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课件-14(函数的单调性与导数)


1.3.1 函数的单调性与导数

y?x
y

y?x
y

2

y ? x3
y

1 y? yx

o

x

o

x

o

/>x

o

x

函数在R上

(-∞,0) (0,+∞)

函数在R上

(-∞,0)

f '( x) ? 1 ? 0 f '( x) ? 2 x ? 0 f '( x) ? 3x2 ? 0 f '( x) ? ?x?2 ? 0

f '( x) ? 2 x ? 0

(0,+∞) f '( x) ? ?x?2 ? 0

导数f ?(x0)表示函数 f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率

f ?(x1)<0 f (x)在x1附近↘

f ?(x0)>0 f (x)在x0附近↗

一般地,函数的单调性与导数的正负有如下关系 :
在某个区间 ?a, b ?内, 如果 f ' ?x ? ? 0,那么函数 y ? f ?x ? 在这个区间内单调递增 ; 如果 f ' ?x ? ? 0,那么函数 y ? f ?x ?在这个区间内单调递减 .
'

如果在某个区间内恒有 f ?x ? ? 0,那么函数y ? f ?x ? 有什么特征?
如果恒有 f ' ( x) ? 0 ,则 f ( x) 是常数函数。

当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0; 当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x) ? 0. 试画出函数 f ( x) 的图象的大致形状.

例1 已知导函数 f ?( x ) 的下列信息: 当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0;

解:

当1 < x < 4 时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x)在此区间内 单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x) ? 0, 可知 f ( x) 在此区 间内单调递减; y 当 x = 4 , 或 x = 1时 ,

f ?( x) ? 0.
综上, 函数 f ( x)图象 的大致形状如右图所示.
O
1 4

x

例2

判断下列函数的单调性 , 并求出单调区间:

?1? f ?x ? ? x 3 ? 3x; ?2? f ?x ? ? x 2 ? 2x ? 3 ; y ?3? f ?x ? ? sin x ? x, x ? ?0, π ? ; f ?x ? ? x ? 3x ?4? f ?x ? ? 2x 3 ? 3x 2 ? 24x ? 1.
3


'

f ?x ? ? 3x ? 3 ? 3 x ? 1 ? 0 .
2 2

?1?因为f ?x ? ? x3 ? 3x, 所以

?

?

o

x

因此,函数 f ?x ? ? x 3 ? 3x 在 x ? R 上单调递增 ,如图 1.3 ? 5?1? 所示 .
图1.3 ? 5?1?

?2?因为f ?x? ? x2 ? 2x ? 3,所以f ' ?x? ? 2x ? 2 ? 2?x ? 1?. ' 2 当f ?x? ? 0,即x ? 1时,函数f ?x? ? x ? 2x ? 3单调递增 ; ' 2 当f ?x? ? 0,即x ? 1时,函数f ?x? ? x ? 2x ? 3单调递减 . 函数f ?x? ? x2 ? 2x ? 3的图象如图 1.3 ? 5?2?所示.
y

f ?x ? ? x 2 ? 2x ? 3

o 1

x
图1.3 ? 5?2?

y

o
图1.3 ? 5?3?

π

x
f ?x ? ? sin x ? x

?3?因为f ?x ? ? sin x ? x, x ? ?0, π?,所以 ' f ?x ? ? cos x ? 1 ? .0. 因此,函数f ?x ? ? sin x ? x, x ? ?0, π ? 内 单调递减. 如图1.3 ? 5?3?所示.

.

?4?因为f ?x? ? 2x ? 3x ? 24x ? 1,所以f ?x? ?6 x ? 6 x ? . 24 当f ' ?x? ? 0,即 时,函数f ?x? 单调递增 ; 当f ' ? x ? ? 0,即 时,函数f ? x ? 单调递减 . 3 2 f ?x? ? 2x ? 3x ? 24x ? 1的图象如图 1.3 ? 5?4?所示.
3 2 '

2

x?

? 1 ? 17 ? 1 ? 17 或x ? 2 2

? 1 ? 17 ? 1 ? 17 ?x? 2 2

y

f ?x? ? 2x ? 3x ? 24x ? 1
3 2

如果不用导数的方法 , 直接运用单调性的定 义, 你如何求解本题? 运算过程 麻烦吗? 你 有什么体会 ?

5 1 O

x

图1.3 ? 5?4?

练习
求证: 函数

f ( x) ? 2x ? 6x ? 7在 (0,2) 内是减函数.
3 2

解:

? f ( x) ? 2x3 ? 6x 2 ? 7
2 ? ? f ( x) ? 6 x ? 12x.

由 f ?( x) ? 0 , 解得 0 ? x ? 2 , 所以函数 f ( x ) 的递减区间是 (0,2) , 即函数 f ( x ) 在 (0,2) 内是减 函数.

总结1:求可导函数f(x)单调区间的步骤:
(1)求f’(x)

(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间(或递减区间) 2、证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:

(1)求f’(x)
(2)确认f’(x)在(a,b)内的符号

(3)作出结论

例3

如图 1.3 ? 6,水以恒速(即单位时间内注入水的 体

积相同) 注入下面四种底面积相 同的容器中 , 请分别找 出与各容器对应的高度 h与时间t的函数关系图象 .

?1?

?2?

?3?

?4?

h

h

h

h

o

?A ?

t

o

?B ?

t

o

?C ?

t

o

?D?

t

图1.3 ? 6

分析 以容器 ?2?为例,由于容器 上细下粗, 所以水以恒速注入时 , 开始阶段高度增加得慢 ,以后高 度增加得越来越快 .反映在图象 上, ?A ? 符合上述变化情况 . 同理 可知其他三种容器的情 况. 解 ?1? ? ?B?, ?2? ? ?A ?, ?3? ? ?D?, ?4? ? ?C?.

?2?

h

o

?A ?

t

思考 例 3 表明,通过函数图象 ,不仅可以看出函 数的增与减,还可以看出其增减的快 慢.结合图象, 你能从导数的角度解释 增减快慢的情况吗?

练习
1.判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:

(1) f ( x) ? x ? 2x ? 4;
2

(2) f ( x) ? e ? x;
x

(3) f ( x) ? 3x ? x3 ;

(4) f ( x) ? x3 ? x 2 ? x.

练习2

函数y=f (x)的图象如图所示,试画出导函数图 象的大致形状.
y y=f(x) O a y

y? ? f ? ? x ?

O

a

b

c

x

b

c

x

问题:已知函数y ? xf ' ( x)的 图象如图(其中f ( x)是f ( x) 的导函数)下列四个图象中 y ? f ( x)的图象大致是( C )
'

练习3

y 2
-1 1 -1 -2 1 2

-2

x

-1 -2 2

2 -1 1 -2 -1 1

-1 -2









练习

4.讨论二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的单调区间.

解:

? f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ? f ?( x) ? 2ax ? b.

(1) a ? 0 b 由 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ? , 即函数 f ( x ) 的递增区间 2a b b 是 (? ,?? ); 相应地, 函数的递减区间是 ( ?? ,? ) 2a 2a (2) a ? 0 b 由 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ? , 即函数 f ( x ) 的递增区间 2a b b 是 ( ?? ,? ) ; 相应地, 函数的递减区间是 ( ? ,?? ) 2a 2a

小结:1)用导数判断函数单调性步骤;

2)应用导数判断函数图象。

含参数的单调性问题

1 3 2 例1.求f ? x ? ? ? ax ? x ? 1 3 单调区间和单调性;

题型一:含参函数的单调区间

? a ? 0 ?的

? 2? ?1? a ? 0时, 在 ? 0, ? 上单增 ? a? ?2 ? 在 ? ??, 0 ?, ? ? ? 上单减 ? , ?a ? 2? ? ? 2 ? a ? 0时, 在 ? ??, ? , ? 0, ?? ? 单增 a? ? ?2 ? 在 ? , 0 ? 单减 ?a ?

? 练习: 判断y=ax3-1(a∈R)在(-∞,+∞) 上的单调性.

[解析] ∵y′=3ax2,又x2≥0. (1)当a>0时,y′≥0,函数在R上单调递增; (2)当a<0时,y′≤0,函数在R上单调递减; (3) 当 a = 0 时, y′ = 0 ,函数 在 R 上不 具备单 调 性. ? [点评] 判断函数单调性的方法有两种: ? (1)利用函数单调性的定义,在定义域内任取x1, x2 ,且 x1<x2 ,通过判断 f(x1) - f(x2) 的符号确定函 数的单调性; ? (2) 利用导数判断可导函数 f(x) 在 (a , b) 内的单调 性,步骤是:①求f′(x);②确定f′(x)在(a,b)内的 符号;③得出结论. ? ? ? ?

结论
1. 对x∈(a,b),如果f/(x)≥0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是增函数; 2. 对x∈(a,b),如果f/(x)≤0,但f/(x)不恒 为0,则f(x)在区间(a,b)上是减函数;

题型二:已知单调性,求参数;
1 3 1 2 例2. (全国Ⅱ) 若函数 f ( x ) ? x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 3 2 在区间 (1,4)内为减函数,在区间
(6,+∞)为增函数,试求实数a的取值范围.

解:
函数f(x) 的导数f ' ( x ) ? x 2 ? ax ? a ? 1 令f ?(x) ? 0.解得x ? 1或x ? a - 1. 当a - 1 ? 1即a ? 2时,函数f(x)在 (-?,1)为增函数, 在(1,a ? 1)内为减函数,在( a ? 1, ? ?)为增函数 . 所以4 ? a ? 1 ? 6.解得5 ? a ? 7. 所以a的取值范围是 [5, 7].

当a - 1 ? 1即a ? 2时,函数f(x)在 (1,??)为增函数,不合题意

依题意应有当 x ? (1, 4)时, f ' ( x ) ? 0,当x ? (6, ? ?)时为f' (x) ? 0.

3 2 f(x) ? ax ? 3 x ? x ?1 练习(全国Ⅰ)已知函数

在R上是减函数,求a的取值范围. a的取值范围是(-∞,-3]

1 练习: 已知函数( f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0,1],若( f x) x 在x ?(0 ,1]上是增函数,求a的取值范围.
解:由已知得

2 f ' (x ) ? 2 a ? 3 x

因为函数在(0,1]上单调递增

2 ? f '(x) ? 0,即a ? - 3 在x ? (0, 1]上恒成立 x 1 而g(x) ? ? 3 在(0, 1]上单调递增, x ? g(x)max ? g(1)=-1

? a ? -1

题型三:利用导数证明问题
1 证明:f ( x ) ? x - sin x, x ? ( ?? , ?? ) 2 1 f '( x ) ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f(x )在( ? ?, ? ?)上是单调函数, 而当x ? 0时,( f x) =0 1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2

1 例3.求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一个根。 2

? 练习: 已知x>1,求证:x>ln(1+x).
[分析] 设 f(x)=x-ln(1+x), 只需证得 f(x)在(1, +∞)

1 x 上的函数值恒大于零即可,根据 f′(x) = 1 - = 1+x 1+x >0(x>1), 得 f(x)在(1, +∞)上是增函数, 故当 x>1 时, f(x)>f(1) =1-ln2>0 恒成立,则原式得证.

[证明]

1 设 f(x)=x-ln(1+x). 因为 f′(x)=1- = x+1

x ,x>1,所以 f′(x)>0,所以 f(x)在(1,+∞)上是增函 x+1 数. 又 f(1) = 1 - ln2>1 - lne = 0 , 即 f(1)>0 , 所 以 f(x)>0(x>1),即 x>ln(1+x)(x>1).

? [点评] 此类题的解题步骤一般是:首先 构造函数,然后再采用求导的方法证 明.利用函数的单调性证明不等式也是证 明不等式常用的方法.

小结
? 1 .含有参数的函数求单调区间时注意正 确运用分类讨论思想. ? 2 .如果一个函数具有相同单调性的单调 区间不止一个,那么这些单调区间不能用 “∪”连接,而只能用“逗号”或“和” 字隔开.

作业 P31 1. 2. 3


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