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圆锥曲线竞赛培训(学生版)

时间:2016-04-14


高二理科数学培优专题二------圆锥曲线
教学目标:能运用曲线的定义、性质与方程解决有一定思维难度的轨迹,最值与位置关系的相关问题。. 热身练习:
2 1.双曲线方程 x

题组三.最值问题
2 2 2 例 3 ⑴ P 是双曲线 x ? y ? 1 的右支上一点, M , N 分别是圆 ? x ? 5 ?

9

16

? y2 ? 4 和

? x ? 5 ? ? y ? 1 上的点,则 P M ? P N的最大值为__________.
2 2

y2 ? ? 1 ,则 k 的取值范围是________. | k | ?2 5 ? k

解⑵设 A,B 是椭圆 x +3y =1 上的两个动点,且 OA ? OB(O 为原点) ,求|AB|的最大值与最小值。
2 2

⑶椭圆的中心为原点 O ,焦点在

y

轴上,离心率 e ?

2.在平面直角坐标系中,若方程 5( x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1) ? ( x ? 2 y ? 3) 2 表示的曲线是_____. 1 2 3.(1)已知 P 为抛物线 y= x 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M,点 A 的坐标是(2,0),则 4 |PA|+|PM|的最小值是________. 2 (2)已知点 P 在直线 x+y+5=0 上,点 Q 在抛物线 y =2x 上,则|PQ|的最小值等于________.

6 ,过 P( 0 , 1) 的直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点,且 3

? ? ?? ? ? ?? A P? 2 P B ,求 ?A O B 面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程.

例 4 如图,M 是抛物线上 y2=x 上的一点,动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点,且 MA=MB. 若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值;

题组一.轨迹问题 例 1.⑴已知点 M(-3,0)、N(3,0)、B(1,0),⊙O 与 MN 相切于点 B,过 M、N 与⊙O 相切 的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为__________. ⑵在坐标平面内,∠AOB=

? ,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求三角形 AOB 的外心的轨迹方程。 3

巩固练习 1:设 F1、F2 是双曲线 x2-y2=4 的左、右两个焦点,P 是双曲线上任意一点,过 F1 作∠ F1PF2 的平分线的垂线,垂足为 M,求点 M 的轨迹方程. 题组二.直线与曲线 x2 y2 例 2 (1)已知直线 y=kx-1 与椭圆 + =1 相切,则 k,a 之间的关系式为________________. 4 a (2))若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( ) 15 15? 15? ? ? ? 15 ? ? 15 ? A. - ? 3 , 3 ? B.?0, 3 ? C.?- 3 ,0? D.?- 3 ,-1? 巩固练习 2 设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则 直线 l 的斜率取值范围是( ) 1 1? A.? C.[-1,1] D.[-4,4] ?-2,2? B.[-2,2] 巩固练习 3 已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上.若右焦点 F 到直线 x-y+2 2= 0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点 M,N.当|AM|=|AN|时,求 m 的取值范围. 变式练习 若抛物线 y=ax -1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求 a 的取值范围。
2

例 5(2)已知椭圆 C 方程为 + =1,当过点 P(4,1)的动直线 l 与椭圆 C 相交于两不同点 A、B 时, 4 2 → → → → 在线段 AB 上取点 Q,满足|AP|·|QB|=|AQ|·|PB|.证明:点 Q 总在某定直线上.

x2 y2

例 6 已知,椭圆 C以双曲线x 2 ? (2)若直线 l

y2 (1)求椭圆 C 的方程; ? 1 的焦点为顶点,以双曲线的顶点为焦点。 3

,且以线段 MN 为直径的圆过 : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点(M、N 不是左右顶点)

点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标。

x2 y 2 1 巩固练习 4:已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4,离心率为 ,F1,F2 分别为其左右 2 a b
焦点.一动圆过点 F2,且与直线 x=-1 相切. (Ⅰ) (ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (ⅱ)求动圆圆心轨迹 C 的方程; ( Ⅱ ) 在曲线 C 上有四个不同的点 M,N,P,Q 满足 MF2 与 NF2 共线, PF2 与 QF2 共线,且

PF2 ? MF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的最小值.

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