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一道东南数学奥林匹克试题的推广

时间:2014-03-07


34

数学通讯

2007 年第 1 期

一道东南数学奥林匹克试题的推广
蒋明斌
( 四川省蓬安中学 , 四川 637851)

中 图分类号 : O12- 44 题目

文献标识码 : A

文章编号 : 0488- 7395( 200

7) 01- 0034- 01
n i= 1 n

( 第三届 ( 2006 年 ) 东南 数学奥 林匹克 第 6( a 2 + b 2 + c 2 ) + 1 ( 1)
2

6 题 ) : 求最小的实数 m , 使不等式 m ( a 3 + b3 + c 3 ) 对满足 a + b+ c = 1 的任意正实数 a , b , c 恒成立 . 本文给出此题的一个推广 . 推广 设 ai > 0, i = 1, 2,
n n n

( A n + Bn 2 ) 不妨设 a 1
n

ai 3

A

i= 1

ai 2 + B a2 2
n i= 1

( 3)

下面证明 ( 3) 式成立 . a2 an , 则 a 1 2 a n , 由切比雪夫不等式 , 有
i= 1

, n, n

2,

i= 1

ai = 1,

ai 3

n 1 n 1 ( a )( a 2) = n i= 1 1 i= 1 i n n i= 1

ai 2 .

B > 0, A > - Bn , 求最小 的实数 m , 使不等式 m
i= 1

又由柯西不等式 , 有 ( 2)

ai 2

1 n 1 ( a ) 2= , n i= 1 i n 1 n ( a 2) n i= 1 i
n i= 1

ai 3

A
i= 1

ai 2 + B

而 A > - Bn , 所以 , A n + Bn 2 > 0, 因此 , ( A n + Bn 2 )
n i= 1

恒成立 . 注 : 在推广中取 n = 3, A = 6, B = 1 即 得上述 东 南竞赛题 . 解 ai = 1 , i = 1, 2, n , n, 得 m , n, n A n + Bn 2 . 2,
n i= 1

ai 3

( A n + Bn 2 ) !
n

= A
i= 1 n

ai 2 + Bn

ai 2

A = A 故不等式 ( 3) 成立 .

i= 1 n i= 1

ai 2 + Bn! ai 2 + B .

1 n

下面证明 , 当 a i > 0, i = 1, 2, B > 0, A > - Bn 时 , 有

a i = 1,

即 2a i= 1 k ix i ?
n

n

n i= 1

k ix i 2 + a2 i = 1 k I

n

?

mS 0 , 当且仅当 x 1 = x 2 =

= xn=

= m + a 2 S 0. m aS 0 所以 i = 1 ki x i ? + . 2a 2 又因为
n

m 时 S0

# = ?号成立 . 把命题 4 与命题 3 进行比较不难发现, 虽然 从形式上看 , 这两个命题不符合互逆命题的形式, m S 0. 但是, 从问题的实质来说, 完全可以看作是一对互 逆命题 . 命题 4 还有推广的空间 , 有兴趣的读者可以 做进一步探讨. 参考文献:
[ 1]
n

m aS 0 + 2a 2

2

m aS 0 ! = 2a 2

所以i = 1 k i x i ?

mS 0 . = xn =

不难验 证, 当 且仅 当 x 1 = x 2 = m 时 , 上式# = ?号成立. S0 至此, 我们得出更一般的结论;
n

郭元月 . 小议构造多项式解题 . 数学 教学通讯 , 2005( 5) . 首届全国数 学奥 林匹克 命题 比赛精 选 . 四川 : 四川大学出版社 . 1992.

命题 4 若 i= 1 ki x i = m , 且 i= 1 ki = S 0 , 其中 ki > 0 ( i = 1, 2, , n ) , m 与 S 0 都是常数 , 则 i= 1 k ix i
n

2

[ 2]

收稿日期 : 2006- 09- 11