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广东省深圳市南山区2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版


广东省深圳市南山区 2013-2014 学年高一数学上学期期末考试试题 新人教 A 版
本试卷分第Ⅰ 卷(选择题)和第Ⅱ 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1、 答卷前, 考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置 填写自己的学校、班级、姓名及座位号,在右上角的信息栏填写自己的考号,并用 2B 铅笔

填涂相应的信息点. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3、非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上, 请注意每题答题空间, 预先合理安排、 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案、 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损、考试结束后,将答题卡交回. 5、考试不可以使用计算器. 第Ⅰ卷(选择题共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上 . .................. 1、设集合 M={-1,0,1},N={x|x2=x},则 M∩N= A、{-1,0,1} B、{0,1} C、{1} 2、下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是 A、 y = D、{0} D、y=lg10x

x2 x

B、 y = ( x)2

C、 y = 2

log2 x

3、已知 a,b 是异面直线,直线 c∥a,那么直线 c 与 b A、一定是相交直线 B、一定是异面直线 C、不可能是相交直线 D、不可能是平行直线 4、幂函数 y=f(x)的图像经过点(4,0.5),则 f(0.25)的值为 A、1 B、2 C 、3 D、4 5、已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A、若 α∥ β,m?α,n?β,则 m∥ n B、若 α⊥ β,m?α,则 m⊥ β C、若 m⊥ n,m?α,则 n⊥ α D、若 m⊥α,m∥ β,则 α⊥ β 6、若 4a=25b=10,则 A、1

1 1 + ? a b
B、2 C 、3 D、4

7、已知三棱锥的底面是边长为 3 的等边三角形,侧棱长都为 2,则侧棱与底面所成角的大 小为 A、30o B、45o C、60o D、90o 8、若当 x∈R 时,函数 f(x)=a|x|(a>0 且 a≠1)满足 f(x)≤1,则函数 y=loga(x+1)的图像大致为题 y O1 2 A O B y 1 2 y x O C 1 2 x O D y 1 2 x

x

9、已知 f(x)是 R 上的奇函数,对于 x∈R,都有 f(x+4)=f(x)+f(2)成立,若 f(1)=2,则 f(2013)等 于 A、0 B、2 C、2014 D、-2
1

10、对于不重合的两个平面 α 与 β,给定下列条件: ①存在平面γ ,使得 α,β 都垂直于γ ;②存在平面γ ,使得 α,β 都平行于γ ; ③α 内有不共线的三点到 β 的距离相等; ④存在异面直线 l,m,使得 l∥α,l∥β,m∥α,m∥β、 其中,可以判定 α 与 β 平行的条件有 A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 第Ⅱ卷(非选择题共 100 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上 . ......... 1 (一)必做题:(11~13 题) 1 11、若集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x≤a},A∩ B=A, 则实数 a 的取值范围是_______. 2 12、如果一个几何体的三视图如右图所示(单位长度:cm), 主视图 左视图 则此几何体的表面积是_______. 13、把函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像上所有的点向左 2 平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度后得到函数 y=f(x)的图像,已知函数 y=f(x)的 俯视图 图像经过定点 A(m,n).若方程 kx2+mx+n=0 有且仅有一个零点,则实数 k 的值为________. (二)必做题:(14~15 题只选做一题) 14、如果执行下图程序框图,那么输出的 S=_____. 开始 i=1,S=1 i=i+1 S=2(S+1) i>5 否 是 输出 S 结束

15、 已知两点 A(-3, -4), B(6, 3)到直线 l: ax+y+1=0 的距离相等, 则实数 a 的值等于______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤、 16、(本小题满分 12 分) 已知集合 U=R,A={x|0.5<2x<4},B={x|log3x≤2}. (1)求 A∩ B; (2)求?U(A∪B).

??x 2 + 2x, (x ? 0) ? 17、(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) = ?0, (x ? 0) . ?x 2 + 2x,(x ? 0) ?
(1)求证函数 y=f(x)是奇函数;(2)试作出函数 y=f(x)是的图像; (3)若函数 y=f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数 a 的取值范围. y 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 O 1 2 3 x

2

18、(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 A-BOC 中,∠ OAB=30o,AO⊥ 平面 BOC,AB=4,∠ BOC=90o,BO=CO,D 是 AB 的中点. (1)求证:CO⊥ 平面 AOB;(2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值. A

D

O C

B

19、(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=loga(2x+2),g(x)=loga(2x-2)(a>0,且 a≠1). (1)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的定义域; (2)判断函数 h(x)=f(x)-g(x)在 x∈(1,+∞)内的单调性,并用定义给予证明; (3)当 a=2 时,若对[3,5]上的任意 x 都有 h(x)<2x+m 成立,求 m 的取值范围.

20、(本小题满分 14 分) 如图,菱形 ABCD 的边长为 4,∠ BAD=60o,AC∩BD=O,将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起,得 到三棱锥 B-ACD,点 M 是棱 BC 的中点,且 DM = 2 2 . (1)求证:OM//平面 ABD; (2)求证:平面 DOM⊥平面 ABC; (3)求点 B 到平面 DOM 的距离. B A O D C A B M O D
3

C

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=ax2+bx+c 满足:f(0)=0,对任意 x∈R,都有 f(x)≥x 且 f(x)的对称轴为 x=-0.5, 令 g(x)=f(x)-|tx-1|(t>0). (1)求函数 f(x)的表达式; (2)当 t=1 时,求函数 g(x)的最小值; (3)求函数 g(x)的单调区间.

高一数学参考答案及评分标准 一、选择题:(10×5'=50') 1 2 3 题号 答案 B D D 二、填空题:(4×5′ =20′ ) 4 B 5 D 6 B 7 C 8 C 9 B

2014.1.8 10 B

11、a≥2; 12、 (20 ? 4 2) cm2; 13、0 或 ? 三、解答题:(80′ ) 16、(本小题满分 12 分) 解:(1) ∵A={x|0.5<2x<4}={x|-1<x<2}, B={x|log3x≤2}={x|0<x≤9}, ∴A∩ B={x|0<x<2}. (2) A∪B={x|-1<x≤9}, ?U(A∪B) ={x| x≤-1 或 x> 9}. 17、(本小题满分 12 分) 解:(1)?x<0,则-x>0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x =-f(x); ……2 分 又?x>0,则-x<0, 所以 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x

1 7 1 ;14、94 ;15、 ? 或 ? . 4 9 3

……2 分 ……4 分 ……6 分 ……9 分 ……12 分 y 3 2 1 -3 -2 -1 -1 -2 -3 O 1 2 3 x
4

=-f(x); ……3 分 且 f(0)=0,所以 f(-x)=-f(x). ……4 分 ……5 分 ? f(x)为奇函数. (2)图像如右上图. ……9 分 (3)要使 f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合 f(x)的图象知, ? 所以 1<x≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3]. ……12 分 18、 (本小题满分 14 分) 解:(1)由题意,∵AO⊥平面 BOC, 又 CO ? 平面 COB,∴CO⊥AO, ……3 分 o ∴∠BOC=90 , ∴CO⊥BO, ……4 分 又∵AO∩B0=O,∴CO⊥平面 AOB. ……6 分 (2)作 DE⊥OB,垂足为 E,连结 CE(如图), 则 DE∥AO, C ∴∠CDE 是异面直线 AO 与 CD 所成的角. 在 Rt△COE 中,CO=BO=2,OE=0.5BO=1, ∴ CE = CO2 + OE2 = 5 . 又 DE = A

?a ? 2 ? ?1 , ?a ? 2 ? 1

D

O

E ……8 分

B

……10 分

1 AO = 3 . 2

∴在 Rt△CDE 中, tan?CDE =

CE 5 15 . = = DE 3 3
15 . 3

…13 分

∴异面直线 AO 与 CD 所成角的正切值为

……14 分

19、(本小题满分 14 分) 解:(1)由题意可知,h(x)=f(x)-g(x)= loga(2x+2)-loga(2x-2),……1 分 由?

?2x + 2 > 0 解得 x>1,所以 h(x)的定义域为(1,+∞). ?2x ? 2 > 0

……2 分

(2) h(x)=f(x)-g(x)= loga(2x+2)-loga(2x-2)

2x + 2 x +1 = log a , 2x ? 2 x ?1 x +1 令 k(x) = ,设 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, x ?1 = log a
那么 k(x1 ) ? k(x 2 ) =

……3 分

1+ x1 1+ x 2 2(x 2 ? x1 ) ? = , x1 ? 1 x 2 ? 1 (x1 ? 1)(x 2 ? 1) 2(x 2 ? x1 ) > 0, (x1 ? 1)(x 2 ? 1)

……5 分

因为 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,所以 x1-x2<0,x1-1>0,x2-1>0, 所以 k(x1 ) ? k(x 2 ) =

k(x)在区间(1,+∞)上为减函数.

……7 分
5

∴a>1 时,y=h(x)在区间(1,+∞)上为减函数. 0<a<1 时,y=h(x)在区间(1,+∞)上为增函数, ……9 分 x (3)由题意知,m>h(x)-2 ,对? x∈[3,5]恒成立, ∴m>[h(x)-2x]max, ……11 分 x 又当 a=2 时,h(x)与 y=-2 在 x∈[3,5]都是减函数, ……12 分 x ∴m>[h(x)-2 ]max=-7,∴m∈(-7,+∞). ……14 分 20、(本小题满分 14 分) 解:(1))因为 O 为 AC 的中点,M 为 BC 的中点, B 所以 OM∥AB. ……2 分 M 因为 OM ?平面 ABD,AB? 平面 ABD, A C O 所以 OM∥平面 ABD. ……4 分 (2)因为在菱形 ABCD 中,OD⊥AC, D 所以在三棱锥 B-ACD 中,OD⊥AC. o 在菱形 ABCD 中,AB=AD=4,∠BAD=60 ,所以 BD=4. 因为 O 为 BD 的中点,所以 OD=0.5BD=2. 因为 O 为 AC 的中点,M 为 BC 的中点,所以 OM=0.5AB=2. .……6 分 2 2 2 o 因为 OD +OM =8=DM ,所以∠DOM=90 ,即 OD⊥OM. OM=O,所以 OD⊥平面 ABC. 因为 AC? 平面 ABC,OM? 平面 ABC,AC∩ ……9 分 因为 OD? 平面 DOM,所以平面 DOM ? 平面 ABC. (3)由(2)得,OD⊥平面 BOM,所以 OD 是三棱锥 D-BOM 的高. 设点 B 到面 DOM 距离为 h,因为 OD=2,

因为 VB-DOM=VD-BOM, 所以 SΔDOM ? h =

1 1 3 SΔBOM = ? OB ? BM ? sin600 = ? 2 ? 2 ? ? 3, 2 2 2 B 1 SΔDOM = ? OD ? OM = 2 , ……11 分 2 A
O

M C D ……14 分

1 3

1 SΔBOM ? OD ,解得 h = 3 . 3

21、(本小题满分 14 分) 解:(1)由 f(0)=0,得 c=0,且对任意 x∈R,都有 f(x)≥x 恒成立, 即 ax2+(b-1)x≥0 恒成立, ……2 分 可得 b=1,又 f(x)的对称轴为 x=-0.5,即 ? 所以 f(x)=x2+x. (2) g(x)= x2+x.-|x-1|= ?

b 1 = ? ,得 a=1, 2a 2
……4 分 ……5 分

? x +1 ,
2 2

x ?1

, x <1 ? x + 2x ? 1

当 x≥1 时,g(x)的最小值为 g(1)=2;当 x<1 时,g(x)的最小值为 g(-1)=-2, 所以 g(x)的最小值为-2. ……8 分

1 ? 2 x + (1 ? t)x +1 , x? ? ? t, (3) g(x)=f(x)-|tx-1|= ? ……9 分 1 ? x 2 + (1+ t)x ? 1 , x< ? t ? 1 t ?1 t ?1 1 ? ,即 0<t≤2 时, ①当 x ? 时,g(x)的对称轴为 x ? , 2 2 t t

6

g(x)在 [ ,? ? ) 上单调增, 上单调减.

1 t

t ?1 1 t ?1 1 t ?1 ? , ,? ?) 上单调增, ) 即 t>2 时, g(x)在 ( 在( , 2 t 2 t 2
……11 分

t ?1 t ?1 1 < , ,因为 t>0,则 ? 2 2 t t ?1 1 t ?1 , ) 上单调递增,在 (??,? ) 上单调递减. 所以 g(x)在 (? 2 t 2
②当 x ? 时,g(x)的对称轴为 x ? ?

1 t

……13 分

t ?1 t ?1 ,? ?) 单调递增,在 (??,? ) 单调减;t>2 时,g(x) 2 2 t ?1 1 t ?1 t ?1 1 t ?1 , ) ,( ,? ?) 单调递增,在 (??,? ),( , ) 单调递 在 (? 2 t 2 2 t 2
综上所述:0<t≤2 时,g(x)在 ( ? 减. ……14 分

7


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