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初中数学竞赛辅导资料22

时间:2010-03-24


初中数学竞赛辅导资料(22)
平行和垂直
甲内容提要 一.证明两直线互相平行常用的定理 ① 利用角 同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,两直线平行. ② 利用第三线 都平行或都垂直于第三线的两直线平行. ③ 利用比例式 △ABC 中,如果

AD AE = DB EC

A

那么 DE‖BC D

E ④ 其他 三角形中位线平行于第三边 B 梯形中位线平行于两底 C 平行四边形对边平行 二.证明两直线互相垂直常用的定理 1. 按垂直定义 即证明两直线相交所成的四个角中,有一个是直角. 直角是 180 的一半,常见的 180 有:平角,邻补角,平行线的同旁内角, 三角形内角和. 2. 在三角形中证明直角 ① 如果一个角等于其他两个角的和,那么这个角是直角. ② 若一边平方等于其他两边的平方和,则这边所对的角是直角. ③ 若一边中线等于这边的一半,则这边所对的角是直角. ④ 等腰三角形顶角平分线(或底边中线)是底边上的高. ⑤ 和直角三角形全等或相似的三角形也是直角三角形. 3. 菱形对角线互相垂直 乙例题 例 1.从三角形的一个顶点向其他的两个角的平分线引垂线, 两个垂足的连线 平行于这个角的对边. 已知:△ABC 中,BD,CE 是角平分线,AM⊥BD,AN⊥CE 求证:MN‖BC A 证明:分别延长 AM,AN 交 BC 于 F,G 则∠AMB=∠BMF=Rt∠ ∵∠1=∠2,BM=BM D E M N ∴△AMB≌△FMB ∴AM=MF 同理可证 AN=NG 2 ∴MN 是△AFG 的中位线, 1 B C F G ∴MN‖FG,即 MN‖BC

例 2.已知:AD 是 Rt△ABC 斜边上的高,角平分线 BE 交 AD 于 F, EG⊥BC 交 BC 于 G A 求证:FG‖AC,AG⊥BE 证明的要点: E ∵BE 是角平分线, F ∴点 E 到∠ABC 的两边距离相等, 即 EA=EG B D G C ∵∠AFE,∠AEF 分别是∠EBC,∠ABE 的余角, ∴∠AFE=∠AEF 得 AF=AE=EG,且 EG‖AF, 故 AFGE 是菱形 例 3.已知:如图 AD 是等腰直角△ABC 斜边上高 BM,BN 三等分∠ABC,CM 延长线交 AB 于 E 求证:EN‖BM A 证明要点: F 根椐轴对称图形的性质 N CM,CN 也三等分∠ACB E 1 M 点 N 是△ACE 的内心, ∴EN 是∠AEC 的平分线 B
D C

∴∠1=∠ABM=30 例 4.已知: A,B, 三点在同一直线上,△ABD 和△BCE 都是等边三角形, C AE 交 BD 于 M,CD 交 BE 于 N E 求证:MN‖AC D 证明:在等边△ABD 和△BCE 中 N
M

AB=BD,BC=CE,∠ABD=∠BCE=60 A ∴BM‖CE ∴

B

C

AM AB BN BD AM BN = , = , ∴ = ME BC NC CE `ME CE

∴MN‖AC

例 5.已知:正方形 ABCD 中,P 是 AC 上的任意点,过点 P 作 PE⊥AB 作 PF⊥BC G C D 求证:PD⊥EF 4 分析:要证明 PD⊥EF,可证∠PMF=90 先证∠1+∠2=90 ∵∠2+∠3=90
H P 1 2 F M 3 B

A

而∠1=∠4 只要证∠3=∠4 可用边角边证△BEF≌△GPD (证明略)

E

例 6.已知:⊙O 和⊙Q 相交于 A,B,⊙Q 经过点 O,C 是⊙O 优弧 AB 上 的一点,CB 延长线交⊙Q 于 D, A 求证:DO⊥AC F 证明:连结 AB,作⊙O 直径 AE,DO 延长线交 O Q C AC 于 F ∵∠C=∠E,∠D=∠EAB E ∴∠CFD=∠ABE=Rt∠, ∴DO⊥AC B D 丙练习 38 1. 四边形 ABCD 中,∠A=∠B,AD=BC,则 AB‖CD 2. 正方形 ABCD 中,E 在边 BC 上,F 在边 AB 的延长线上,且 AE=BF 则 AE⊥CF 3. 已知:平行四边形 ABCD 的 AB=2BC,E,F 分别在 BC 和 CB 的延长 线上且 CE=BF=BC 求证:AE⊥DF 4. 分别以△ABC 的边 AB 和 BC 为一边,向形外作两个正方形 ABEF 和 BCGH,求证 AH=CE,AH⊥CE 5. 已知:D,E,F 是△ABC 边 BC,CA,AB 的中点,H,G 在形外,且 HE⊥AC,HE=

1 1 AC,GD⊥BC,GD= BC 2 2

A D 求证:△FDG≌△HEF FG⊥FH 6. 已知:在平行四边形 ABCD 中, F E ∠A 和∠B 的平分线交于 E, ∠C 和∠D 的平分线相交于 F B C 求证:EF‖BC 7. 三角形三条高(或它们的延长线)必相交于一点 这点叫做三角形的垂 A 心,如图△ABC 中,两条高 AD 和 BE 交于 H,那么 H 是△ABC 的垂心 D 是△_____的垂心 E H E 是△___的垂心 C 是△______的垂心 B C (1989 年泉州市初二数学双基赛题) 年泉州市初二数学双基赛题) D 8. 已知:O 为等腰直角三角形 ABC 底边 BC 的中点,在 BC 的延长线上任 取一点 P,过 P 作 AB 的垂线 PD,D 为垂足,过 P 作 AC 的垂线 PE,E 为垂足. 试问:不论 P 点在 BC 延长线上的哪一个位置,∠DOE 都等于几度?并 证明你的结论(1988 年泉州市初二数学双基赛题) 年泉州市初二数学双基赛题)

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