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我的课件--数系的扩充与复数的概念1

时间:2016-01-30


3.1数系的扩充与复数的概念

一、回顾引入
解方程 3x=7 自然数集中不能整除

计数的需要

引入自然数

引入分数 引入无理数

解方程 x+6=2
正有理数集中不够减

引入负数

解方程 x2=3


有理数集中开方开不尽

解方程x2=-1
实数集中负数不能开平方

?

我们能否引入新数,将实数集 满足 设想引入一个新数: 进行扩充,使得在新的数集中, 该问题能得到圆满解决呢?

i

N Z Q R

i ? ?1
2

现在我们就引入这样一个数 i ,把 i 叫做虚数 单位,并且规定: (1)i2 ? ?1; (2)实数可以与 i 进行四则运算,在进行四 则运算时,原有的加法与乘法的运算率(包括交换 率、结合率和分配率)仍然成立.

二、复数的有关概念
1. 定义

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中 i 称为虚数单位.
注意: ①复数通常用字母z表示,即:z =a+bi (a∈R,b∈R),这一形式叫做复数的代数形式. ②实数a,b分别叫做复数的实部和虚部. ③全体复数所组成的集合叫复数集,记作C. 思考?

复数集C和实数集R之间有什么关系?

2. 复数的分类

? (b=0) ? 复数z=a+bi ? (a, b ? R ) 虚数 (特别的当a=0时,z为纯虚数) ? 复数集 ?(b≠0)
实数 (特别的当a=0时,z为0)

? R ?C

虚数集 纯虚数集

实数集

指出下列各数中,哪些是实数, 哪些是虚数,哪些是纯虚数?

2 2 ? 7  ,    0.618  ,   i  ,  7 2   0  ,   i  ,   i ,   5i ? 8  ,    3 ? 9 2i  ,  i (1 ? 3 )   ,    2 ? 2i

例1 实数m取什么值时,复数

z ? m ? 1 ? (m ? 1)i
m ? 1时,复数z 是实数. m ? 1 时,复数z 是虚数.
即 m ? ? 1时,复数z 是 纯虚数.

是(1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?
解: (1)当 m ? 1 ? 0,即 (2)当 m ? 1 ? 0 ,即 (3)当 ?m ? 1 ? 0

? ?m ? 1 ? 0

练习:当m为何实数时,复数

Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i
2 2

是 (1)实数

(2)虚数

(3)纯虚数

3. 复数相等

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那 么我们就说这两个复数相等.

若a, b, c, d ? R,

?a ? c a ? bi ? c ? di ??b ? d ?
集合相等;向量相等

类 比

例2 已知 (3x ? 1) ? i ? 求 x与 y .

y ? (3 ? y)i ,其中x, y ? R

解: 因为(3x ?1) ? i ? y ? (3 ? y)i,所以有 ?3x ? 1 ? y ? ?1 ? ?(3 ? y)
解方程组,得: ? x ? ?1     ? ? y ? ?4

若(x-3)+(x2-2x-3) i =0,求实数 x的值.

注意:一般地,两个复数只 能相等或不相等,不能比较 大小. 虚数

三、复数的几何意义
在几何上, 我们用什么 来表示实数? 实数可以用数轴上的点来表示.

实数

一一对应

数轴上的点

类比实数的表示,可以用什么来表示复数?

一个复数由什 么唯一确定?

Z=a+bi(a, b∈R)
实部! 虚部!

复数的几何意义(一)
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi
一一对应

平面直角坐标系中的点Z(a,b)
y b

z=a+bi

Z(a,b)
a

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

o

x轴------实轴 y轴------虚轴

指出下列复数与哪些点是对应的?

2 2 ? 7  ,    0.618  ,   i  ,  7 2   0  ,   i  ,   i ,   5i ? 8  ,    3 ? 9 2i  ,  i(1 ? 3 )   ,    2 ? 2i

例3 已知复数z=(m2+m-6)+(m-1)i在复平面内所对 应的点位于第二象限,求实数m的取值范围.

解:

因为复数z=(m2+m-6)+(m-1)i在复平面内所对 应的点为(m2+m-6,m-1),该点在第二象限,

?m 2 ? m ? 6 ? 0 所以有? ?m ? 1 ? 0

?? 3 ? m ? 2 得? ?m ? 1

? m ? (1,2)

变式:已知复数z=(m2+m-6)+(m-1)i在复平 面内所对应的点在直线x+3y+13=0上,求实 数m的值.

解:

∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 复平面内所对应的点是(m2+m-6, m-1), ∴(m2+m-6)+3(m-1)+13=0,
∴m= -2 .

复数的几何意义(二)
复数z=a+bi
一一对应 一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)

平面向量oz
y

??

一一对应

z=a+bi

Z(a,b)
a

oz

??

b

o

x

四、复数的模 ??? ? ??? ? 对应平面向量 OZ 的模| OZ |,叫做复数 z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|.
z =a +b i Z (a,b)
O

y

x

??? ? 2 2 | z | = | OZ | ? a ? b

例4 求下列复数的模:
(1) z =-4i (2) z =3+2i (4) z =4n-3ni(n<0)

(3) z =1-2i
解: (1) |z|=4 (3) |z|= 5

(2) |z|= 13 (4) |z|=-5n

小结: 1.虚数单位i的引入.
复数的定义

2.复数的有关概念 3.复数的几何意义. 4.复数的模.

复数的分类

复数相等

作业: 课本 (练习)

习题3.1 A组
1、 2、


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