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函数模型及其应用1


函数模型及其应用

3.2.1

几类不同增长的函数模型

材料:澳大利亚兔子数“爆炸”
在教科书第三章的章头图中,有一大群喝水、嬉戏的 兔子,但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859 年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛 的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加, 不到100年,兔子们占领

了整个澳大利亚,数量达到 75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉 了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降 低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚头 痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至二十 世纪五十年代,科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之 九十的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.

下面我们先来看两个具体问题。
例1 、 假设你有一笔资金用于投资,现在有 三种投资方案供你选择,这三种方案的回报 如下: 方案一、每天回报40元; 方案二、第一天回报10元,以后每天比前一 天多回报10元; 方案三、第一天回报0.4元,以后每天的回报 比前一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案?

例、1 假设你有一笔资金用于投资,现在有三种投资方案供 你选择,这三种方案的回报如下: 方案一、每天回报40元; 方案二、第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元; 方案三、第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番。 请问,你会选择哪种投资方案?

分析:1、依据什么标准来选取投资方案?日回报效益, 还是累计回报效益? 2、如何建立日回报效益与天数的函数模型?

解:设第x天所得回报是y元
方案一可以用函数 y ? 40( x ? N ? )进行描述; 方案二可以用函数 y ? 10 x( x ? N * ) 进行描述; 方案三可以用函数 y ? 0.4 ? 2 x ?1  ? N * ) 进行描述. (x

分析:1、依据什么标准来选取投资方案?日回报效益, 还是累计回报效益? 2、如何建立日回报效益与天数的函数模型? 解:设第x天所得回报是y元 方案一可以用函数 y ? 40( x ? N ? )进行描述; 方案二可以用函数 y ? 10 x  ? N * ) 进行描述; (x

方案三可以用函数 y ? 0.4 ? 2 x ?1  ? N * ) 进行描述. (x
3、三个函数模型的增减性如何? 4、要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情 况进行分析,如何分析?

表-1

方案一 方案二 方案三 x(天) y(元) 增加量(元) y(元) 增加量(元) y(元) 增加量(元) 40 10 0.4 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 …

40 40 40 40 40 40 40 40 40 …

0 0 0 0 0 0 0 0 0 …

20 30 40 50 60 70 80 90 100 …

10 10 10 10 10 10 10 10 10 …

0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 204.8 …

0.4 0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 102.4 …

函数图象是分析问题 的好帮手。为了便于 观察,我们用虚线连 接离散的点。

我们看到,底为 2的指数函数模 型比线性函数模 型增长速度要快 得多。从中你对 “指数爆炸”的 含义有什么新的 理解?

图-1

根据以上的分析,是否应作这样的选 择:投资5天以下先方案一,投资5~8 天先方案二,投资8天以上先方案三?

由表-1和图-1可知,方案一的函数是常数函数,方案 二、方案三的函数都是增函数,但是方案三的函数与方 案二的函数的增长情况很不同。可以看到,尽管方案一、 方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍, 但它们的增长量是成倍增加的,从第7天开始,方案三 比其他两个方案增长得快得多,这种增长速度是方案一、 方案二所 无法企及的,从每天所得回报看,在第1~4天, 方案一最多,在5~8天,方案二最多;第9天开始 ,方案 三比其他两个方案所得回报多得多,到第30天,所得回 报已超过2亿元。

表-2

累计回报效益

600 500 400 300 200 100

方案一 回报 (元) 方案二 回报 (元)

方案一 方案二 方案三 方案三 回报 x(天) (元) 回报(元) 回报(元) 回报(元) 线性 (方案一 1 40 10 0.4 回报(元)) 多项式 (方案 2 80 30 1.2 二 回报(元)) 3 120 60 2.8 指数 (方案三 回报(元)) 4 160 100 6 5 200 150 12.4 因此,投资8天以下(不含 6 240 210 25.2 7 280 280 50.8 8天),应选择第一种投资方 8 320 360 102 案;投资8~10天,应选择第 9 360 450 204.4 二种投资方案;投资11天(含 10 400 550 409.2 11 天)以上,刚应选择第三 11 440 660 818.8 种投资方案。
0 0 5 10 15

例 2、 某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售 利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖 金 y (单位:万元)随销售利润 x (单位:万元)的 增加而增加,但资金总数不超过5万元,同时奖金 总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型:

y ? 0.25 x, y ? log 7 x ? 1 y ? 1.002 , 其中 ,
x

哪个模型能符合公司的要求?

例 2、某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一 个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时, 按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润 (单位:万元)的增加而增加,但资金总数不超过5万元, x 同时奖金总数不超过利润的25%,现有三个奖励模型: x 其中哪个模型能符合公司的要求? y ? 1.002 , y ? 0.25 x, y ? log 7 x ? 1 ,

分析:某个奖励模型符合公司要求,就是依据这个模型进行奖励时, 奖金总数不超过5万元, 同时奖金不超过利润的25%, 由于公司总 的利润目标为1000万元,所以部门销售利润一般不会超过公司总的 利润。 于是,只需在区间[10,1000]上,检验三个模型是否符合公 司要求即可。 不妨先作出函数图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论 再通过具体计算,确认结果。(图略)

思考:
?1.X的取值范围,即函数的定义域.

?2.要满足哪些条件?
?3.通过图象说明选用哪个函数模型? 为什么?

解: 借助计算机作出函数

y ? 5, y ? 0.25x,
x

y ? log7 x ? 1,

y ? 1.002

的图象(图3.2-2)。

观察图象发现,在区间[10 ,1000]上,模型 y ? 0.25 x, x y ?5 的图象都有一部分在直线 的上方,只有模型 y ? 1.002 y ?5 y ? log 7 的图象始终在x ? 1 的下方,这说明只有按模型 y ? log 7 x ? 1 进行奖励时才符合公司的要求,下面通过计算确认上述判 断。

首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万。 对于模型 y ? 0.25 x , 它在区间[10 ,1000]上递增, 当 x ? (20,1000) 时, y ? 5 因此该模型不符合要求; 对于模型 y ? 1.002,由函数图象,并利用计算 , 器,可知在区间 805,806) 内有一个点x 0 满 ( x0 足 ,由于它在区间 [10 ,1000]上递增, 1.002 ? 5 x 因此当 ? x0 时,y ? 5 因此该模型也不符合要求;
x

它在区间 [10 ,1000] 上 对于模型 y ? log 7 x ? 1 , 递增,而且当 x ? 1000 , ? log 1000 x ? 1 ? 4.55 ? 5,, 时 y 7 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。

再计算按模型 y ? log 7 x ? 1 奖励时,奖金是否 不超过利润的25%,即当 x ? [10,1000] 时,是否 有 y log 7 x ? 1 ? ? 0.25 x x 成立。 令 f ( x) ? log 7 x ? 1 ? 0.25, x ? [10,1000] 。 利用计 算机作出函数 f (x) 的图象 ( 图),由图象可知它是递减 的,因此 f ( x) ? f (10) ? ?0.3167 ? 0,



log 7 x ? 1 ? 0.25 x

所以当 x ? [10,1000] 时,

log 7 x ? 1 x

? 0.25 。 说

明按模型 y ? log 7 x ? 1 奖金不会超过利润的25%。 综上所述,模型 y ? log 7 x ? 1确实能很符合公司要求。

? 小结与反思:
? 通过实例和计算机作图体会、认识直

线上升、指数爆炸、对数增长等不同 函数模型的增长的含义,认识数学的 价值,认识数学与现实生活、与其他 学科的密切联系,从而体会数学的实 用价值,享受数学的应用美.

1、四个变量 y1 , y2, y3 , y4 随变量
x
y1 y2
y3

x 变化的数据如下表:
20 2005 25 3130 30 4505

0 5 5

5 130 94.478

10 505 1758.2

15 1130 33733

7 8 5 6.37 ?10 1.2 ?10 2.28 ?10

5
5

30
2.3107

55
1.4295

80
1.1407

105
1.0461
y2

130
1.0151 。

155
1.005

y4

关于x呈指数型函数变化的变量是

2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的,如 果某台计算机感染上这种病毒,那么每轮病毒发作时,这 台计算机都可能感染没被感染的20台计算机。现在10台计 算机在第1轮病毒发作时被感染,问在第5轮病毒发作时可 能有多少台计算机被感染?

作业
习题3.2 A组1、2

B组 1


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