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基本不等式的应用及线性规划(有答案)2014年12月06日兰贵的高中数学组卷


基本不等式的应用及线性规划(有答案)
一.选择题(共 20 小题) 1. (2011?晋中三模)若 x,y,a∈R ,且 A. B.
+

恒成立,则 a 的最小值是( ) C .1 D.

2. (2010?深圳二模)设 a>0,b>0,则以下不等式中,不恒成立的是( A. B. C. D.aabb≥abba

>


3.设 x>y>z>0,若 A .1 B.2
2 2

恒成立,则 λ 的最大值是( C .3

) D.4 )

4.正数 a,b 满足 2a+b=1,且 2 A. (﹣∞, ] B. [

﹣4a ﹣b ≤t﹣ 恒成立,则实数 t 的取值范围是( ,+∞)
2

C.

[﹣



]

D. [ ,+∞)
2

5. 已知 a, b, c 为正数, 关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个相等的实数根. 则方程 (a+1) x+ (b+2) x+c+1=0 的实数根的个数是( ) A .0 或 1 B.1 或 2 C .0 或 2 D.不确定 6.若不等式 A. 对于任意正数 a,b 恒成立,则实数 λ 的取值范围为( ) B.(﹣∞,1) C.(﹣∞,2) D.(﹣∞,3)

7.若 A.a>1,b>1

,|logba|=﹣logba,则 a,b 满足的条件是( B.0<a<1,b>1

) D.0<a<1,0<b<1

C.a>1,0<b<1

8. (2014?河南)设 x,y 满足约束条件 A.﹣5 B.3

,且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=( C.﹣5 或 3



D.5 或﹣3

9. (2014?上饶一模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1.f′ (x)为 f(x)的导函数,已知函数 y=f′ (x)的 图象如图所示.若两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.(﹣∞,﹣3)

10. (2014?红河州模拟)在平面直角坐标系中,不等式组

(a 为常数)表示的平面区域面积是 9,那

么实数 a 的值为( A.3 +2

) B.﹣3 +2 C.﹣5 D.1

11. (2014?阳泉二模)实数 x,y 满足

若目标函数 z=x+y 取得最大值 4,则实数 a 的值为(



A .4

B.3

C .2

D.

12. (2014?凉州区二模)若实数 x,y 满足 A. B.

则 C.

的取值范围是(

) D.

13. (2014?安徽模拟)已知约束条件

若目标函数 z=x+ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值,则

a 的取值范围为( A. 0<a<

) B. a≥ C. a> D. 0<a<

14. (2014?北京模拟)设点 A(1,0) ,B(2,1) ,如果直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点,那么 a +b ( A. B. C. D. 最小值为 最大值为 最小值为 最大值为

2

2



15. (2014?甘肃一模)关于 x 的方程 x +(a+1)x+a+b+1=0(a≠0,a、b∈R)的两实根为 x1,x2,若 0<x1<1<x2 <2,则 的取值范围是( A. ) B. C. D.

2

16. (2014?赤峰模拟) 设 x, y 满足

时, 则 z=x+y 既有最大值也有最小值, 则实数 a 的取值范围是 (



A.a<1

B.

﹣ <a<1

C.0≤a<1

D.a<0

17. (2014?马鞍山一模)已知 a,b 是正数,且满足 2<a+2b<4.那么 a +b 的取值范围是( ) A. B. C.(1,16) D. ( , ) ( ,16) ( ,4)

2

2

18. (2014?凉州区二模)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为

12,则 + 的最小值为( A .4

) B. C .1 D.2

19. (2014?江西模拟)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x +y +2 的最大值(

2

2



A.15

B.17

C.18

D.19

20. (2014?湖北模拟)已知甲、乙两种不同品牌的 PVC 管材都可截成 A、B、C 三种规格的成品配件,且每种 PVC 管同时截得三种规格的成品个数如下表: A 规格成品(个) B 规格成品(个) C 规格成品(个) 2 1 1 品牌甲(根) 1 1 2 品牌乙(根) 现在至少需要 A、B、C 三种规格的成品配件分别是 6 个、5 个、6 个,若甲、乙两种 PVC 管材的价格分别是 20 元 /根、15 元/根,则完成以上数量的配件所需的最低成本是( ) A.70 元 B.75 元 C.80 元 D.95 元 二.填空题(共 10 小题) 21. (2014?龙泉驿区模拟)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=3.PB=2,PC=1.设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f(M)=(m,n,p) ,其中 m、n、p 分别是三棱锥 M﹣PAB、三棱锥 M﹣PBC、三棱锥 M﹣PCA 的体积.若 f(M)=( ,x,y) ,且 ≥8 恒成立,则正实数 a 的最小值为 _________ .

22. (2014?萧山区模拟)若不等式﹣1<ax +bx+c<1 的解集为(﹣1,3) ,则实数 a 的取值范围是 _________ . 23. (2013?郑州二模) 已知不等式 xy≤ax +2y 对于 x∈[1, 2] , y∈[2, 3]恒成立, 则实数 a 的取值范围是 _________ . 24. (2011?宿州模拟)已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m+2 恒成立,则 m 的范围是 _________ . 25.f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果 f(ax+1)≤f(x﹣2)在[ ,1]上恒成立,则实数 a 的取值范围是 _________ .
2 2

2

26.不等式 _________ .

在[﹣1,1]上恒成立,]则 a 的取值范围是

27.已知 f(x)=ax+ ,若﹣3≤f(1)≤0,3≤f(2)≤6,则 f(3)的取值范围为 _________ . 28.若关于 x 的不等式 <x+a 的解是 x>m,试求 m 的最小值为 _________ .

29.已知△ ABC 的三边长 a,b,c 满足 b+c≤2a,c+a≤2b,则 的取值范围是 _________ .

30.已知函数 y=f(x)是 R 上的减函数,函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称.若实数 x,y 满足不等式 f (x ﹣2x)≤﹣f(2y﹣y ) ,且 1≤x≤4,则 的取值范围是 _________ .
2 2

参考答案与试题解析
一.选择题(共 20 小题) 1. (2011?晋中三模)若 x,y,a∈R ,且 A. B.
+

恒成立,则 a 的最小值是( ) C .1 D.

考点: 不等式的综合;函数恒成立问题. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 先对不等式两边平方,整理成

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,再求出

的最大值,令其小于等于 a ﹣1 即可解出符合

2

条件的 a 的范围,从中求出最小值即可. 解答: 解:由题意 x,y,a∈R+,且 2 故有 x+y+2 ≤a (x+y) 即 a ﹣1≥ 由于 a ﹣1≥1,解得 a≥ 则 a 的最小值是 故选 B 点评: 本题考点是不等式的综合,综合考查了利用不等式的性质与基本不等式求不等式恒成立问题中的参数的取 值范围,求解本题的关键是将不等式变形分离出常数,且分离后变成可以应用基本不等式的形式. 2. (2010?深圳二模)设 a>0,b>0,则以下不等式中,不恒成立的是( A. B. C. D.aabb≥abba )
2 2

恒成立

考点: 不等式的综合. 专题: 证明题. 分析: 根据基本不等式的性质可知.
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排除 A, 取 a=1, b=2, 判断出 B 不成立. 考

查函数 y=

的单调性排除 C;由不等式的基本性质结合指数函数的性质对 D 选项进行判断即可.

解答: 解:∵ a>0,b>0, ∴ A. B. ≥ 取 a=1,b=2,则 B 不成立 的单调性, ≥4 故 A 恒成立,

C.考察函数 y=

故 C 恒成立,排除 C;

D.考察

,得:a b >a b ,故本选项正确;

a b

b a

故选 B. 点评: 本题主要考查了基本不等式问题.考查了学生对基础知识的掌握,熟知基本初等函数的基本性质是解答此 题的关键. 3.设 x>y>z>0,若 A .1 考点: 不等式的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: 由于 x>y>z>0,
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恒成立,则 λ 的最大值是( B.2 C .3

) D.4

?



,即 λ≤

,应用基本不等式即

可. 解答: 解:∵ x>y>z>0, ∴ 恒成立可转化为: ≤ 恒成立,即 λ≤ 恒成立;

∴ 只需 λ≤ ∵ x>y>z>0, ∴ =

即可.

=2+

≥4.



=4.

∴ λ≤4.即 λ 的最大值是 4. 故选 D. 点评: 本题考查不等式的综合,难点在于将 查基本不等式的应用,属于难题.
2 2

恒成立转化为 λ≤

恒成立;着重考

4.正数 a,b 满足 2a+b=1,且 2 A. (﹣∞, ] B. [

﹣4a ﹣b ≤t﹣ 恒成立,则实数 t 的取值范围是( ,+∞) C. [﹣ , ]



D. [ ,+∞)

考点: 不等式的综合. 分析: 2 2 由 a>0, b>0, 2a+b=1 得, 4a +b =1﹣4ab, 于是问题转化为: t≥2
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+4ab﹣ 恒成立, 令( f a, b) =2

+4ab

﹣ ,求得 f(a,b)的最大值,只需 t≥f(a,b)max 即可. 解答: 解:∵ a>0,b>0,2a+b=1, 2 2 ∴ 4a +b =1﹣4ab, ∴ 2 ﹣4a ﹣b ≤t﹣ 恒成立,转化为 t≥2
2 2

+4ab﹣ 恒成立,

令 f(a,b)=2

+4ab﹣ =4(ab+

﹣ )=4 ,

﹣ ,

又由 a>0,b>0,2a+b=1 得:1=2a+b≥2 ∴ ab≤ (当且仅当 a= ,b= 时取“=”) ;

∴ f(a,b)max=4 t≥ .

﹣ =



故选 B. 点评: 本题考查不等式的综合,关键在于构造函数 f(a,b)=2 着重考查转化思想与综合分析与应用的能力,属于难题. 5. 已知 a, b, c 为正数, 关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个相等的实数根. 则方程 (a+1) x+ (b+2) x+c+1=0 的实数根的个数是( ) A .0 或 1 B.1 或 2 C .0 或 2 D.不确定 考点: 不等式的综合;一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 2 2 2 分析: 先根据关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个相等的实根确定出△ =b ﹣4ac=0, 再求方程 (a+1) x+ (b+2) 2 x+c+1=0 的根的判别式,并将△ =b ﹣4ac=0 代入其中进行化简,然后根据它与 0 的大小来判断该方程的根的 情况. 2 解答: 解:∵ 关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=0 有两个相等的实根,
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+4ab﹣ ,通过配方与应用基本不等式解决,

2

2

∴ △ =b ﹣4ac=0,ac= 即 a+c≥b 或 a+c≤﹣b(舍) 则方程(a+1)x +(b+2)x+c+1=0 的根的判别式为: 2 2 △ =(b+2) ﹣4(a+1) (c+1)=b +4b﹣4ac﹣4a﹣4c=4b﹣4(a+c)=4b﹣4(a+c)=4[b﹣(a+c)]≤0, 2 ∴ 方程(a+1)x +(b+2)x+c+1=0 的根的个数为 0 或 1 个; 故选 A. 点评: 本题考查了一元二次方程的根的判别式.一元二次方程根的情况与判别式△ 的关系: (1)△ >0?方程有两个不相等的实数根; (2)△ =0?方程有两个相等的实数根; (3)△ <0?方程没有实数根. 6.若不等式 A. 对于任意正数 a,b 恒成立,则实数 λ 的取值范围为( ) B.(﹣∞,1) C.(﹣∞,2) D.(﹣∞,3)
2

2

考点: 不等式的综合. 专题: 计算题. 分析: 首先将不等式

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变形为 可求.

,利用

解答: 解:由不等式

可得 ,∴ λ<2,

,由于

故选 C. 点评: 本题考查不等式的性质,基本不等式的应用,属于基础题

7.若 A.a>1,b>1

,|logba|=﹣logba,则 a,b 满足的条件是( B.0<a<1,b>1

) D.0<a<1,0<b<1

C.a>1,0<b<1

考点: 不等式的综合;不等式比较大小. 专题: 计算题. 分析: 先利用|a|=a 则 a≥0,|a|=﹣a 则 a≤0,将条件进行化简,然后利用对数函数的单调性即可求出 a 和 b 的范围. 解答: 解:∵ | |= ,
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≥0=loga1,根据对数函数的单调性可知 0<a<1

∵ |logba|=﹣logba ∴ logba<0=logb1,根据对数函数的单调性可知 b>1 故选 B 点评: 本题主要考查了绝对值方程,以及对数的运算性质和对数函数的单调性等基础题知识,属于基础题.

8. (2014?河南)设 x,y 满足约束条件 A.﹣5 B.3

,且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=( C.﹣5 或 3



D.5 或﹣3

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合. 分析: 由约束条件作出可行域,然后对 a 进行分类,a=0 时最小值不等于 7,a<0 时目标函数无最小值,a>0 时化 目标函数为直线方程斜截式,由图看出最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数,由对应的 z 值等于 7 求解 a 的值. 解答: 解:由约束条件 作可行域如图,
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联立

,解得



∴ A( 当 a=0 时 A 为(

) . ) ,z=x+ay 的最小值为 ,不满足题意;

当 a<0 时,由 z=x+ay 得 要使 z 最小,则直线 当 a>0 时,由 z=x+ay 得 由图可知,当直线过点 A 时直线 此时 z=

, 在 y 轴上的截距最大,满足条件的最优解不存在; , 在 y 轴上的截距最小,z 最小.

,解得:a=3 或 a=﹣5(舍) .

故选:B. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,解答的关键是注意分类讨论,是中档题. 9. (2014?上饶一模)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(4)=1.f′ (x)为 f(x)的导函数,已知函数 y=f′ (x)的 图象如图所示.若两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1,则 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.(﹣∞,﹣3)

考点: 专题: 分析: 解答:

简单线性规划的应用. 计算题;压轴题. 先根据导函数的图象判断原函数的单调性,从而确定 a、b 的范围,最后利用不等式的性质得到答案. 解:由图可知,当 x>0 时,导函数 f'(x)>0,原函数单调递增, ∵ 两正数 a,b 满足 f(2a+b)<1, 又由 f(4)=1,即 f(2a+b)<4, 即 2a+b<4, 又由 a>0.b>0; 点(a,b)的区域为图中阴影部分,不包括边界,
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的几何意义是区域的点与 A(﹣2,﹣2)连线的斜率, 直线 AB,AC 的斜率分别是 ,3;则 故选 C. ;

点评: 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原函数单调递增,当导函 数小于 0 时原函数单调递减.

10. (2014?红河州模拟)在平面直角坐标系中,不等式组

(a 为常数)表示的平面区域面积是 9,那

么实数 a 的值为( A.3 +2

) B.﹣3 +2 C.﹣5 D.1

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题. 分析:

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本题主要考查线性规划的基本知识, 先画出约束条件

的可行域, 再分析不等式组

(a 为常数)表示的平面区域面积是 9,我们可以构造一个关于 a 的方程,解方程即可求出实数 a 的值. 解答: 解:根据题意,

作出约束条件

的可行域,

如图,三角形的面积为 9, 则|BC|=(a+4)﹣(﹣a)=2a﹣4, A 到直线 BC 的距离为 a﹣(﹣2)=a+2, ∴ ∴ a=1 或﹣5(舍) , 故选 D. ,

点评: 平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,然后结合 有关面积公式求解.

11. (2014?阳泉二模)实数 x,y 满足

若目标函数 z=x+y 取得最大值 4,则实数 a 的值为(



A .4

B.3

C .2

D.

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题. 分析: 作出不等式组表示的可行域,将目标函数变形 y=﹣x+z,判断出 z 表示直线的纵截距,结合图象,求出 k 的范围 解答: 解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示 ∵ y=﹣x+z,则 z 表示直线的纵截距 做直线 L:x+y=0,然后把直线 L 向可行域平移,结合图象可知,平移到 C(a,a)时,z 最大 此时 z=2a=4 ∴ a=2
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故选 C

点评: 解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域,将目标函数赋予几何意义.

12. (2014?凉州区二模)若实数 x,y 满足 A. B.

则 C.

的取值范围是(

) D.

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合. 分析: 本题属于线性规划中的延伸题, 对于可行域不要求线性目标函数的最值, 而是求可行域内的点与原点 (﹣1, ﹣3)构成的直线的斜率范围. 解答: 解:不等式组满足 表示的区域如图,
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的几何意义是可行域内的点与点(﹣1,﹣3)构成的直线的斜率问题.

当取得点 A(0,4)时, 则 的值为 7,

当取得点 B(3,0)时,



的取值为 , ,

所以答案为 故选 C.

点评: 本题利用直线斜率的几何意义,求可行域中的点与原点的斜率.本题主要考查了用平面区域二元一次不等 式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题.

13. (2014?安徽模拟)已知约束条件

若目标函数 z=x+ay(a≥0)恰好在点(2,2)处取得最大值,则

a 的取值范围为( A. 0<a<

) B. a≥ C. a> D. 0<a<

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值的方法,利用直线斜率之间的关系,只需求出直线 z=x+ay 的斜率的取值范围即可. 解答: 解:画出已知约束条件的可行域为△ ABC 内部(包括边界) , 如图,易知当 a=0 时,不符合题意;
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当 a>0 时,由目标函数 z=x+ay 得 y=﹣ x+ , 则由题意得﹣3=kAC<﹣ <0,故 a> . 综上所述,a> . 故选 C.

点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.由于线性规划的介入,借助于 平面区域,可以研究函数的最值或最优解;借助于平面区域特性,我们还可以优化数学解题,借助于规划 思想,巧妙应用平面区域,为我们的数学解题增添了活力. 14. (2014?北京模拟)设点 A(1,0) ,B(2,1) ,如果直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点,那么 a +b ( A. B. C. D. 最小值为 最大值为 最小值为 最大值为
2 2



考点: 简单线性规划的应用;函数的最值及其几何意义. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 由题意得:点 A(1,0) ,B(2,1)在直线 ax+by=1 的两侧,那么把这两个点代入 ax+by﹣1,它们的符号 相反,乘积小于等于 0,即可得出关于 a,b 的不等关系,画出此不等关系表示的平面区域,结合线性规划 2 2 思想求出 a +b 的取值范围. 解答: 解:∵ 直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点, ∴ 点 A(1,0) ,B(2,1)在直线 ax+by=1 的两侧, ∴ (a﹣1) (2a+b﹣1)≤0,
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画出它们表示的平面区域,如图所示. 2 2 a +b 表示原点到区域内的点的距离的平方, 由图可知,当原点 O 到直线 2x+y﹣1=0 的距离为原点到区域内的点的距离的最小值, ∵ d=
2 2


2

那么 a +b 的最小值为:d = . 故选 A.

点评: 本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、函数的最值及其几何意义,是基础题.准确把握点与直线的 位置关系,找到图中的“界”,是解决此类问题的关键. 15. (2014?甘肃一模)关于 x 的方程 x +(a+1)x+a+b+1=0(a≠0,a、b∈R)的两实根为 x1,x2,若 0<x1<1<x2 <2,则 的取值范围是( A. ) B. C. D.
2

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 常规题型;压轴题. 分析: 先利用二次方程根的分布得出关于 a,b 的约束条件,再根据约束条件画出可行域,设 z= ,再利用 z 的几
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何意义求最值,只需求出直线 OP 过可行域内的点 A 或点 C 时,z 分别、取得最大或最小,从而得到 的取 值范围即可. 2 解答: 解:设 f(x)=x +(a+1)x+a+b+1, 则方程 f(x)=0 的两实根 x1,x2 满足 0<x1<1<x2<2 的

充要条件是



作出点(a,b)满足的可行域为△ ABC 的内部, 其中点 A(﹣2,1) 、B(﹣3,2) 、C(﹣4,5) , 的几何意义是△ ABC 内部任一点(a,b)与原点 O 连线的斜率, 而 易知 故选 D. , , . 作图,

点评: 本小题是一道以二次方程的根的分布为载体的线性规划问题,考查化归转化和数形结合的思想,能力要求 较高.

16. (2014?赤峰模拟) 设 x, y 满足

时, 则 z=x+y 既有最大值也有最小值, 则实数 a 的取值范围是 (



A.a<1

B.

﹣ <a<1

C.0≤a<1

D.a<0

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 画出约束条件表示的可行域,利用 z=x+y 既有最大值也有最小值,利用直线的斜率求出 a 的范围. 解答: 解:满足 的平面区域如下图所示:
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而 x﹣ay≤2 表示直线 x﹣ay=2 左侧的平面区域 ∵ 直线 x﹣ay=2 恒过(2,0)点, 当 a=0 时,可行域是三角形,z=x+y 既有最大值也有最小值, 满足题意; 当直线 x﹣ay=2 的斜率 满足: 既有最大值也有最小值, 综上所述实数 a 的取值范围是:﹣ <a<1. 故选 B. ,即﹣ <a<0 或 0<a<1 时,可行域是封闭的,z=x+y

点评: 本题简单线性规划的应用,直线的斜率,目标函数的最值的求法是解题的关键,考查数形结合与计算能力. 17. (2014?马鞍山一模)已知 a,b 是正数,且满足 2<a+2b<4.那么 a +b 的取值范围是( ) A. B. C.(1,16) D. ( , ) ( ,16) ( ,4)
2 2

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 在 aob 坐标系中,作出不等式表示的平面区域,得到如图的四边形 ABCD.由坐标系内两点的距离公式可 2 2 2 2 得 z=a +b 表示区域内某点到原点距离的平方,由此对图形加以观察可得 a +b 的上限与下限,即可得到本 题答案. 解答: 解:以 a 为横坐标、b 为纵坐标,在 aob 坐标系中作出不等式 2<a+2b<4 表示的平面区域, 得到如图的四边形 ABCD 内部, (不包括边界) 其中 A(2,0) ,B(0,1) ,C(0,2) ,D(4,0) 设 P(a,b)为区域内一个动点,
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则|OP|=
2 2 2

表示点 P 到原点 O 的距离

∴ z=a +b =|OP| , 可得当 P 与 D 重合时,P 到原点距离最远, ∴ z=a +b
2 2

=16

可得当 P 点在直线 BA 上,且满足 OP⊥ AB 时, P 到原点距离最近,等于 =

∴ z=a +b

2

2

=
2 2

综上所述,可得 a +b 的取值范围是( ,16) 故选:B

点评: 本题给出二元一次不等式组,求 z=a2+b2 的最大值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和平面内 两点间的距离公式等知识,属于基础题.

18. (2014?凉州区二模)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为

12,则 + 的最小值为( A .4

) B. C .1 D.2

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得到如图的四边形 OABC 及其内部,将目标函数 z=ax+by 对应的直线
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进行平移,可得当 x=4 且 y=6 时 z 的最大值为 4a+6b=12.再利用基本不等式求最值,即可算出 + 的最小 值. 解答: 解:作出不等式组 表示的平面区域,

得到如图的四边形 OABC 及其内部,其中 A(2,0) ,B(4,6) ,C(0,2) ,O 为坐标原点 设 z=F(x,y)=ax+by(a>0,b>0) ,将直线 l:z=ax+by 进行平移, 观察 y 轴上的截距变化,可得当 l 经过点 B 时,目标函数 z 达到最大值 ∴ z 最大值=F(4,6)=12,即 4a+6b=12. 因此, + =( + )× ∵ a>0,b>0,可得 ∴ 当且仅当 (4a+6b)=2+ ( ≥ =12, 的最小值为 12, ) ,

即 2a=3b=3 时,

相应地, + =2+ ( 故选:A

)有最小值为 4.

点评:

本题给出二元一次不等式组,在已知目标函数 z=ax+by 的最大值的情况下求 + 的最小值,着重考查了利 用基本不等式求最值、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.

19. (2014?江西模拟)已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=x +y +2 的最大值(

2

2



A.15

B.17

C.18

D.19

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 2 2 分析: 先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=x +y +2 表示动点到原点的距离的平方再加上 2, 只需求出可行域内的动点到原点的距离最大值即可. 解答: 解:注意到目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方再加上 2, 作出可行域. 易知当为(1,4)点时取得目标函数的最大值, 2 2 代入目标函数中,可得 zmax=1 +4 +2=19. 故选:D.
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点评: 本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 20. (2014?湖北模拟)已知甲、乙两种不同品牌的 PVC 管材都可截成 A、B、C 三种规格的成品配件,且每种 PVC 管同时截得三种规格的成品个数如下表: A 规格成品(个) B 规格成品(个) C 规格成品(个) 2 1 1 品牌甲(根) 1 1 2 品牌乙(根) 现在至少需要 A、B、C 三种规格的成品配件分别是 6 个、5 个、6 个,若甲、乙两种 PVC 管材的价格分别是 20 元 /根、15 元/根,则完成以上数量的配件所需的最低成本是( ) A.70 元 B.75 元 C.80 元 D.95 元

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 数形结合法;不等式的解法及应用. 分析: 根据条件设需要第一种管材 x 根,第二种管材 y 根,成本 z 元,建立约束条件和目标函数,利用线性规划 的知识进行求解即可. 解答:
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解:设需要第一种管材 x 根,第二种管材 y 根,成本 z 元,则

,z=20x+15y.

作出可行域如图所示,由

,可得

,由

,可得



根据图象,可知 z=20x+15y 在(1,4)处取得最小值为 80. 故选 C.

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用条件建立约束条件和目标函数,利用目标函数的几何意义求最优解, 考查学生解决应用问题的能力. 二.填空题(共 10 小题) 21. (2014?龙泉驿区模拟)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=3.PB=2,PC=1.设 M 是底面 ABC 内一点,定义 f(M)=(m,n,p) ,其中 m、n、p 分别是三棱锥 M﹣PAB、三棱锥 M﹣PBC、三棱锥 M﹣PCA 的体积.若 f(M)=( ,x,y) ,且 ≥8 恒成立,则正实数 a 的最小值为 1 .

考点: 不等式的综合;基本不等式;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据三棱锥的特点求出其体积,然后利用基本不等式求出
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的最小值,建立关于 a 的不等关系,解之

即可. 解答: 解:∵ PA、PB、PC 两两垂直,且 PA=3.PB=2,PC=1. ∴ V P﹣ABC= × ×3×2×1=1= +x+y

即 x+y= 则 2x+2y=1 =( ) (2x+2y)=2+2a+ + ≥2+2a+4 ≥8

解得 a≥1 ∴ 正实数 a 的最小值为 1 故答案为:1 点评: 本题主要考查了棱锥的体积,同时考查了基本不等式的运用,是题意新颖的一道题目,属于中档题.
2

22. (2014?萧山区模拟)若不等式﹣1<ax +bx+c<1 的解集为(﹣1,3) ,则实数 a 的取值范围是 ﹣



考点: 不等式的综合. 专题: 综合题;压轴题;不等式的解法及应用. 分析: 分类讨论:当 a=0 时,b≠0,适当选取 b,c 可以满足题意;当 a>0 时,不等式﹣1<ax2+bx+c<1 对应的二 2 次函数的对称轴为 x=1,开口向上;当 a<0 时,不等式﹣1<ax +bx+c<1 对应的二次函数的对称轴为 x=1, 开口向下,利用不等式的解集,即可求得结论. 解答: 解:由题意,分类讨论可得: 当 a=0 时,b≠0,不等式的解集(﹣1,3) ,适当选取 b,c 可以满足题意.
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当 a>0 时,不等式﹣1<ax +bx+c<1 对应的二次函数的对称轴为 x=1,开口向上, 所以 x=﹣1 时,a﹣b+c=1,x=3 时,9a+3b+c=1, 最小值为 x=1 时,a+b+c>﹣1,联立解这个不等式组得:a< ,∴ 0<a< ; 当 a<0 时,不等式﹣1<ax +bx+c<1 对应的二次函数的对称轴为 x=1,开口向下, 所以 x=﹣1 时,a﹣b+c=﹣1,x=3 时,9a+3b+c=﹣1, 最大值为 x=1 时,a+b+c<1,联立解这个不等式组得:a>﹣ ,∴ ﹣ <a<0 综上知,﹣ <a< . 点评: 本题考查不等式的综合,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 23. (2013?郑州二模) 已知不等式 xy≤ax +2y 对于 x∈[1, 2], y∈[2, 3]恒成立, 则实数 a 的取值范围是 [﹣1, +∞) . 考点: 不等式的综合. 专题: 常规题型. 分析: 本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题.在解答时,首先可以分离参数将问题转化为:
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2

2

2

2

对于 x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,然后解答此恒成立问题即可获得问题的解答. 解答: 解:由题意可知:不等式 xy≤ax2+2y2 对于 x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立, 即: ,对于 x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立, ,则 1≤t≤3,
2



∴ a≥t﹣2t 在[1,3]上恒成立, ∵ ∴ ymax=﹣1,

∴ a≥﹣1 故答案为:[﹣1,+∞) . 点评: 本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了游离参数的办法、恒成立的思 想以及整体代换的技巧.值得同学们体会与反思. 24. (2011?宿州模拟)已知 x>0,y>0,xy=x+2y,若 xy≥m+2 恒成立,则 m 的范围是 (﹣∞,6] . 考点: 不等式的综合. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 由题设条件 x>0,y>0,xy=x+2y,利用基本不等式得到关于 xy 的不等式,解出其取值范围,令其最小值 大于等于 m+2 即可. 解答: 解:由题意 x>0,y>0,xy=x+2y,得 xy≥2 , 解得 xy≥8,故有 m+2≤8,得 m≤6 即 m 的范围是(﹣∞,6] 故答案为(﹣∞,6] 点评: 本题考点是不等式的综合,综合考查基本不等式与不等式的解法,恒成立的问题一般与最值有关,求解本 题的关键利用基本不等式将方程变为不等式,此转化是基本不等式的一个重要运用,注意总结其特点.
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25.f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果 f(ax+1)≤f(x﹣2)在[ ,1]上恒成立,则实数 a 的取值范围是 [﹣2,0] . 考点: 不等式的综合;奇偶性与单调性的综合. 专题: 常规题型;综合题;压轴题. 分析: 本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立有关的综合类问题.在解答时,应先分析好函数的单调性,然
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后结合条件 f(ax+1)≤f(x﹣2)在[ ,1]上恒成立,将问题转化为有关 x 的不等式在[ ,1]上恒成立的问 题,在进行解答即可获得问题的解答. 解答: 解:由题意可知:f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴ f(x)在(﹣∞,0]上是减函数, ∴ 由 f(ax+1)≤f(x﹣2)在[ ,1]上恒成立, 可知:|ax+1|≤|x﹣2|在[ ,1]上恒成立, ∴ 在[ ,1]上恒成立,

∴ ﹣2≤a≤0. 故答案为:[﹣2,0]. 点评: 本题考查的是不等式、函数性质以及恒成立有关的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了函数的性质、 恒成立的思想以及问题转化的能力.值得同学们体会与反思. 26.不等式 . 考点: 不等式的综合;直线与圆的位置关系. 专题: 计算题;数形结合. 在[﹣1,1]上恒成立,]则 a 的取值范围是

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分析: 解答:

本题只要根据条件分别作函数 解:分别作函数

和 y=x+a 的图象,利用数形结合即可解决.

和 y=x+a 的图象如右

前者是以原点为圆心的单位圆的上半部分,后者是斜率为 1 的直线. 不等式 的解即半圆在直线的下方的点的横坐标;

不等式恒成立即半圆都在直线的下方 由图可见,只需直线在与圆相切的位置的上方,即 则 a 的取值范围是

点评: 本题考查直线与圆的位置关系以及不等式的应用,主要利用数形结合思想解此类恒成立问题,属于基础题.

27.已知 f(x)=ax+ ,若﹣3≤f(1)≤0,3≤f(2)≤6,则 f(3)的取值范围为 .

考点: 不等式的综合. 专题: 计算题;转化思想. 分析: 本题利用 f(1) 、f(2)解方程组表示 a、b,再将 a、b 代入 f(3) ,结合 f(1) 、f(2)的范围即可得到答 案. 解答: 解:由题意有
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解得: ∴ 把 f(1)和 f(2)的范围代入得 故答案为 . ;



点评: 本题考查不等式的综合应用,解题的关键是利用待定系数法确定 f(3) ,用 a、b 的范围求解是本题的误区, 应引起注意.

28.若关于 x 的不等式

<x+a 的解是 x>m,试求 m 的最小值为



考点: 不等式的综合. 专题: 计算题. 分析: 先作出 y= 的图象,y=x+a 的图象斜率为 1,在曲线上方的直线部分为不等式的解集,利用图象,即 可求 m 的最小值. 解答: 解:先作出 y= 的图象,y=x+a 的图象斜率为 1,在曲线上方的直线部分为不等式的解集
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∵ 解集为 x>m(取不到等号) ∴ 只能是过 A 点斜率为 1 的直线 把 A 点的坐标代入 y=x+a 得 a=0.5 再将 y=x+0.5 与 y= 联立解得 x=﹣0.5(舍)或 1.5 即求出了交点 C(1.5,2) 由数形结合可知 m 最小值为 故答案为

点评: 本题的考点是不等式的综合,主要考查根式不等式的解集问题,采用数形结合是解题的关键. 29.已知△ ABC 的三边长 a,b,c 满足 b+c≤2a,c+a≤2b,则 的取值范围是



考点: 不等式的综合. 专题: 计算题;探究型;转化思想. 分析: 由题设条件,本题要结合三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式 b+c≤2a,c+a≤2b,利用不等
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式的性质进行变形逐步寻求得到 的取值范围 解答: 解:三角形必须满足两边之和大于第三边,所以 b+c>a,c+a>b,结合已知得 a<b+c≤2a ① b<c+a≤2b ② 将① 变形得﹣2a≤﹣b﹣c<﹣a ③ 将② ③ 相加得 b﹣2a<a﹣b<2b﹣a 由不等式左边 b﹣2a <a﹣b 得 3a>2b,所以 < < 故答案为 点评: 本题考查不等式的综合,熟练掌握不等式的性质,能灵活运用不等式的性质进行变形,求出要求的范围是 解答本题的关键,本题中有一个容易漏掉的隐含条件,三角形中两边之和大于第三边,对题设中隐含条件 的挖掘对解题的完整性很重要,谨记 30.已知函数 y=f(x)是 R 上的减函数,函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称.若实数 x,y 满足不等式 f (x ﹣2x)≤﹣f(2y﹣y ) ,且 1≤x≤4,则 的取值范围是
2 2

由不等式右边 a﹣b<2b﹣a 得 2a<3b,所以 >

所以 的取值范围是 <

[﹣ ,1] .

考点: 不等式的综合;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,可得函数 f(x)是奇函数,再结合 f(x2﹣2x)+f(2y﹣ 2 y )≤0 可得(x﹣y) (x+y﹣2)≥0(1≤x≤4) ,进而利用线性规划的知识解决问题. 解答: 解:函数 f(x)是定义在 R 上的单调递减函数. 因为函数 y=f(x﹣1)的图象关于点(1,0)对称, 所以函数 y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数.
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又因为对于任意的 x,y∈R,不等式 f(x ﹣2x)≤﹣f(2y﹣y )成立, 2 2 所以 f(x ﹣2x)≤f(﹣2y+y )成立, 2 2 所以根据函数的单调性可得:对于任意的 x,y∈R,不等式 x ﹣2x≥y ﹣2y 成立,即(x﹣y) (x+y﹣2)≥0 (1≤x≤4) , 所以可得其可行域,如图所示: 因为 = ,

2

2

所以 表示点(x,y)与点(0,0)连线的斜率, 所以结合图象可得: 的最小值是直线 OC 的斜率﹣ ,最大值是直线 AB 的斜率 1, 所以 的范围为:[﹣ ,1]. 故答案为:[﹣ ,1].

点评: 解决此类问题的关键是熟练掌握抽象函数的性质的证明与判断,如单调性、奇偶性的证明与判断,并且熟 练的利用函数的性质解有关的不等式,以及熟练掌握线性规划问题,此题综合性较强知识点也比较零散, 对学生掌握知识与运用知识的能力有一定的要求.


基本不等式的应用及线性规划(有答案)2014年12月06日兰贵的高中数学组卷

基本不等式的应用及线性规划(有答案)2014年12月06日兰贵的高中数学组卷_数学_...基本不等式的应用及线性规划(有答案)一.选择题(共 20 小题) 1. (2011?...