 :引出课题------数列的概念与简单表示法 活动一:数列的概念探究 引导学生观察一下几列数具有的共同特征,然后让学生抓住数列的特征,归纳得出数 列概念。 (1)1,3,6,10,? 1,4,9,16,25,? 1 1 1 1 1 1 , , , , , ,?? 2 4 8 16 32 1 1 1 (2) 1 , , , ,?? 2 3 4 (3)23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 (4) ? 1 , 1 , ? 1 , 1 ,?? (5) 1 , 1 , 1 , 1 ,?? 引导学生:分组讨论,可能会有不同的答案:前数和后数的差符合一定规律;这些 数都是按照一定顺序排列的?只要合理教师就要给予肯定。 教师引导归纳出: 1. 数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数叫数列. 2. 数列的项 数列中的每一个数就是数列的项 3. 数列的一般形式:

a1 , a2 , a3 ,?, an ,? 简记为 ?an ?

【设计意图】 :利用学生熟悉的生活实例创设情景引入问题,既可以帮助学生直观地 理解数列的概念,又可以使学生认识到“数学来自于生活” 活动二:数列和集合的关系 将以上几列数用集合如何表示?请写出相应的集合。观察集合中的元素和原来数列中 数有什么差别? 经过以上问题可得出集合和数列的区别是: 第一,集合的对象可以是任意的东西。如全体中华人民共和国的公民组成一个集合, 某农场全部拖拉机组成一个集合,所有的化学元素组成一个集合,等等。而数列的对象都
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是数,组成数列各项的元素只能是数,而不能是其他的对象。 第二,集合里的元素不能重复,而数列中的数是可以重复的。 如数列: 1,1,2,2,3,3,4,4,? 是按照自然数列的规律,连续重复一次排列而成的,但是若把这个数列的各项看成是 一个集合的元素,那么这个数列只能写成 {1,2,3,4,?} ,而不能写成{1,1,2,2,3,3,4,4,?} 。 第三,集合中的元素是不考虑顺序的,而数列中各数的顺序是十分重要的。 例如:数列 1,2,3,4 与数列 4,3,2,1 是两个不同的数列。可是集合{1,2,3,4}与集合{4,3,2,1}则被认为是相 同的。 教师引导学生讨论得出: (1) 数列 ?an ? 中是一列数,而集合中的元素不一定是数; (2) 数列 ?an ? 中的数是有一定次序的,而集合中的元素没有顺序(无序性) ; (3) 数列 ?an ? 中的数可以重复,而集合中的元素不能重复(互异性) 。 【设计意图】 :加深对数列概念的理解,分清集合和数列的区别。 活动三:数列的分类 根据数列的项,以及数列项之间的大小关系可以对数列进行怎么样分类? 教师引导学生分析本节课所举的数列的特点,按一定的分类标准给出数列的分类: 1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6?是无穷数列 2)根据数列项的大小关系(单调性)分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列。 判断一下数列属于以上哪种数列? 1 1 1 1 1 (1) 1 , , , , , ,?? (无穷数列,递减数列) 2 4 8 16 32 1 1 1 (2) 1 , , , ,?? (无穷数列,递减数列) 2 3 4 (3)23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 (有穷数列,摆动数列) ? 1 , 1 , ? 1 , 1 ,?? (4) (无穷数列,摆动数列) (5) 1 , 1 , 1 , 1 ,?? (无穷数列,常数列) 【设计意图】 :了解对数列的分类,了解有穷数列,无穷数列,递增数列,递减数列,常数 列,摆动数列。 活动四:数列的表示方法 列表法,图像法,通项公式法(解析法)与函数一样
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数列的通项公式:如果数列 ?an ? 的第 n 项 表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 写出下列各数列的通项公式(口答): (1) 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , ,??, 2 63 (2) 1 , 2 , 3 , 4 ,?? , n ,?? (3) 2 , 4 , 6 , 8 ,?? (4) ? 1 , 1 , ? 1 , 1 ,?? (5) 1 , 1 , 1 , 1 ,??

与序号 n 之间的关系可以用一个公式来

例 1、已知数列{ an }的通项公式为 an ? 2n ? 1 ,写出这个数列的首项、第 2 项和第 3 项. 解:首项为: a1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 第 2 项为: a1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 第 3 项为: a1 ? 2 ? 3 ? 1 ? 5 思考:数列通项公式的作用? ① 通项公式能够很清楚的表示数列中项数和项的关系; ② 由通项公式可以求出数列中的每一项. ③ 检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项 的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个 数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 注意: ⑴并不是所有数列都能写出其通项公式, 如上述数列:23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,?它的通项公式 可以是 a n ?
n ?1 1 ? (?1) n ?1 ? |. ,也可以是 a n ?| cos 2 2

【设计意图】 :了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项,加深对数列通 项公式的理解,认识数列的几种表示方法,理解数列通项公式的作用 活动五:数列与函数的关系 (1)从映射的观点看,数列可以看作是:序号到数列项的映射 (2)从函数的观点看,数列项是序号的函数。 即:数列可以看成以正整数集(或它的有限子集{1,2,?,n})为定义域的函数

an ? f (n) ,当自变量从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值。
数列是特殊的函数 数列用图象表示时的特点——一系列孤立的点 【设计意图】 :体会数列与函数之间的紧密联系,理解数列是一种特殊的函数

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例 2、写出下面数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: 1 1 1 1 (1) ,? , , ; 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 (2) 2 , 0 , 2 , 0
2 2 2 2 (3) 2 ? 1 ; 3 ? 1 , 4 ? 1 ; 5 ? 1 ; 2 3 4 5 教师引导学生去思考,让学生来完成例题解答。 引导学生怎样写出已知数列的通项公式?归纳以下思路: 根据数列的前几项,写出数列的一个通项公式应注意分析数列的项和项数的关系,研 究这几项的表示式中哪些是变化的, 哪些是不变的, 探索各项中变化部分与项数之间关系, 从而归纳出项与项数的关系,写出通项公式. 【设计意图】 :对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的一个通项公式,让学生熟练 观察法写简单数列的通项公式

反馈练习: 1、观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个数列的一个通项公式: (1) 2 , 4 , ( ) , 16 , 32 , ( ), 128 (2) ( ), 4 , 9 , 16 , 25 , ( ), 49 1 1 1 1 (3) ? 1 , , ( ) , , ? , ( ), 128 2 4 5 6 (4) 1 ,

2,

(

) , 2,

5, (

),

7

2、根据数列 {an } 的通项公式,写出它的前 5 项: (1) an ? n 2 ? n (2) an ? 5 ? 2 n?1

3、写出一个数列的通项公式,使它的前 4 项分别是下列各数: (1) ? 1 , 2 , ? 3 , 4 (2) 1 , 4 , 9 , 16 1 1 1 1 1 1 1 ? , ? (2) 1 ? , , ? 2 2 3 3 4 4 5 【设计意图】 :通过学生演练,反馈教学情况 五、课堂小结 回顾本节课学习的主要内容 1.数列的有关概念 2.数列的通项公式 3.数列的实质 4.本节课的能力要求是: (1) 会由通项公式 求数列的任一项 (2) 会用观察法由数列的前几项求数列的通项公式. (3)会检验某数是否是某数列中的一项.
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六、作业布置: 1、学习反馈训练(时间:15---20 分钟) 2、思考题: ①为什么课本练习 4 中要求写出数列的“一个”通项公式? ②你能写出前四项为 1,1,1,1 的数列的两个通项公式吗?
③你认为所有的数列都有通项公式吗?问题情境中的三角形数:1,3,6,10,?构成的数列 有没有通项公式?若有,你能写出它的一个通项公式吗?

七、板书设计 数列的概念与简单表示法(一) 1、数列的定义及有关概念: 2、数列和集合的关系 3、数列的分类: 5、数列的表示方法: 4、数列的实质:是一种特殊的函数 an ? f (n) ,图象是一系列孤立的点 八、教学反思

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