nbhkdz.com冰点文库

一道东南数学奥林匹克试题的推广


34

数学通讯

2007 年第 1 期

一道东南数学奥林匹克试题的推广
蒋明斌
( 四川省蓬安中学 , 四川 637851)

中 图分类号 : O12- 44 题目

文献标识码 : A

文章编号 : 0488- 7395( 200

7) 01- 0034- 01
n i= 1 n

( 第三届 ( 2006 年 ) 东南 数学奥 林匹克 第 6( a 2 + b 2 + c 2 ) + 1 ( 1)
2

6 题 ) : 求最小的实数 m , 使不等式 m ( a 3 + b3 + c 3 ) 对满足 a + b+ c = 1 的任意正实数 a , b , c 恒成立 . 本文给出此题的一个推广 . 推广 设 ai > 0, i = 1, 2,
n n n

( A n + Bn 2 ) 不妨设 a 1
n

ai 3

A

i= 1

ai 2 + B a2 2
n i= 1

( 3)

下面证明 ( 3) 式成立 . a2 an , 则 a 1 2 a n , 由切比雪夫不等式 , 有
i= 1

, n, n

2,

i= 1

ai = 1,

ai 3

n 1 n 1 ( a )( a 2) = n i= 1 1 i= 1 i n n i= 1

ai 2 .

B > 0, A > - Bn , 求最小 的实数 m , 使不等式 m
i= 1

又由柯西不等式 , 有 ( 2)

ai 2

1 n 1 ( a ) 2= , n i= 1 i n 1 n ( a 2) n i= 1 i
n i= 1

ai 3

A
i= 1

ai 2 + B

而 A > - Bn , 所以 , A n + Bn 2 > 0, 因此 , ( A n + Bn 2 )
n i= 1

恒成立 . 注 : 在推广中取 n = 3, A = 6, B = 1 即 得上述 东 南竞赛题 . 解 ai = 1 , i = 1, 2, n , n, 得 m , n, n A n + Bn 2 . 2,
n i= 1

ai 3

( A n + Bn 2 ) !
n

= A
i= 1 n

ai 2 + Bn

ai 2

A = A 故不等式 ( 3) 成立 .

i= 1 n i= 1

ai 2 + Bn! ai 2 + B .

1 n

下面证明 , 当 a i > 0, i = 1, 2, B > 0, A > - Bn 时 , 有

a i = 1,

即 2a i= 1 k ix i ?
n

n

n i= 1

k ix i 2 + a2 i = 1 k I

n

?

mS 0 , 当且仅当 x 1 = x 2 =

= xn=

= m + a 2 S 0. m aS 0 所以 i = 1 ki x i ? + . 2a 2 又因为
n

m 时 S0

# = ?号成立 . 把命题 4 与命题 3 进行比较不难发现, 虽然 从形式上看 , 这两个命题不符合互逆命题的形式, m S 0. 但是, 从问题的实质来说, 完全可以看作是一对互 逆命题 . 命题 4 还有推广的空间 , 有兴趣的读者可以 做进一步探讨. 参考文献:
[ 1]
n

m aS 0 + 2a 2

2

m aS 0 ! = 2a 2

所以i = 1 k i x i ?

mS 0 . = xn =

不难验 证, 当 且仅 当 x 1 = x 2 = m 时 , 上式# = ?号成立. S0 至此, 我们得出更一般的结论;
n

郭元月 . 小议构造多项式解题 . 数学 教学通讯 , 2005( 5) . 首届全国数 学奥 林匹克 命题 比赛精 选 . 四川 : 四川大学出版社 . 1992.

命题 4 若 i= 1 ki x i = m , 且 i= 1 ki = S 0 , 其中 ki > 0 ( i = 1, 2, , n ) , m 与 S 0 都是常数 , 则 i= 1 k ix i
n

2

[ 2]

收稿日期 : 2006- 09- 11


2014年中国东南数学奥林匹克试题与解答(扫描版)

2014年中国东南数学奥林匹克试题与解答(扫描版)_学科竞赛_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档2014年中国东南数学奥林匹克试题与解答(扫描版)_...

2014年中国东南数学奥林匹克试题与解答 扫描版含答案

2014年中国东南数学奥林匹克试题与解答 扫描版含答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...

中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题c

中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题c_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2005 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题 C (陶平生供题)学校...

中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题e

中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题e_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。2005 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题 E 学校: 姓名: 营...

2009年中国第六届东南地区数学奥林匹克竞赛试题及解答

第六届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题第一天 1.试求满足方程 x2 ? 2 xy...淘宝客推广操作基础67份文档 九妖笑话 2014年笑话大全之让你笑个够 儿童笑话...

2004年第1届中国东南数学奥林匹克试题及答案

2004年第1届中国东南数学奥林匹克试题及答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。首届中国东南地区数学奥林匹克第一天(2004 年 7 月 10 日 8:00 — 12:00 温州) ...

中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题b

2005 年中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测 试题 B 学校: 姓名: 营员证号:___ 一. 以⊿ ABC 的三条边作为斜边,分别向形内方向作等腰直角三角形 ...

第十届中国东南地区数学奥林匹克试题

第十届中国东南地区数学奥林匹克试题_学科竞赛_高中教育_教育专区。第十届中国东南地区数学奥林匹克试题第十届中国东南地区数学奥林匹克 (第二天 2013 年 7 月 ...

2008第5届中国东南数学奥林匹克试题及答案

2008第5届中国东南数学奥林匹克试题及答案 隐藏>> 第五届中国东南地区数学奥林匹克第一天 (2008 年 7 月 27 日上午 8:00-12:00) 福建龙岩 1. 已知集合 ...