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【非常学案】2014-2015学年高中数学人教B版选修2-2配套课件:1.3.1利用导数判断函数的单调


RB . 数学 . 选修2-2
教 学 教 法 分 析

1.3

导数的应用

1.3 . 1 利用导数判断函数的单调性

易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标 课 后 知 能 检 测 教 师 备 选 资 源

课 前 自 主 导 学

三维目标
1.知识与技能 (1)探索函数的单调性与导数的关系; (2)会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间.
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课 堂 互 动 探 究

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RB . 数学 . 选修2-2 2.过程与方法

(1)通过本节的学习,掌握用导数研究单调性的方法;
(2) 在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力, 渗透数形结合思想、转化思想. 3.情感、态度与价值观 通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善

总结,培养学生的探索精神,引导学生养成自主学习的学习
习惯.

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RB . 数学 . 选修2-2 ●重点难点 重点:探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区 间.

难点:探索函数的单调性与导数的关系.

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【问题导思】 1 已知函数 y1= ,y2=2x,y3=x2 的图象如图 1-3-1 x 所示.

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1.试结合图象写出以上三个函数的单调区间.

【提示】

1 函数 y1= 的单调递减区间为 (- ∞, 0) x

和(0, +∞), 函数 y2=2x 的单调递增区间为(-∞, +∞), 函数 y3=x2 的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间 为(-∞,0).

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2.判断以上三个函数的导数在其单调区间上的正、负.

1 【提示】 y1′=- 2在(-∞,0)及(0,+∞)上均为 x 负值; y2′=2xln 2 在(-∞,+∞)上为正值; y3′=2x 在(-∞,0)上为负值,在(0,+∞)上为正 值.

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RB . 数学 . 选修2-2 用函数的导数判断函数单调性的法则,设函数 y = f(x) 在

区间(a,b)内可导,
f′(x)>0 (1) 如果在 (a , b) 内, ______________ ,则 f(x) 在此区间是 增函数,(a,b)为f(x)的单调增区间. f′(x)<0 (2) 如果在 (a , b) 内, ______________ ,则 f(x) 在此区间是 减函数,(a,b)为f(x)的单调减区间.

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RB . 数学 . 选修2-2 上述结论可用图1-3-2来直观理解.

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设函数 f(x) 在定义域内可导, y = f(x) 的图象如图 1 - 3 - 3 所示,则导函数y=f′(x)可能为( )

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RB . 数学 . 选修2-2 【思路探究】 由函数 y = f(x) 的图象可得到函数的单调

性情况,进而确定导数的正负,再“按图索骥”.
【自主解答】 由函数的图象知:当 x<0时,函数单调递

增,导数始终为正;当x>0时,函数先增后减再增,导数先正 后负再正,对照选项,应选D. 【答案】 D

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1.利用导数符号判断单调性的方法:

利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简
单的多,只需判断导数在该区间内的正负即可. 2.通过图象研究函数单调性的方法. (1) 观察原函数的图象重在找出 “ 上升 ”“ 下降 ” 产生变 化的点,分析函数值的变化趋势;

(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点,
分析导数的正负.
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(2013·潍坊高二检测)设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x) 的 图 象 如图 1 - 3 - 4 所 示 , 则 y = f(x) 的 图象 最 有 可能 的 是

(

)

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【解析】

由 f′(x) 的图象知,当 x∈( - ∞ , 0)∪(2 ,+ ∞ )

时,f′(x)>0, x∈(0, 2)时,f′(x)<0,则函数 f(x) 在区间( - ∞,

0)与(2,+∞)上是增函数,在区间(0,2)上是减函数,对照选
项知应选C. 【答案】
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C
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1 2 讨论函数 f(x)= ax +x-(a+1)ln x(a≥0)的单调性. 2
【思路探究】 按照导数研究函数单调性的步骤求解.

【自主解答】 函数 f(x)的定义域为(0,+∞), a+1 ax2+x-(a+1) f′(x)=ax+1- = , x x x-1 (1)当 a=0 时,f′(x)= , x 由 f′(x)>0,得 x>1;由 f′(x)<0,得 0<x<1.
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所以,f(x)在(0,1)内为减函数,在(1,+∞)内为增 函数;
? a+1? ? ? a?x+ ?(x-1) a ? ?

(2)当 a>0 时,f′(x)=

x



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a+1 因为 a>0,所以- <0, a 由 f′(x)>0,得 x>1;由 f′(x)<0,得 0<x<1. 所以,f(x)在 (0,1)内为减函数,在(1,+∞)内为增 函数. 综上所述,a≥0 时 f(x)在 (0,1)内为减函数; 在(1,+∞)内为增函数.

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利用导数研究函数单调性的方法:
第一步:求定义域,对函数求导; 第二步:解导数等于0时的方程; 第三步:导数大于0的区间与定义域求交集为增区间,小 于0的区间与定义域求交集为减区间,即“正增负减”.

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1 2 若把函数“f(x)= ax + x- (a +1)ln x(a≥0)”变 2 为“f(x)=x2-aln x(a≥0)”,试讨论 f(x)的单调性.

【解】 函数 f(x)的定义域是(0,+∞),
2 a 2x -a f′(x)=2x- = , x x

设 g(x)=2x2-a,由 g(x)=0 得 2x2=a. 当 a=0 时,f′(x)=2x>0,函数 f(x)在区间(0,+∞) 上为增函数;
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2a 2a 当 a>0 时, 由 g(x)=0 得 x= 或 x=- (舍去). 2 2 当 当
? x∈? ?0, ? ? x∈? ? ?

2a? ? 时,g(x)<0,即 f′(x)<0; 2 ? ?

? 2a ? ,+∞?时,g(x)>0,即 f′(x)>0; 2 ?
? f(x)在区间? ?0, ?

所以当 a>0 时, 函数
? 在区间? ? ?

2a? ? 上为减函数, 2 ? ?

? 2a ? ,+∞?上为增函数. 2 ?

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综上,当 a=0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数; 当 a>0 时,函数
? ? ?0, ? ? f(x)在? ? ? ? 2a ? ,+∞?上为增函数,在 2 ?

2a? ? 上为减函数. 2 ? ?

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a 已知函数 f(x)=x + (x≠0, 常数 a∈R), 若函数 f(x) x
2

在 x∈[2,+∞)上是单调递增的,求 a 的取值范围.
【思路探究】 f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则必有f

′(x)≥0 , x∈[2 , + ∞ ) .可从 f′(x)≥0 在 x∈[2 ,+ ∞ ) 恒成立入

手,最后检验使f′(x)=0时参数a的值是否符合题意.

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3 a 2x -a 【自主解答】 f′(x)=2x- 2= 2 . x x

要使 f(x)在[2,+∞)上是单调递增的,则 f′(x)≥0 在 x∈[2,+∞)时恒成立, 2x3-a 即 2 ≥0 在 x∈[2,+∞)时恒成立. x ∵x2>0,∴2x3-a≥0, ∴a≤2x3 在 x∈[2,+∞)上恒成立.

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∴a≤(2x3)min. ∵x∈[2,+∞),y=2x3 是单调递增的, ∴(2x3)min=16,∴a≤16. 2x3-16 当 a=16 时,f′(x)= ≥0(x∈[2,+∞))有且只 x2 有 f′(2)=0,∴a 的取值范围是(-∞,16].

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已知f(x)在区间(a,b)上的单调性求参数范围的方法:

(1) 利用集合的包含关系处理: f(x) 在 (a , b) 上单调递增
(减),则区间(a,b)是相应单调区间的子集; (2) 利用不等式的恒成立处理: f(x) 在 (a , b) 上单调递增 (减),则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a,b)内恒成立,注意验证等号是否 成立.

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已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1),a>0,若f(x)在(0,1) 上是增函数,求a的取值范围.

【解】 法一 f′(x)=2a-3x2. 令 f′(x)>0,即 2a-3x2>0. ∴0<x< 2 a(∵a>0). 3 2 ? ? a?, 3 ?

? ∴f(x)的递增区间是? ?0, ?

又∵f(x)在(0,1)上是增函数.
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? ∴(0,1)?? ?0, ?

2 ? ? a?,∴ 3 ?

2 3 a≥1,即 a≥ . 3 2

∴a

?3 ? ? 的取值范围是? ,+∞? ?. 2 ? ?

法二 f′(x)=2a-3x2, ∵f(x)在(0,1)上是增函数, ∴f′(x)≥0 在(0,1)上恒成立. ∴2a-3x2≥0, 3 2 即 a≥ x . 2
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又∵x∈(0,1), 3? 3 2 ? 3 ? ? ∴ x ∈?0, ?,即 a≥ . 2? 2 2 ? ∴a
?3 ? ? 的取值范围为? ,+∞? ?. 2 ? ?

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忽视导数为零的情况致误 对于函数y=f(x),x∈(a,b),“f′(x)>0”是“函数y=f (x)为增函数”的( )

A.充分不必要条件
C.充要条件 【错解】

B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

由f′(x)>0?函数y=f(x)为增函数知f′(x)>0是函

数y=f(x)为增函数的充要条件,故选C. 【答案】
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C
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RB . 数学 . 选修2-2 【错因分析】 f′(x)>0?函数y=f(x)为增函数,但当函数

y= f(x)为增函数时, f′(x)≥0,本题求解时忽视了当函数 f(x) 为
增函数时,存在x0∈(a,b),使得f′(x0)=0的情况. 【防范措施】 当函数f(x)在区间(a,b)上为增函数时,f′ (x)>0 不一定成立,可通过举例说明,如函数 f(x)= x3在 R上是 增函数,但f′(x)=3x2≥0.

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RB . 数学 . 选修2-2 【正解】 由f′(x)>0?函数f(x)为增函数,但函数f(x)为增

函数D?/f′(x)>0,知“f′(x)>0”是“ 函数y=f(x)为增函数 ”的
充分不必要条件,故选A. 【答案】 A

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1.设函数f(x)的图象如图1- 3-5所示,则导函数f′(x)的
图象可能为( )

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RB . 数学 . 选修2-2 【解析】 由函数 f(x) 的图象可知,函数 f(x) 的单调递增

区间为(1,4),单调递减区间为(-∞,1)和(4,+∞),因此x∈
(1 , 4) 时, f′(x)>0 , x∈( - ∞ , 1) 或 x∈(4 ,+ ∞ ) 时 f′(x)<0 ,结 合选项知选C. 【答案】 C

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2.函数 f(x)=3+x· ln x 的单调递增区间是(
? 1? ? A.?0, ? e? ? ? ?1 ? ? C.? ,+∞? ? ?e ?

)

B.(e,+∞)
?1 ? ? D.? ,e? ? ?e ?

【解析】 f′(x)=ln x+1,令 f′(x)>0 即 ln x+1>0 得
?1 ? 1 ? x> .∴函数 f(x)的单调递增区间为? ,+∞? ?. e e ? ?

【答案】

C

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RB . 数学 . 选修2-2 3.已知函数y= f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图 1- 3- 6 所示,则下列关于函数 y = f(x) 的单调性的说法中,正确的是 ( )

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RB . 数学 . 选修2-2 A.在(x0,x1)上f(x)是常数函数

B.在(-∞,x2)上f(x)不是单调函数
C.在(x2,x3)上f(x)是常数函数 D.在(x2,+∞)上f(x)是单调递增 【解析】 因为 x∈( - ∞ , x2) 时, f′(x) < 0 ,故 f(x) 在 ( - ∞,x2)上单调递减;

x∈[x2 , x3) 时, f′(x) = 0 恒成立,即函数 f(x) 的变化率为
0,故为常数函数. 【答案】 C
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RB . 数学 . 选修2-2 4.已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)是否存在a,使f(x)的单调减区间是(-1,1).

(2)若f(x)在R上是增函数,求a的取值范围.
【解】 f′(x)=3x2-a.

(1)∵f(x)的单调减区间是(-1,1), ∴-1<x<1是f′(x)<0的解, ∴x=±1是方程3x2-a=0的两根,所以a=3.

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RB . 数学 . 选修2-2 (2)∵f(x)在R上是增函数,

∴f′(x)=3x2-a≥0对x∈R恒成立,
即a≤3x2对x∈R恒成立. ∵y=3x2在R上的最小值为0. ∴a≤0.∴a的取值范围是(-∞,0].

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课后知能检测 点击图标进入…

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已知函数 f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 取值范围.
? 2 1? ? f(x)在区间?- ,- ? ?上单调递减,求 3 3 ? ?

a的

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【思路探究】 (1)求出函数 f(x)=x3+ax2+x+1 的导

数 f′(x)= 3x2+ 2ax+ 1,再结合所求研究导函数的正负符
? 2 1? ? 号. (2)只须在?- ,- ? ?上恒有 3 3 ? ?

f′(x)≤0 即可求解 a 的范围.

【自主解答】

(1)∵f′(x)=3x2+2ax+1,

令 f′(x)=3x2+2ax+1≥0,再令Δ=4a2-12≤0 时, 即 a2≤3,∴- 3≤a≤ 3, ∴当 a∈[- 3, 3]时,f′(x)≥0 恒成立,∴在 R 上 单调递增.
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当 a∈(-∞,- 3)∪( 3,+∞)时, f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为
?-a+ a2-3 ? ? ? ,+∞?, ? 3 ? ?
2 2 ? ? - a - a - 3 - a + a - 3 ? 单调递减区间为? , ? ?. 3 3 ? ? 2 ? - a - a -3? ? ? ?-∞, ? 3 ? ?



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? 2 1? ? +2ax+1≤0 在区间?- ,- ? ?恒成立即可. 3 3 ? ?

(2)只需 3x

2

令 g(x)=3x2+2ax+1,

∴a≥2. ∴a 的取值范围为[2,+∞).

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含有参数的函数单调性问题的处理方法: (1) 在判断含有参数的函数的单调性时,不仅要考虑到参 数的取值范围,而且要结合函数的定义域来确定f′(x)的符号, 否则会产生错误.

(2) 分类讨论是把数学问题划分为若干个局部问题,在每
一个局部问题中,原先的不确定因素,就变成了确定性问题, 当这些局部问题都解决了,整个问题就解决了.

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已知a∈R,求函数f(x)=x2eax的单调区间. 【解】
x.

函数f(x)的导数f′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)ea

(1)当a=0时,若x<0,则f′(x)<0;若x>0,则f′(x)>0,
所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)上为减函数,在区间 (0,+∞)上为增函数.

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2 (2)当 a>0 时,由 2x+ax >0,得 x<- 或 x>0; a
2

2 由 2x+ax <0,得- <x<0. a
2

所以当 a>0 时,函数

? 2? ? f(x)在区间?-∞,- ? ?和(0, a ? ?

? 2 ? ? +∞)上为增函数,在区间?- ,0? ?上为减函数. a ? ?

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2 (3)当 a<0 时,由 2x+ax >0,得 0<x<- ;由 2x a
2

2 +ax <0,得 x<0 或 x>- ,所以当 a<0 时,函数 f(x) a
2

? 2 ? ? 在 区 间 ( - ∞ , 0) 和 ?- ,+∞? ?上为减函数,在区间 ? a ? ? 2? ? ? 0 ,- ? ?上为增函数. a ? ?

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