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2015届高考数学(新课标版,文)二轮复习专题讲解课件:专题1 第3讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用

时间:2015-02-01


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第三讲 基本初等函数、函数与 方程及函数的应用

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1 1 11 1.(2014· 辽宁高考 )已知 a=2- ,b=log2 ,c=log ,则( 3 3 23 A.a>b>c C.c>a>b
解析

:选 C

)

B.a>c>b D.c >b>a
1 1 11 a= 2- ∈(0,1),b=log2 ∈(-∞,0),c =log = 3 3 23

log23∈ (1,+ ∞),所以 c>a>b.

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6 2.(2014· 北京高考 ) 已知函数 f(x) = - log2x, 在下列区间中 ,包 x 含 f(x)零点的区间是( A.(0,1) C.(2,4)
解析:选 C

) B.(1,2) D.(4,+∞)

因为 f(1)=6- log21= 6>0,f(2)= 3- log22=2>0,f(4)

3 1 = - log24=- <0,所以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4), 故选 C. 2 2

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3.(2014· 浙江高考 )在同一直角坐标系中,函数 f(x)=xa(x >0),g(x) =logax 的图象可能是( )

解析: 选D

根据对数函数性质知 ,a>0,所以幂函数是增函数 ,排除

A(利用 (1,1)点也可以排除 );选项 B 从对数函数图象看 a<1,与幂函数 图象矛盾;选项 C 从对数函数图象看 a>1,与幂函数图象矛盾 ,故选 D.

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4.(2014· 北京高考 )加工爆米花时, 爆开且不糊的粒数占加工总 粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率 p 与加 工时间 t(单位: 分钟)满足的函数关系 p=at2+ bt +c (a,b,c 是常数), 如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据, 可以 得到最佳加工时间为( )

A. 3.50 分钟

B.3.75 分钟

C.4.00 分钟

D.4.25 分钟

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解析:选 B 由实验数据和函数模型知 ,二次函数 p= at2+ bt+ c

的 图 象 过 点 (3,0.7),(4,0.8),(5,0.5), 分 别 代 入 解 析 式 , 得

?0.7= 9a+3b+c, ? ?0.8= 16a+4b+c, ? ?0.5= 25a+5b+c,

?a=-0.2, ? 解得?b= 1.5, ? ?c=-2.

所以 p=- 0.2t 2+ 1.5t- 2=

- 0.2(t- 3.75)2+ 0.812 5,所以当 t= 3.75 分钟时 ,可食用率 p 最大 .故选 B.

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5.(2014· 天津高考 )已知函数
? 2 ? ? ?,x≤0 , x + 5 x + 4 ?? ? ? ? f(x) = ? ?2|x- 2|,x>0.



函 数 y = f(x) - a |x | 恰 有 4 个 零 点 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 ________.
解析:画出函数 f(x)的图象如图所示:函数 y= f(x)- a|x|有 4 个零 点 ,即函数 y1=a|x|的图象与函数 f(x)的图象有 4 个交点 (根据图象知需 a>0).

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当 a= 2 时 ,函数 f(x)的图象与函数 y1= a|x|的图象有 3 个交点 .故 a<2. 当 y= a|x|(x≤ 0)与 y= |x2+ 5x+ 4|相切时 ,在整个定义域内 ,f(x)的图 象与 y1= a|x|的图象有 5 个交点 ,
? ?y=-ax, 此时 ,由? 2 ? ? y=- x - 5x- 4

得 x2+ (5- a)x+ 4= 0.

当 Δ= 0 时 ,有 (5-a)2- 16= 0,解得 a= 1,或 a= 9(舍去 ), 则当 1<a<2 时 ,两个函数图象有 4 个交点 . 故实数 a 的取值范围是 1<a<2. 答案:(1,2)

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1.指数与对数式的七个运算公式 (1)am· an=am n;


(2)(am)n=amn; (3)loga( MN)=loga M+loga N; M (4)loga =logaM-logaN; N (5)loga Mn=nlogaM; (6)aloga N= N; logb N (7)loga N= (a>0 且 a≠ 1,b>0 且 b≠1, M>0,N>0). logba
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2.指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数 图象 0<a<1 时,在 R 上单调递减; a>1 时,在 R 上单调递增 a>1 时,在(0, +∞)上单调递 增;0<a<1 时,在(0,+∞)上 单调递减 0<x <1 时,y >0 a>1, 当 x >1 时,y> 0;当 0<x <1 时,y <0 对数函数

单调性

0<a<1, 当 x >0 时, 0<y <1; 当 0<a<1, 当 x >1 时,y <0;当 函数值 性质 x<0 时,y>1 a>1, 当 x >0 时,y >1;当 x<0 时,0<y<1 3.函数的零点与方程根的关系 函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的根,即函数 y= f(x) 的图象与函数 y =g(x)的图象交点的横坐标 .
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1.(2014· 福建高考 )若函数 y=logax(a>0,且 a≠ 1)的图象如图所示, 则 下列函数图象正确的是 ( )

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2.(2014· 涡阳模拟 )设 a=e0.3,b=0.92,c= logπ0.87, 则 a,b, c 的大小关系 是( ) A.a<b<c C.c<a<b 3.已知函数 f(x)= ln ( ) A.(x 1-x 2)[f(x1)-f(x 2)]<0
?x1+x 2? f?x1?+f?x2? ?< B.f ? 2 ? 2 ?

B.c <b<a D.b<c<a
? 1? x,x 1,x2∈ ?0, ?,且 x1<x2,则下列结论中正确的是 e? ?

C.x1f(x 2)>x 2f(x1) D.x2f(x2)>x1f(x1)
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[自主解答]


1.因为函数 y= logax 过点 (3,1),所以 1= loga 3,解

得 a= 3.y= 3 x 不可能过点(1,3),排除 A; y= (- x)3=-x3 不可能过 点 (1,1),排除 C; y= log3(- x)不可能过点(- 3,- 1),排除 D,故选 B. 2.把 a 看成函数 y= ex 当 x= 0.3 时的函数值,因为 e>1,0.3>0, 所 以 a>1 ; 把 b 看成函 数 y = 0.9x 当 x = 2 时 的函数值 , 因为 0<0.9<1,2>0,所以 0<b<1;把 c 看成函数 y= logπ x 当 x= 0.87 时 的函数值 ,因为 π>1,0<0.87<1,所以 c<0.综上 ,c<b<a,故选 B.

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3.选项 A,由于函数在区间上为增函数 ,由单调性定义可知 (x1 - x2)[f(x1)- f(x2)]>0,故 A 错误;选项 B,由函数图象的凸凹性可知 x1+ x2 f?x1?+ f?x2? f?x? ln x f > ,故 B 错误; 选项 C,令 g(x)= = ,由于 g′(x) 2 2 x x
? ? 1- ln x 1? 1? = , 当 x∈ ?0, ?时 ,g′(x)>0, 即函数在区间?0, ?上为增函 2 e? e? x ? ?

f?x1? f?x2? 数 ,故 x1<x2?g(x1)<g(x2)? < ?x2f(x1)<x1f(x 2),故 C 正确;同 x1 x2 理 ,令 h(x)= xf(x)= xln x,可知 x1f(x1)>x2f(x 2),D 错误 . [答案] 1.B 2.B 3.C

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将题

? 1? ? 3 中“f(x)=ln x,x 1,x2∈ 0, ?”改为“f(x)=e x”,如何选择? e? ?

解析: 选 B

因为 f(x) = ex 为增函数 , 所以 (x1- x2)· [f(x1) -
x

f(x2)]>0, 故 A 错误;由于函数 f(x) = e 的凸凹性可知

?x1+ x2? ? f? 2 ? ?

f?x1?+ f?x2? xex- ex ex?x- 1? ex < ,故 B 正确;令 g(x)= ,则 g′(x)= = , 2 x x2 x2 ex 所以 g(x)= 在 (- ∞,0),(0,1)上为减函数 ,在 (1,+ ∞)上为增函数 ,故 x C 错误;同理 ,令 h(x)= xex,则 h′(x)= ex+ xex= (1+ x)ex,所以 h(x) = xex 在 (- ∞,- 1)上为减函数 ,在(- 1,+ ∞)上为增函数 ,故 D 错误 .
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1.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题

(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较;
(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较; (3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常 引入中间量或结合图象比较大小. 2.解决含参数的指数、对数问题应注意的问题 对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对底数进 行讨论.解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次再利用性质求解.
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1.(2014· 南安模拟 )已知函数 f(x)=3x+ 2x 的零点所在的一个区间是 ( ) A.(- 2,-1) C.(0,1) B.(- 1,0) D.(1,2) 的零点个数是________.

2 ? ?x - 2≤ 0,x≤ 0, 2.函数 f(x)= ? ? ?2x- 6+ln x ,x>0

3.已知函数 f(x)= |x- 2|+ 1,g(x)=kx.若方程 f(x)=g(x)有两个不相等 的实根,则实数 k 的取值范围是________.
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[ 自主解答 ] 间是(- 1,0). 2.当 x≤ 0 时 ,令 x2- 2= 0,解得 x=- 2;当 x>0 时 , 1 f(x)= 2x- 6+ ln x,因为 f′(x)= 2+ >0,所以函数 f(x)= 2x- 6+ x ln x 在 (0,+ ∞)上单调递增 ,因为 f(1)= 2- 6+ ln 1=- 4<0,f(3)= ln 3>0,所以函数 f(x)= 2x- 6+ ln x 在 (0,+ ∞)有且只有一个零点 ,综上 ,函 数 f(x)的零点个数为 2. 5 1.f( - 1)=- <0,f(0) = 1>0, 所以零点所在的一个区 3

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3. 在同一坐标系中分别画出函数 f(x),g(x)的图象如图所示 ,方程 f(x)= g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的 交点 ,结合图象可知 ,当直线 y= kx 的斜率大于坐标原点与点 (2,1)连线 1 的斜率且小于直线 y= x- 1 的斜率时符合题意 ,故 <k<1. 2 [答案] 1.B 2.2
?1 ? 3.? ,1? ?2 ?

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判断函数零点个数的方法 (1)直接求零点:令f(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数. (2)零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续 的曲线,且f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)

才能确定函数有多少个零点.
(3)数形结合:对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会 通过分解转化为两个函数图象,然后数形结合,看其交点的个数 有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零 点.
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[ 例 1]

(2014· 南京模拟 ) 如图 , 现要在边长为 100 m 的正方形

ABCD 内建一个交通“环岛”. 以正方形的四个顶点为圆心在四个 角分别建半径为 x m(x 不小于 9)的扇形花坛, 以正方形的中心为圆心 1 2 建一个半径为 x m 的圆形草地.为了保证道路畅通,岛口宽不小于 60 5 m,绕岛行驶的路宽均不小于 10 m.
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(1) 求 x 的取值范围(运算中 2取 1.4); 4 (2)若中间草地的造价为 a 元/m ,四个花坛的造价为 ax 元/m2, 其 33
2

12a 余区域的造价为 元/m2, 当 x 取何值时, 可使“环岛”的整体造价最 11 低?
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[师生共研] (1)由题意得 ,

?x≥9, ?100- 2x≥ 60, ? ?100 2- 2x- 2×1x2≥ 2× 10, 5 ?
9≤x≤ 15.

?x≥9, ? 解 得 ?x≤20, ? ?- 20≤x≤ 15,



(2)记 “环岛 ”的整体造价为 y 元 ,则由题意得
?1 2?2 ? ?1 2?2 4 12a ? 4 a 1 4 2 2 ? ? ? ? ? ? y= a×π× x + ax×πx + × 10 - π× 5x - πx = π- x 33 11 ? 25 ? ? ? 11 ?5 ?

4 3 1 4 4 3 4 3 2 4 2 + x - 12x + 12× 10 ,令 f(x)=- x + x - 12x ,则 f′(x)=- x + 3 25 3 25 4x
2

?1 2 ? - 24x=- 4x? x - x+ 6?, ?25 ?

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由 f′(x)= 0,解得 x= 10 或 x= 15,列表如下:

所以当 x= 10 时 ,y 取最小值 . 故当 x= 10 时 ,可使 “环岛 ”的整体造价最低 .

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解决函数应用题的四步曲 (1)阅读理解:读懂题意 ,弄清题中出现的量及其数学含义 . (2)分析建模:分析题目中的量与量之间的关系 ,同时要注意由已 知条件联想熟知的函数模型 ,以确定函数模型的种类 ,建立目标函数 , 将实际问题转化为数学问题 . (3)数学求解:利用相关的函数知识求解计算 . (4)还原总结:把计算获得的结果还原到实际问题中进行总结作 答.

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1.某企业为打入国际市场,决定从 A,B 两种产品中只选择一种进行投资生产.已知 投资生产这两种产品的有关数据如表:(单位:万美元) 项目 类别 A产 品 B产 品 年固定 成本 20 40 每件产品 每件产品销 成本 m 8 售价 10 18 每年最多可生产 的件数 200 120

其中年固定成本与年生产的件数无关,m 为待定常数,其值由生产 A 产品的原材料 价格决定,预计 m∈[6,8].另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05x2 万美元的特别关税.假 设生产出来的产品都能在当年销售出去. (1)写出该厂分别投资生产 A,B 两种产品的年利润 y1,y2 与生产相应产品的件数 x 之 间的函数关系并指明其定义域; (2)如何投资最合理(可获得最大年利润)?请你做出规划. 高考专题辅导与测试·数学

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解: (1)由年销售量为 x 件 ,按利润的计算公式 ,有生产 A,B 两产品的 年 利 润 y1,y2 分 别 为 y1 = 10x - (20 + mx) = (10 - m)x - 20(x ∈ N,0≤x≤ 200), y2= 18x- (8x+ 40)- 0.05x 2=- 0.05x 2+ 10x- 40(x∈ N,0≤x≤ 120). (2)因为 6≤m≤8,所以 10- m>0,函数 y1= (10- m)x-20 在 [0,200] 上是增函数 ,所以当 x= 200 时 ,生产 A 产品有最大利润 ,且 y1max= (10- m)×200- 20= 1 980- 200m(万美元 ). 又 y2=- 0.05(x- 100)2+ 460(x∈ N,0≤x≤ 120), 所以当 x= 100 时 ,生产 B 产品有最大利润 ,且 y2max= 460(万美元 ).

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因为 y1max- y2max= 1 980- 200m- 460

?>0, 6≤m<7.6, ? = 1 520- 200m ?= 0, m= 7.6, ? ?<0, 7.6<m≤ 8.
所以当 6≤m<7.6 时 ,可投资生产 A 产品 200 件; 当 m= 7.6 时 ,生产 A 产品或生产 B 产品均可 (投资生产 A 产品 200 件或生产 B 产品 100 件 ); 当 7.6<m≤ 8 时 ,可投资生产 B 产品 100 件 .

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[ 例

2]

(2014· 重 庆 高 考 ) 已 知 函 数

f(x) =

1 ? ? -3,x ∈?- 1, 0], ?x+1 ? ?x,x∈?0,1],

且 g(x)=f(x)-mx-m 在(- 1,1] 内有且仅

有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是( ) ? 9 ? ? ? 11 ? ? 1? 1? A.?- ,-2?∪?0, ? B.?- ,-2?∪ ?0, ? 4 2 2? ? ? ? ? ? 4 ? ? ? 9 ? ? ? 11 ? ? 2? 2? C.?- ,-2?∪?0, ? D.?- ,-2?∪ ?0, ? 4 3 3? ? ? ? ? ? 4 ? ?

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[师生共研] g(x)= f(x)- mx- m 在 (- 1,1]内有且仅有两个不同

的零点就是函数 y= f(x)的图象与函数 y= m(x+ 1)的图象有两个交点 , 在同一直角坐标系内作出函数 f(x)= 1 ? ? - 3, x∈ ?- 1, 0], x + 1 和函数 y= m(x+ 1)的图象,如图 , ? ? ?x, x∈ ?0, 1].

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当直线 y= m(x+ 1)与 y= 1 - 3,x∈ (- 1,0]和 y= x,x∈ (0,1]都相 x+ 1

1 1 交时 0<m≤ ; 当直线 y= m(x+ 1)与 y= - 3,x∈ (- 1,0]有两个交点 2 x+ 1 y= m?x+ 1?, ? ? 1 时 ,由方程组? 1 消元得 - 3= m(x+ 1),即 m(x+ 1)2+ x+ 1 y= -3 ? x + 1 ? 3(x+ 1)- 1= 0,化简得 mx2+ (2m+ 3)x+ m+ 2= 0,当 Δ= 9+ 4m= 0,即 9 1 当 m=- 时直线 y= m(x+ 1)与 y= - 3 相切 ,当直线 y= m(x+ 1) 4 x+ 1 过点(0,- 2)时 ,m=- 2,所以
? 9 ? ? 1? ?- ,- 2? ∪?0, ?,选 2? ? 4 ? ? ? 9 ? m∈?- ,- 2?.综上 ,实数 ? 4 ?

m 的取值范围是

A.
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[答案]

A

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函数与方程的转化类型 (1)判断函数零点个数常转化为两函数的图象交点; (2) 由函数的零点情况确定参数范围 , 常转化为利用函数图象求 解; (3)方程根的讨论转化为函数的零点问题 .

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1 ? ? ?x≠1?, | x - 1| 2.已知定义域为 R 的函数 f(x)= ? 若关于 x 的方 ? ?1 ?x=1?,
2 2 程 f2(x)+bf(x)+c =0 有 3 个不同的实根 x1,x 2,x3,则 x 2 1+x 2+x3等于(

)

A. 13

2b2+ 2 B. b2

C.5

3c2+2 D. 2 c

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解析: 选C 作出 f(x)的图象 ,由图知 ,只有当 f(x)= 1 时有 3 个不同

的实根; ∵关于 x 的方程 f2(x)+ bf(x)+ c= 0 有 3 个不同的实数解 x1,x2,x3,
2 2 ∴必有 f(x)= 1,从而 x1= 1,x2= 2,x3= 0,故可得 x2 1+ x2+ x3= 5,故选 C.

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3.偶函数 f(x)满足 f(1-x)= f(1+x),且在 x∈[ 0,1]时, f(x)= 2x-x 2 , 若直线 kx-y +k= 0(k>0)与函数 f(x)的图象有且仅有三个交点,则 k 的取 值范围是(
? A.? ?

)
? B.? ?

15 3? , ? 15 3 ?

3 5? , ? 5 3?

?1 1? C.? , ? ? 3 2?

?1 1? D.? , ? ?15 3?

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解析:选 A 因为 f(1- x)= f(1+ x),所以函数 f(x)的图象关于直线

x= 1 对称,又 f(x)是偶函数 ,所以 f(x- 1)= f(1+ x),即有 f(2+ x)= f(x),所以 f(x)是周期为 2 的函数 .由 y= 2x- x2,得 x2- 2x+ y2= 0,即 (x- 1)2+ y2 = 1,画出函数 f(x)和直线 y= k(x+ 1)的示意图 .

因为直线 kx- y+ k= 0(k>0)与函数 f(x)的图象有且仅有三个交点 , 所以根据示意图易知 15 3 <k< . 15 3
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