nbhkdz.com冰点文库

2014年全国高考新课标卷I理科数学试题


2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I(河南、 河北 、 山西) 理科数学
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 ? 2 x ? 3 ≥ 0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A ∩ B =

/>
A .[-2,-1]
2.

B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

(1 + i)3 = (1 ? i )2
B .1 ? i

A .1 + i

C . ?1 + i

D . ?1 ? i

3.设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x) 时奇函数, g ( x ) 是偶函数,则下列结论正确的 是

A . f ( x) g ( x ) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x ) 是奇函数 D .| f ( x) g ( x ) |是奇函数
2

C . f ( x) | g ( x ) |是奇函数
2

4.已知 F 是双曲线 C : x ? my = 3m( m > 0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为

A. 3

B .3

C . 3m

D . 3m

5.4 位同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、 周日 都有同学参加公益活动的概率

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

6.如图,圆 O 的半 径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边 为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ,则 y = f ( x) 在[0, π ]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =
第 1 页 共 9 页

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

8.设 α ∈ (0,

π π 1 + sin β ) , β ∈ (0, ) ,且 tan α = ,则 2 2 cos β π 2
B . 2α ? β =

A . 3α ? β =
9.不等式组 ?

π 2

C . 3α + β =

π 2

D . 2α + β =

π 2

?x + y ≥ 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ≤ 4 p2 : ?( x, y ) ∈ D , x + 2 y ≥ 2 , p4 : ?( x, y ) ∈ D , x + 2 y ≤ ?1 .

p1 : ?( x, y ) ∈ D, x + 2 y ≥ ?2 , P3 : ?( x, y ) ∈ D , x + 2 y ≤ 3 ,
其中真命题是

A . p2 , p3
2

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , p3

10.已知抛物线 C : y = 8 x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个 焦点,若 FP = 4 FQ ,则 | QF | =

uuu r

uuu r

A.

7 2
3

B.
2

5 2

C .3

D .2

11.已知函数 f ( x) = ax ? 3 x + 1 ,若 f ( x) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0 >0,则 a 的取值范围为

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)

D .(-∞,-1)

12.如图, 网格纸上小正方形的边长为 1, 粗实线画出的是某多面体的三 视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

A .6 2

B .4 2

C .6

D .4
共90分)

第Ⅱ卷(非选择题

本 卷包 括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作 答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二.填空题:本 大题共四小题,每小题5分。 13. ( x ? y )( x + y )8 的展开式中 x 2 y 2 的系数为 .(用数字填写答案)

第 2 页 共 9 页

14.甲、 乙、 丙三位同学被 问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 乙说:我没去过 C 城市; . .

由此可判断乙去过的城市为

uuu r uuur uuur 1 uuu r uuur 15.已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO = ( AB + AC ) ,则 AB 与 AC 的夹角为 2

16.已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2, 且 (2 + b)(sin A ? sin B) = (c ? b)sin C , 则 ?ABC 面积的最大值为 .

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本 小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 S n ,a1 =1,an ≠ 0 ,an an +1 = λ S n ? 1 , 其中 λ 为常数. (I)证明: an + 2 ? an = λ ; (Ⅱ)是否存在 λ ,使得{ an }为等差数列?并说明理由. 18. (本 小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由 测量结果得如下频率分布直方图: (I)求这 500 件产品质量指标值的样本 平均数 x 和样本 方差 s (同一组数据用该区间的中点值 作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N ( ? , δ ) ,其中 ?
2

2

近似为样本 平均数 x , δ 近似为样本 方差 s .
2
2

(i)利用该正态分布,求 P (187.8 < Z < 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,学 科网记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果, 求 EX . 附: 150 ≈12.2.若 Z ~ N ( ? , δ ) ,则 P ( ? ? δ < Z < ? + δ ) =0.6826,
2

P ( ? ? 2δ < Z < ? + 2δ ) =0.9544.
19. (本 小题满分 12 分)如图三棱锥 ABC ? A1 B1C1 中, 侧面 BB1C1C 为菱形, AB ⊥ B1C .
第 3 页 共 9 页

(I)证明: AC = AB1 ; (Ⅱ)若 AC ⊥ AB1 , ∠CBB1 = 60 o ,AB=Bc,求二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值. 20. (本 小题满分 12 分) 已知点 A(0, -2) , 椭圆 E :

3 x2 y 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 ,F 2 a b 2

是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为 (I)求 E 的方程;

2 3 , O 为坐标原点. 3

(Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程. 21. (本 小题满分 12 分)设函数 f ( x 0 = ae ln x +
x

be x ?1 ,曲线 y = f ( x ) 在点(1, f (1) )处的切 x

线为 y = e( x ? 1) + 2 .

(I)求 a, b ; (Ⅱ)证明: f ( x) > 1 .

请考生从第(22) 、(23) 、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果 多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22.(本 小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE (Ⅰ)证明:∠D=∠E;学科网 (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形. 23. (本 小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

x2 y2 ?x = 2 + t 已知曲线 C : + = 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y = 2 ? 2t
(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A , 求 | PA | 的最大值与最小值. 24. (本 小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a > 0, b > 0 ,且
o

1 1 + = ab . a b

(I) 求 a3 + b3 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a, b ,使得 2a + 3b = 6 ?并说明理由.
第 4 页 共 9 页

2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 答案
1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13.-20 14.A 15.90° 16. 2

17. 【 解析】:(Ⅰ)由题设 an an +1 = λ Sn ? 1 , an +1an + 2 = λ S n +1 ? 1 ,两式相减

an +1 ( an+ 2 ? an ) = λ an +1 ,由于 an ≠ 0 ,所以 an + 2 ? an = λ

…………6 分

(Ⅱ)由题设 a1 =1, a1a2 = λ S1 ? 1 ,可得 a2 = λ1 ? 1 ,由(Ⅰ)知 a3 = λ + 1 假设{ an }为等差数列,则 a1 , a2 , a3 成等差数列,∴ a1 + a3 = 2a2 ,解得 λ = 4 ; 证明 λ = 4 时,{ an }为等差数列:由 an + 2 ? an = 4 知 数列奇数项构成的数列 {a2 m?1} 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 a2 m ?1 = 4 m ? 3 令 n = 2 m ? 1, 则 m =

n +1 ,∴ an = 2n ? 1 ( n = 2 m ? 1) 2

数列偶数项构成的数列 {a2 m } 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 a2 m = 4m ? 1 令 n = 2 m, 则 m =

n ,∴ an = 2n ? 1 ( n = 2 m ) 2

∴ an = 2n ? 1 ( n ∈ N * ) , an +1 ? an = 2 因此,存在存在 λ = 4 ,使得{ an }为等差数列. ………12 分

18. 【 解析】:(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本 平均数 x 和样本 方差 s 2 分别为

x = 170 × 0.02 + 180 × 0.09 + 190 × 0.22 + 200 × 0.33 + 210 × 0.24 + 220 × 0.08 + 230 × 0.02 = 200 s 2 = ( ?30 ) × 0.02 + ( ?20 ) × 0.09 + ( ?10 ) × 0.22 + 0 × 0.33
2 2 2

+ (10 ) × 0.24 + ( 20 ) × 0.08 + ( 30 ) × 0.02
2 2 2

= 150
(Ⅱ) (ⅰ)由(Ⅰ)知 Z ~ N (200,150) ,从而

…………6 分

P (187.8 < Z < 212.2) = P (200 ? 12.2 < Z < 200 + 12.2) = 0.6826

………………9 分

(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826
第 5 页 共 9 页

依题意知 X : B (100, 0.6826) ,所以 EX = 100 × 0.6826 = 68.26

………12 分 ,

19. 【 解析】: (Ⅰ)连结 BC1 , 交 B1C 于 O, 连结 AO. 因为侧面 BB1C1C 为菱形, 所以 B1C ⊥ BC1 且 O 为 B1C 与 BC1 的中点.又 AB ⊥ B1C ,所以 B1C ⊥ 平面 ABO ,故 B1C ⊥ AO 又 B1O = CO ,故 AC = AB1 (Ⅱ)因为 AC ⊥ AB1 且 O 为 B1C 的中点,所以 AO=CO ………6 分 又因为 AB=BC ,所以

?BOA ? ?BOC
故 OA⊥OB ,从而 OA,OB, OB1 两两互相垂直. 以 O 为坐标原点,OB 的方向为 x 轴正方向,OB 为单位长, 建立如图所示空间直角坐标系 O- xyz . 因为 ∠CBB1 = 60 0 , 所以 ?CBB1 为等边三角形.又 AB=BC ,则

? ? ? 3? 3 ? 3 ? A ? 0, 0, , B (1, 0, 0 ) , B1 ? 0, , 0 ? , C ? 0, ? ,0? ? ? ? ? 3 ? ? ? 3 3 ? ? ? ? ? ? uuur ? r uuu r ? r ? 3 3 ? uuuu 3 ? uuuur uuu 3 ? AB1 = ? 0, ,? , A1 B1 = AB = ? 1, 0, ? , B1C1 = BC = ? ?1, ? ,0? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ? r 设 n = ( x, y, z ) 是平面的法向量,则 ? 3 3 r uuur y? z=0 ? ? r n g AB = 0 ? ? 3 3 1 ,即 ? 所以可取 n = 1, 3, 3 r ? r uuuu 3 ? ? ?ng A1 B1 = 0 x? z=0 ? ? 3 ur uuuu r ur ? ur m g A B ? 1 1 =0 设 m 是平面的法向量,则 ? r uuuu ,同理可取 m = 1, ? 3, 3 r ? ?ng B1C1 = 0 r ur r ur ng m 1 1 则 cos n, m = r ur = ,所以二面角 A ? A1 B1 ? C1 的余弦值为 . 7 ngm 7

(

)

(

)

20. 【 解析】 (Ⅰ) 设 F ( c, 0 )

,由条件知

2 2 3 = ,得 c = 3 c 3



c 3 = , a 2

第 6 页 共 9 页

x2 所以 a=2 , b = a ? c = 1 ,故 E 的方程 + y 2 = 1. 4
2 2 2

……….6 分

(Ⅱ)依题意当 l ⊥ x 轴不合题意,故设直线 l: y = kx ? 2 ,设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 将 y = kx ? 2 代入

x2 + y 2 = 1 ,得 (1 + 4k 2 ) x 2 ? 16 kx + 12 = 0 , 4 8k ± 2 4k 2 ? 3 3 时, x1,2 = 4 1 + 4k 2

当 ? = 16(4k 2 ? 3) > 0 ,即 k 2 >

从而 PQ =

k 2 + 1 x1 ? x2 =

4 k 2 + 1g 4k 2 ? 3 1 + 4k 2
2 k2 +1
2

又点 O 到直线 PQ 的距离 d =

,所以 ? OPQ 的面积 S ?OPQ =

1 4 4k 2 ? 3 d PQ = , 2 1 + 4k 2

设 4k 2 ? 3 = t ,则 t > 0 , S ?OPQ =

4t 4 = ≤ 1, t +4 t+4 t

当且仅当 t = 2 , k = ±

7 时等号成立,且满足 ? > 0 ,所以当 ? OPQ 的面积最大时, l 的方程 2
…………………………12 分
x

为: y =

7 7 x?2 或 y = ? x?2. 2 2

21. 【 解析】 (Ⅰ) 函数 f ( x ) 的定义域为 ( 0, +∞ ) , f ′( x) = ae ln x + 由题意可得 f (1) = 2, f ′(1) = e
x

a x b x ?1 b x ?1 e ? 2e + e x x x

,故 a = 1, b = 2

……………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

2e x ?1 2 f ( x ) = e ln x + ,从而 f ( x) > 1 等价于 x ln x > xe ? x ? x e
时, g ′( x) < 0 ,当

设函数

? 1? g ( x ) = x ln x ,则 g ′( x ) = x + ln x ,所以当 x ∈ ? 0, ? ? e?
时, g ′( x) > 0 ,故 g ( x ) 在

?1 ? x ∈ ? , +∞ ? ?e ?
调递增,从而

? 1? ? 0, ? 单调递减,在 ? e?

?1 ? ? , +∞ ? 单 ?e ?

g ( x ) 在 ( 0, +∞ )

的最小值为
第 7 页 共 9 页

1 1 g( ) = ? . e e
设函数

……………8 分

h( x) = xe ? x ?

2 ?x ,则 h′( x ) = e (1 ? x ) ,所以当 x ∈ ( 0,1) e
,故 h ( x) 在

时, h′( x) > 0



当 x ∈ (1, +∞ ) 递减,从而

时, h′( x) < 0

( 0,1) 单调递增,在

(1, +∞ ) 单调

h ( x) g ( x ) 在 ( 0, +∞ )
……12 分

的最小值为

1 h(1) = ? . 综上:当 x > 0 时, e

g ( x ) > h ( x) ,即 f ( x) > 1 .

22. 【 解析】 .(Ⅰ) 由题设知得 A、 B、 C、 D 四点共圆, 所以 ∠ D= ∠ CBE, 由已知得, ∠ CBE= ∠ E , 所以 ∠ D= ∠ E ……………5 分 (Ⅱ)设 BCN 中点为,连接 MN,则由 MB=MC ,知 MN⊥BC 所以 O 在 MN 上,又 AD 不 是 O 的直径,M 为 AD 中点,故 OM⊥AD, 即 MN⊥AD,所以 AD//BC,故 ∠ A= ∠ CBE, 又 ∠ CBE= ∠ E,故 ∠ A= ∠ E 由(Ⅰ)(1)知 ∠ D= ∠ E, 所以△ADE 为等边三角 形. ……………10 分 23. 【 解析】 .(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x + y ? 6 = 0 (Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos θ ,3sin θ )到 l 的距离为

? x = 2 cos θ ? y = 3sin θ

( θ 为参数) ,

………5 分

d=

5 4 cos θ + 3sin θ ? 6 , 5 d 2 5 = 5sin (θ + α ) ? 6 0 sin 30 5
,其中 α 为锐角.且 tan α =

则 | PA |=

4 . 3

当 sin (θ + α ) = ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为 当 sin (θ + α ) = 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为

22 5 ; 5
…………10 分

2 5 . 5

24. 【 解析】 (Ⅰ) 由 ab =

1 1 2 + ≥ ,得 ab ≥ 2 ,且当 a = b = 2 时等号成立, a b ab 2 时等号成立,∴ a 3 + b 3 的最小值为 4 2 .…5 分

故 a + b ≥ 3 a gb = 4 2 ,且当 a = b =
3 3 3 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: 2a + 3b ≥ 2 6 ab ≥ 4 3 ,
第 8 页 共 9 页

由于 4 3 >6,从而不存在 a , b ,使得 2a + 3b = 6 .

……………10 分

第 9 页 共 9 页


2014年新课标I卷高考理科数学试卷(带详解)

2014年新课标I卷高考理科数学试卷(带详解)_高考_高中教育_教育专区。2014 高考...【难易程度】容易题. 4.[2014 高考真题· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 F 为双...

2014年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)word版

2014年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)word版_数学_高中教育_教育专区。2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I(河南、河北、山西) 理科数学第Ⅰ卷...

14年高考真题——理科数学(新课标I卷)

2014 年高考真题理科数学(解析版) 新课标 I 卷 2014 年普通高等学校招生全国统一考试新课标 I 卷数学(理科) 一.选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,...

2014年高考新课标全国卷I理综试卷及答案

2014 年高考新课标全国卷 I 理综生物试题 1.关于细胞膜结构和功能的叙述,错误的是 A.脂质和蛋白质是组成细胞膜的主要物质 B.当细胞衰老时,其细胞膜的通透性会...

最新2014年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)word版

最新2014年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)word版_数学_高中教育_教育专区。2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I(河南、河北、山西) 理科数学 ...

2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷(数学理)解析版

2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷(数学理)解析版_数学_高中教育_教育专区。2014 年高招全国课标 1(理科数学 word 解析版)第Ⅰ卷一.选择题:共 12 ...

2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标1

2014年全国高考文科数学试题及答案-新课标1_高考_高中教育_教育专区。2014新课标...Easyclass 课标一 2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科) (课标 I) ...

2014年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)WORD版

2014年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)WORD版_其它技巧_PPT制作技巧_实用文档。2014年全国高考新课标卷I理科数学试题(含答案)WORD版呀...

2014年全国高考全国新课标I数学(理)试卷及答案【精校版】

2014年全国高考全国新课标I数学(理)试卷及答案【精校版】_高考_高中教育_教育专区。2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 1 理科数学注意事项: 1. 本试卷...