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等差数列第一课时教案

时间:2011-12-16


等差数列(第一课时) 三、教学过程 (一)课题引入

教案

请同学们观察课本 36-37 的四个实例引出的四个特殊数列, 引导同学们发现 其中的共同规律。 ① 从 0 开始数数,每隔 5 数一次,数到的数组成的数列为:
0 , 5 , 10 , 15 , 20 ?

特点:无穷递增数列,从第二项起每一项与前一项的差等于 5 。 ② 较轻的 4 个举重级别:(我们可以发现举重级别级差是 5)
48 , 53 , 58 , 63 .

特点:有穷递增数列,从第二项起每一项与前一项的差等于 5 。 ③ 定期放水清理水库,自然放水每天水位降低 2.5
18 , 15.5 , 13 , 10.5 , 8 , 5.5 .

特点:有穷递减数列,从第二项起每一项与前一项的差等于 - 2.5 。 ④ 银行单利问题,单利及不把利息加入本金计算下一期的利息,也就是说 每一年的算利息时本金都是 1000,知识利息逐年累加而已.
10072 , 10144 , 10216 , 10288 , 10360 .

特点:有穷递减数列,从第二项起每一项与前一项的差等于 72 。 它们共同的特点是? 从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数。 我们把有这一特点的数列叫做等差数列。 (二)新课探究 1、数列的定义 (1)等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与前一项的差等于同一个常数, 那么这个数列就叫等差数列。这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 来表 示。 ①强调定义中的关健词有哪些. (2)等差数列定义的数学表达式:

an ? an-1 ? d (d 是常数, n ? 2且n ? N*)
或者 an +1 ? an

? d (d 是常数, n ? N*)

试一试:它们是等差数列吗? ① 1 , - 1 ,1 , - 1 ,1 , - 1 ? ② - 4 , -1, 2 , 5 , 8 ? ③ 每一项都是 5 的常数列 ④每一项都是 a 的常数列(其中 a 是常数) (3)等差中顶定义 过渡:提问 2,4,5 是不是等差数列,如果不是,怎么样改才是等差数列? 定义:由三个数 a , A ,b 组成的成等差数列可以看成是最简单的等差数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。 且有: 2 A ? a ? b ? A ?
a?b 2

注:如果取等差数列 ?an ? 中任意相邻的三项 an , a n ?1 , an?2 那么:
2an?1 ? an?2 ? an , n ? N *

?

?

2、等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式(求法一——迭代法) 如果等差数列 ?an ? 首项是 a1 ,公差是 d ,那么这个等差数列 a2 , a3 , a4 如何表 示? an 呢? 根据等差数列的定义可得:

a2 ? a1 ? d , a3 ? a2 ? d , a4 ? a3 ? d ,?
所以:

a2 ? a1 ? d ,
a3 ? a2 ? d ? ? a1 ? d ? ? d ? a1 ? 2d ,

a4 ? a3 ? d ? ? a1 ? 2d ? ? d ? a1 ? 3d ,
猜想: a5 ? a1 ? 4d , ??

由此猜想: an

? a1 ? (n ? 1)d ,

因此等差数列的通项公式就是:

an ? a1 ? (n ? 1)d , n ? N *

注:需要特别强调的是在求 a2 , a3 , a4 的过程中采用了迭代法,由猜想归纳出

an 的通项公式的方法称作不完全归纳法,这种方法仅仅是猜想出来的结论,没
有说服力,完整的方法——数学归纳法将在以后学习.所以下面我们引入第二种 方法(累加法)来证明等差数列的通项公式是 an

? a1 ? (n ? 1)d , n ? N *

(2)等差数列的通项公式(求法二——迭加法) 根据等差数列的定义可得:
a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d a3 ? a2 ? d
??

?n ? 1? 个式子相加

an?1 ? an?2 ? d

an ? an?1 ? d
将以上 n ? 1 个式子累加得等差数列的通项公式就是:

an ? a1 ? (n ? 1)d , n ? 2且n ? N *
当 n ? 1 时也满足上述式子,所以: 等差数列的通项公式就是:

an ? a1 ? (n ? 1)d , n ? N *

3、等差数列的判定 (1)引入 由课本 38 页的例 3,得出一种等差数列的判定方法,再强调定义和等差中 项都可以用来判定等差数列,其中定义和例 3 的方法最常用. 例 3:已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? pn ? q ,其中 p , q 为常数,那么这 个数列一定是等差数列吗?

分析:可以利用等差数列的定义判定数列是否是等差数列,也就是计算

an?1 ? an 是不是一个与 n 无关的常数.
(2)归纳 等差数列的三种判定方法 方法 符号语言 结论

an ? an?1 ? d ?常数?
定义法

?n ? 2且n ? N ?
*

2an ? an?1 ? an-1 ,

等差中项法

?an ?是等差数列

?n ? 2且n ? N ?
*

an ? pn ? q
通项公式法

?p, q为常数,n ? N ?
*

(三)应用 1、等差数列的通项公式的应用 例 1:(1) 求等差数列 8 , 5 , 2 ?的第 20 项

分析:由已知条件可知首项 a1 和公差 d 以及项数 n ,直接代入等差数列通 项公式即可求的 an . (2) 等差数列 -5,-9,-13,?,的第几项是–401?

分析:要判断 - 401 是不是数列的项,首先假设 - 401 是等差数列的项,那么 就相当于已知首项 a1 和公差 d 以及 an ,直接代入等差数列通项公式即可求的 n . 注:在应用等差数列的通项公式 an ? a1 ? ?n ? 1?d 过程中,对 an , a1 , n , d 这 四个基本量,知道其中三个量就可以通过列方程求余下的一个量,这是一种方程 的思想,我们称作“知三求一”。

例 2:某市出租车的计价标准为 1.2 元/ km ,起步价为 10 元,即最初的 4km (不含 4 km )计费 10 元.如果某人乘坐该市的出租出去往 14 km 处的目的地且一 路畅通,等候时间为 0 ,需要支付多少车费? 分析:这道题需要个别注意的是“最初的 4km (不含 4 km )” ,也就是 说在 3.9 km 处的计费为 10 元,在 4.1 km 处的计费为 11.2 元,在 4.0 km 处的计 费也为 11.2 元。 法一、那么在 13.5 km 处的计费应和 13.5 km 处的计费一样,为 10+1.2+ (13-4)*1.2=22 元.在第 14 km 处的计费为 10+1.2+(14-4)*1.2=23.2 元. 法二、如果我们从第 4km 处开始,每隔 1km 记一次费,那么所记的数组成 的数列是一个首项 a1 ? 10 ? 1.2 ? 11.2 ,公差 d ? 1.2 的一个等差数列,那么,当出 租出行至 14 km 处时, n ? 11 ,此时所要支付的车费为

a11 ? 11.2 ? ?11? 1? ?1.2 ? 23.2 元.
注:在利用等差数列方法解决实际问题时,一定要分清楚首项、项数、公 差、末项等关键问题.

例 3:三维设计第 20 页考点一的例一(作为练习抄在黑板上让学生做) 已知数列 ?an ? 为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式. (1) a3 ? 5 , a7 ? 13; 分析:由 a3和a7 ,根据通项公式可以列出两个有关首项 a1 和公差 d 的二元一 次方程组,最后带入通项公式 an ? a1 ? ?n ? 1?d 即可. (2)前三项为 a , 2a - 1 , 3 - a . 分析:法一,根据等差数列的定义有 a2 ? a1 ? d 和 a3 ? a2 ? d ,即

a2 ? a1 ? a3 ? a2 列出关于 a 的一元一次方程,解出 a 就可知道首项 a1 和公差 d .
法二,由等差中项同样可以列出关于 a 的一元一次方程. 2、课堂练习 (1)等差数列的判定及通项的应用(课本 39 页的练习 1、2、3)

练习 1 有时间的话讲解一小题。 练习 2 分析:由已知,如果每一排的座位数排成一个数列,那么所记的数 组成的数列是一个首项 a1 ? 15 ,公差 d ? 2 的一个等差数列,接下来代入通项公 式就可求出 an 和 a10 . 练习 3 等差数列 ?an ? 的首项为 a 公差为 d ,等差数列 ?bn ?的首项为 b 公差为

e ,如果 an ? bn ? cn ,且 c1 ? 4 , c2 ? 8 ,求数列 ?cn ?的通项公式.
分析: 题目已知数列 ?cn ?的首项和第二项, 同学们很容易想当然的认为 ?cn ?, 在这边, 需要强调求等差数列的通项公式时的前提是数列必须是等差数列.所以, 需要从已知的第一个条件判断 ?cn ?是否是等差数列, 这边我们需要用到定义法来 判定.

练习 4 三维设计 21 页右下方的习题 7 分析:(1)直接用通项公式法判定 ?an ? 是等差数列. (2)举反例

(四)小结 1、等差数列的定义,定义的符号形式,等差数列的定义 2、等差数列的通项公式: 公差 an?1 ? an

an ? a1 ? (n ? 1)d

? d (d是常数, n ? N*) ;

3、 知三求一: 等差数列的计算问题,通常知道其中三个量就可以利用通项公 式 an ? a1 ? ?n ? 1?d 求余下的一个量; 4、等差数列的判定 (五)作业

一、作业点评(学生易错点) 1、课本 33 页习题 2.1A 组第 1 题第(1)小题 ①1 不是质数; ② ?an ? 表示数列,有大括号;an 是通项公式,有具体数时我们只能用数列的 一般形式 a1 , a2 ,?, an ,不能加大括号。 2、课本 67 页复习参考题 A 组 ①第 2 题第(2)小题:比较复杂的数列,它的通项公式怎么写
a n ? 1 ? ?- 1?
n ?1

2n ? 1 n2


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