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2009—2010学年度第一学期高二期末数学试题(必修5+选修1—1)


2010 学年第一学期高二期末统一考试数学(文科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 3 页.满分为 150 分。考试时间 120 分 钟.

第Ⅰ卷

选择题

(共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,每小题给出的 4 个

选项中,只有一选项是符合题目 要求的) 1. 等差数列 { a n } 中, a 3 = 2 ,则该数列的前5项的和为 A.32 B.20 C.16 2 2. 抛 物 线 y = -2x 的 准 线 方 程 是 A.x=-
1 2

( D.10 (





B.x=

1 2

.C.y=

1 8

D.y=-

1 8

3. 下列命题中,其“非”是真命题的是 A.?x∈R ,x?- 2
2

( B.?x∈R ,3x-5 = 0 ; D.对于任意的实数 a,b,方程 ax=b 都有唯一解 .



x +2
2 2 2 2

≥ 0 ;

C.一切分数都是有理数 ; 4. 已知 F1、F2 是双曲线
x a ? y b

? 1 (a>0,b>0)的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角形 MF1F2,若

边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 A.4+ 2 3 B. 3 +1 C. 3 —1 D.
3 ?1 2





5.方程

2 ( x ? 3 ) ? 2 ( y ? 1)
2

2

?

x? y?3

表示的曲线是 C.双曲线 C.-2 D.抛物线





A.圆 B.椭圆 6. 已知 f(x) = x2 + 2x f1 (1) , 则 f 1(0)= A.0 B.-4

( D.2

)

7.设 x,y 是正实数,且满足 x + 4y = 40,则 lgx+lgy 的最大值是 A.2 B.4 C.10 D.40

(

)

8. 已知数列{an},那么“对任意的 n∈N*,点 Pn(n,an)都在直线 y=2x+1 上”是“{an}为等差数列” 的
( A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 )

第 1 页 共 7 页

?y ? 0 y ?1 ? 9.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , 则W ? 的取值范围为是 x ?1 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?





A.〔 —1,

1 3



B.〔-

1 2

,

1 3



C. 〔 -

1 2

,+∞ )

D. 〔-

1 2

,1)

10.设 F1,F2 是 x2 +3y2 = 3 椭圆的焦点,点 P 是椭圆上的点,若∠F1PF2=900,则这样的点 P 有( A.0 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个



第Ⅱ卷
x ? 2 1? x

非选择题 (共 100 分)

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的横线上) 11.函数 y = 的定义域为
2

________________

12.过点 P(-1,2 ) 且与曲线 y=3x —4x+ 2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是 13 已知 m,n,m+n 成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则椭圆
a cos A

x

2

?

y n

2

? 1 的离心率为_______________

m

14.在△ABC 中∠A=600,b=1,S△ABC= 3 ,则

=

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 )

15. (本小题满分 12 分)求经过点 P(―3,2 7 )和 Q(―6 2 ,―7)且焦点在坐标轴上的双曲线的 标准方程。

16. (本小题满分 12 分)已知 p:x < -2,或 x > 10;q: 1 ? m ≤x≤ 1 ? m 2 ;若?p 是 q 的充分而不 必要条件,求实数 m 的取值范围。 17. (本小题满分 14 分)某银行准备新设一种定期存款业务,经测算:存款量与存款利率的平方成正比, 比例系数为 k(k>0) ,贷款的利率为 4.8%,又银行吸收的存款能全部放贷出去。 (1)若存款利率为 x,x∈(0,0.048) ,试写出存款量 g(x)及银行应支付给储户的利息 h(x)与 存款利率 x 之间的关系式; (2)存款利率为多少时,银行可获得最大收益? 18.(本小题满分 14 分)函数 f(x)= 4x3+ax2+bx+5 的图在 x=1 处的切线方程为 y=-12x; (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在 [—3,1]上的最值。

19.(本小题满分 14 分)设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)的左焦点为 F1(-2,0),左准线 L1 与 x 轴交于点

N(-3,0) ,过点 N 且倾斜角为 300 的直线 L 交椭圆于 A、B 两点。
第 2 页 共 7 页

(1)求直线 L 和椭圆的方程; (2)求证:点 F1(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上。 20. 本小题满分 14 分) ( 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , a n 是 S n 与 2 的等差中项, 且 数列 {b n } 中, 1 = 1 , b 点 P ( b n , b n + 1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上. ⑴求 a 1 和 a 2 的值; ⑵求数列 {a n } , {b n } 的通项 a n 和 b n ; ⑶ 设 c n ? a n ? b n ,求数列 ? c n ? 的前 n 项和 T n .

2010 学年第一学期高二期末统一考试数学(文科)答案
评分统计表:
题号 得 分
第 3 页 共 7 页





15

16

17

18

19

20

一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,每小题给出的 4 个选项中,只有一项是符合题目要 求的) 题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 B 5 D 6 B 7 A 8 B 9 D 10 D

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的横线上) 11. 〔-2,1〕 12. y= 2x +4 13.
2 2

.

14.

2 13

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15. (本小题满分 12 分) 解:依题意,设双曲线方程为 Ax2-By2=1(AB>0)---------3 分 ∵双曲线过点 P(―3,2 7 )和 Q(―6 2 ,―7) ∴
? 9 A ? 28 B ? 1 ? ? 72 A ? 49 B ? 1
1 75

------------7 分
1 25

解得:A=-

B=-
y
2

----------10 分

故双曲线方程为

?

x

2

?1

--------12 分

25

75

(若设为标准方程, 则需讨论焦点所在的轴)

16.(本小题满分 12 分) 。 解:∵ p:x < -2,或 x > 10;q: 1 ? m ≤x≤ 1 ? m 2 ∴?p: -2≤ x≤ 10 ∵?p ? q ∴?
?1 ? m ? ? 2 ?1 ? m
2

--------------------------3 分

? 10

解得 m ? 3

---------------8 分

又∵q 推不出 ?p ∴m ? 3 ∴m 的取值范围为(3,+∞) ---------------------12 分
第 4 页 共 7 页

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知,存款量 g(x)= kx2 ---------------------------------------2 分 银行应支付的利息 h(x)= xg(x)= kx3 ------------------4 分 (2)设银行可获得的利益为 y,则 y = 0.048kx2-kx3 -------------------6 分 1 2 y =0.096kx-3kx 令 y 1= 0 即 0.096kx-3kx2=0 解得:x=0.032 或 x=0(舍去)---------9 分 当 x∈(0,0.032)时,y 1>0 当 x∈(0.032,0.048)时,y 1<0 ∴当 x=0.032 时,y 取得最大值 -----------------------------------------13 分 故当存款利率为 3.2%时,银行可获得最大利益。-------------------------14 分

18. (本小题满分 14 分) 解: (1)f 1(x)= 12x2+2ax+b -----------------------------------2 分 ∵y =f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=-12x
1 ? k ? ? 12 ? f (1 ) ?12 ? 2 a ? b ? ? 12 ∴? 即? ? 4 ? a ? b ? 5 ? ? 12 ? f (1 ) ? ? 12

解得:a=-3 b=-18 ∴f(x)=4x3―3x2―18x+5

-------------------------------6 分 ------------------------------------------------7 分

(2)∵f 1(x)= 12x2-6x-18=6(x+1) (2x-3) 令 f 1(x)=0 解得:x=-1 或 x= ∴ 当 x<-1 或 x> 当-1< x<
3 2 3 2 3 2

--------------------------------------9 分

时,f 1(x)>0 ----------------------------------------11 分

时, f 1(x)<0

∵ x∈[-3,1] ∴ 在[-3,1]上无极小值,有极大值 f(-1)=16 又∵f(-3)=-76 f(1)=12 ----------------------------------------13 分 ∴f(x)在[-3,1]上的最小值为-76,最大值为 16。-------------------------------14 分

19.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意知,c=2 及
a
2

? 3 得 a=6

-----------------------------2 分

c

∴ b2 ? 6 ? 22 ? 2

第 5 页 共 7 页

∴椭圆方程为

x

2

?

y

2

?1

-----------------------4 分

6

2
3 3

直线 L 的方程为:y-0=tan30 (x+3)即 y=
2 2

0

(x+3)------------6 分

?x ? 3y ? 6 ? (2)由方程组 ? 得 2x2 ? 6x ? 3 ? 0 3 ( x ? 3) ?y ? 3 ?

-----------------8 分

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1+x2=-3 x1x2=
1

3 2

∵kF A ? kF B ?
1 1

y1 x1 ? 2

?

y2 x2 ? 2

?

3

( x 1 ? 3 )( x 2 ? 3 )

( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

?

x1 x 2 ? 3( x1 ? x 2 ) ? 9 3? x 1 x 2 ? 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 4

?

? ?1

----------------12 分

∴ F1 A ? F1 B 则 ? AF 1 B ? 90 0 ∴点 F(-2,0)在以线段 AB 为直径的圆上 -----------------14 分

(注:此问有多种解法)

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ a n 是 S n 与 2 的等差中项 ∴ S n ? 2an ? 2 --------------------------------------------1 分

∴ a 1 ? S 1 ? 2 a 1 ? 2 解得 a 1 ? 2
a 1 ? a 2 ? S 2 ? 2 a 2 ? 2 解得 a 2 ? 4

-------------------------3 分

(2)? S n ? 2 a n ? 2, S n ?1 ? 2 a n ?1 ? 2,
又 S n- S n ?1= a n, ( n ? 2, n ? N )
*

? a n ? 2 a n ? 2 a n ?1 , ? an ? 0,

.
第 6 页 共 7 页

?

an a n ?1

? 2 , ( n ? 2 , n ? N ), 即 数 列 ? a n ? 是 等 比 数 列 。
*

∵a1=2

∴an ? 2n

-------------------------------------------------6 分

? 点 P bn , bn ? 1 ) 在 直 线 x-y+2=0上 , bn ? bn ? 1+ 2= 0 ( ?

∴ b n ? 1 ? b n ? 2即数列 ?b n ?是等差数列 (3)? c n= (2 n ? 1)2 n ,

, 又 b1 ? 1,?b n ? 2 n ? 1

-----------8 分

? T n= a1b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 5 ? 2 ? ? ? (2 n ? 1)2 , ------------10 分
2 3 n

? 2 T n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? (2 n ? 3)2 ? (2 n ? 1)2
2 3 n

n ?1

因此: ? T n ? 1 ? 2+ ( 2 ? 2 2+ 2 ? 2 3 + ? + 2 ? 2 n ) ? (2 n ? 1)2 n ? 1 即: ? T n ? 1 ? 2 ? (2 3 ? 2 4 ? ? ? 2 n ? 1) (2 n ? 1)2 n ? 1 ? ∴ T n ? ( 2 n ? 3 ) 2 n ?1 ? 6

------------12 分

----------------------------------14 分

第 7 页 共 7 页


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